小球の斜方投射、地面での非弾性衝突（反発係数）、2球の衝突と重心系での観察を扱う力学の総合問題です。
立式：初速 \(v_0\)、仰角 \(\theta\) で投げた小球の速度成分は
$$v_x = v_0\cos\theta, \quad v_y = v_0\sin\theta$$最高点では鉛直速度が 0 になるので、鉛直方向について
$$0 = v_0\sin\theta - gt_{\text{top}}$$ $$t_{\text{top}} = \frac{v_0\sin\theta}{g}$$このときの高さは
$$h = v_0\sin\theta \cdot t_{\text{top}} - \frac{1}{2}g\,t_{\text{top}}^2 = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$力学的エネルギー保存則からも同じ結果が得られます。最高点では水平速度 \(v_0\cos\theta\) のみが残るので、
$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m(v_0\cos\theta)^2 + mgh$$ $$mgh = \frac{1}{2}m v_0^2(1 - \cos^2\theta) = \frac{1}{2}m v_0^2\sin^2\theta$$ $$h = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$斜方投射の最高点の高さは鉛直成分 \(v_0\sin\theta\) だけで決まる。水平成分は高さに関与しない。
立式：地面に戻る条件 \(y = 0\) から滞空時間を求めます。
$$y = v_0\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = 0$$ $$t\!\left(v_0\sin\theta - \frac{1}{2}gt\right) = 0$$\(t = 0\)（投射時）を除いて、
$$t_{\text{flight}} = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$$水平距離は
$$R = v_0\cos\theta \cdot t_{\text{flight}} = v_0\cos\theta \cdot \frac{2v_0\sin\theta}{g} = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$$\(v_0 = 20\) m/s, \(\theta = 30°\), \(g = 9.8\) m/s² のとき：
$$R = \frac{20^2 \times \sin 60°}{9.8} = \frac{400 \times