水平棒に吊り下げた糸の先に物体Bを取り付け、棒上には物体Aを置く系の振動問題。Aを固定するか自由に動かすかで運動の性質が変わる。
立式：Bに働く力は糸の張力 $\vec T$（B→A向き、大きさ $T$）と重力 $mg$（下向き）。運動方程式：
$$m a_x = -T \sin\theta_0$$ $$m a_y = T \cos\theta_0 - mg$$糸方向の束縛：糸は伸縮しないから、糸方向（A→B方向）の加速度成分はゼロ。糸方向の単位ベクトルは $(\sin\theta_0, \cos\theta_0)$（鉛直から角度 $\theta_0$）なので：
$$a_x \sin\theta_0 + a_y \cos\theta_0 = 0$$これに上の2式を代入して整理すると $T = mg\cos\theta_0$（瞬間的な値、$\dot\theta=0$ のとき）が得られる。
接線方向（糸に垂直）成分は：
$$m l \ddot\theta = -m g \sin\theta_0$$数値代入例：$\theta_0 = 0.1$ rad, $l = 1.0$ m, $g = 9.8$ m/s²：
$$\ddot\theta = -9.8\sin(0.1) \fallingdotseq -0.978 \text{ rad/s}^2$$糸に沿った方向（法線方向、B→A向き）と糸に垂直な方向（接線方向）で分解すると：
法線方向：$T - mg\cos\theta = m l\dot\theta^2$ （遠心力項、$\dot\theta=0$ のとき $T = mg\cos\theta$）
接線方向：$m l\ddot\theta = -mg\sin\theta$
これで運動方程式が分離される。微小振動 $\sin\theta \approx \theta$ を使えば単振動方程式に帰着。
糸の張力は糸方向。水平・鉛直成分に分ける方法と、接線・法線方向に分ける方法の2通りがあり、問題に応じて使い分ける。
立式：微小振動 $\sin\theta \approx \theta$ の近似で、接線方向の運動方程式：
$$m l \ddot\theta = -m g \theta \quad\Rightarrow\quad \ddot\theta = -\frac{g}{l}\theta$$これは角振動数 $\omega = \sqrt{g/l}$ の単振動の方程式。
周期：
$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$数値例：$l = 1.0$ m, $g = 9.8$ m/s²：
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1.0}{9.8}} \fallingdotseq 2\pi \times 0.3194 \fallingdotseq 2.007 \text{ s}$$最下点を基準として位置エネルギーは $U = mgl(1-\cos\theta) \approx \dfrac{1}{2}mgl\theta^2$。運動エネルギーは $K = \dfrac{1}{2}ml^2\dot\theta^2$。
$$E = \frac{1}{2}ml^2\dot\theta^2 + \frac{1}{2}mgl\theta^2 = \text{const}$$これは調和振動子のエネルギー形で、比較により $\omega^2 = g/l$ が読める。
ガリレオ・ガリレイ（1564-1642）は、ピサ大聖堂のシャンデリアが揺れるのを見て、振れ幅に関わらず周期が一定であることを自分の脈拍で計ったと伝えられる。この発見が精密な機械時計の基礎になった。
振り子の周期は振幅に依存しない（微小振動の等時性）。$T = 2\pi\sqrt{l/g}$ を暗記。長くすると遅く振れ、重力が強いと速く振れる。
仮定：図2のグラフからAの加速度は $a_x^A(t) = a\sin(2\pi t/T)$（$t\in[0,T]$）。
速度の計算：$v_A(t) = \displaystyle\int_0^t a_x^A(t')\,dt'$
$$v_A(\alpha T) = \int_0^{\alpha T} a\sin\!\left(\frac{2\pi t'}{T}\right)\!dt' = \frac{aT}{2\pi}\Bigl[1 - \cos(2\pi\alpha)\Bigr]$$位置の計算：$x_A(t) = \displaystyle\int_0^t v_A(t')\,dt'$
$$x_A(\alpha T) = \int_0^{\alpha T}\!\frac{aT}{2\pi}\bigl[1 - \cos(2\pi t'/T)\bigr]dt' = \frac{aT^2}{4\pi^2}\Bigl[2\pi\alpha - \sin(2\pi\alpha)\Bigr]$$特殊値：
加速度 $a_x^A(t) = a\sin(2\pi t/T)$ は振動であり、その平均はゼロ。しかし速度の平均は非ゼロ（$v_A = aT/\pi$ が1周期平均）で、これがAを右へじわじわ押し進める正味の運動。位置は $\alpha T$ 秒ごとに $aT^2/(2\pi)$ ずつ平均的に右へずれていく。
加速度 → 速度 → 位置は2回積分。初期条件（$t=0$ で $v=0, x=0$）を正しく使う。三角関数の積分公式 $\int\sin(\omega t)dt = -\cos(\omega t)/\omega$ に注意。
立式：水平方向の外力はゼロ → 運動量保存 → 重心の水平位置は不変。重心から見るとBは有効長 $l_\text{eff}$ の単振り子。
重心の位置は（Aの位置 $x_A$、Bの位置 $x_B = x_A + l\sin\theta$ を使って）：
$$x_G = \frac{M x_A + m(x_A + l\sin\theta)}{M+m} = x_A + \frac{m}{M+m}l\sin\theta$$重心固定 $x_G = $ const から：
$$x_A = -\frac{m}{M+m}l\sin\theta + \text{const}$$よってBの重心に対する水平位置は：
$$x_B - x_G = \frac{M}{M+m}l\sin\theta$$これは有効長 $l_\text{eff} = \dfrac{M}{M+m} l$ の単振り子の振れと同じ運動。
周期：
$$T' = 2\pi\sqrt{\frac{l_\text{eff}}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{M l}{(M+m) g}}$$数値例：$M/m = 3$, $l = 1.0$ m, $g = 9.8$ m/s²：
$$l_\text{eff} = 0.75 \text{ m}, \quad T' = 2\pi\sqrt{\frac{0.75}{9.8}} \fallingdotseq 1.74 \text{ s}$$$M$ が固定（$M\to\infty$）なら $T' \to 2\pi\sqrt{l/g} \fallingdotseq 2.00$ s。差 0.26 s が "Aが動く分" の短縮。
2体問題は重心系に移ると、換算質量 $\mu = \dfrac{mM}{m+M}$ をもつ1粒子の問題になる。単振り子の復元力は $-mg\theta$ のままだが、有効質量が $\mu$ になるため：
$$\mu l \ddot\theta = -mg\theta$$ $$\omega^2 = \frac{mg}{\mu l} = \frac{g(M+m)}{M l}$$ $$T' = 2\pi\sqrt{\frac{M l}{(M+m) g}}$$換算質量は分子・分母の形を間違えないよう注意（$\mu < m, M$ の小さい方）。
二体系の振動では「重心固定＋相対運動」に分解すると簡単。有効長 $l \cdot M/(M+m)$ は $l$ より短いので、周期も短くなる。
着眼点：Bが最高点 = 糸の角度最大 = 角速度 $\dot\theta = 0$。この瞬間のBの水平速度 $v_B^x$ は、Aの水平速度と糸束縛から：
$$v_B^x = v_A + l\cos\theta_{\max}\cdot \dot\theta_{\max} = v_A + 0 = v_A$$水平運動量保存：系に水平方向外力なし。初期状態（A:静止, B:$v_0$右向き）から：
$$m v_0 + M \cdot 0 = m v_B^x + M v_A = (m+M) v_A$$結果：
$$v_A = \frac{m}{M+m} v_0$$数値例：$M = 3m$, $v_0 = 2.0$ m/s：
$$v_A = \frac{1}{4}\cdot 2.0 = 0.50 \text{ m/s}$$重心速度は初期から常に $V_G = \dfrac{m v_0}{M+m}$。Bが最高点ではA,Bが共通速度で動くので、この共通速度は重心速度そのもの。よって：
$$v_A = V_G = \frac{m v_0}{M+m}$$運動量保存を明示せずとも、重心速度保存は常に使える。
最高点＝$\dot\theta=0$ → 相対速度ゼロ → A,B共通速度。衝突や合体問題と同じ発想（最大振幅で反転直前に一体化）。
立式：エネルギー保存（初期 → 最高点）：
$$\frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}(M+m) v_A^2 + m g h$$$v_A$ を代入：問7より $v_A = mv_0/(M+m)$
$$\frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}(M+m) \cdot \frac{m^2 v_0^2}{(M+m)^2} + m g h$$ $$= \frac{m^2 v_0^2}{2(M+m)} + m g h$$$h$ について解く：
$$m g h = \frac{1}{2}m v_0^2 - \frac{m^2 v_0^2}{2(M+m)} = \frac{m v_0^2}{2}\left[\frac{M+m-m}{M+m}\right] = \frac{m v_0^2}{2}\cdot\frac{M}{M+m}$$ $$\therefore\ h = \frac{M v_0^2}{2(M+m) g}$$数値例：$M = 3m$, $v_0 = 2.0$ m/s, $g = 9.8$ m/s²：
$$h = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4 \cdot 9.8} = \frac{12}{78.4} \fallingdotseq 0.153 \text{ m} = 15.3 \text{ cm}$$参考: A固定時は $h_0 = v_0^2/(2g) = 0.204$ m = 20.4 cm。Aが動く分だけ高さが抑えられる。
系の全運動エネルギーは $K_\text{tot} = K_\text{重心} + K_\text{相対}$ に分解できる（König の定理）。重心運動エネルギーは保存量：
$$K_\text{重心} = \frac{1}{2}(M+m) V_G^2 = \frac{m^2 v_0^2}{2(M+m)}$$最高点では相対運動エネルギーがすべて位置エネルギーに変わる：
$$K_\text{相対,初期} = K_\text{tot,初期} - K_\text{重心} = \frac{1}{2}m v_0^2 - \frac{m^2 v_0^2}{2(M+m)} = \frac{m M v_0^2}{2(M+m)}$$ $$mgh = \frac{m M v_0^2}{2(M+m)} \quad\Rightarrow\quad h = \frac{M v_0^2}{2(M+m) g}$$König の定理は多体系で強力なツール。
運動量保存とエネルギー保存の併用。$h = \dfrac{Mv_0^2}{2(M+m)g}$ は換算質量 $\mu = mM/(m+M)$ を使って $h = \mu v_0^2/(2mg)$ とも書け、衝突・分裂問題の定番形。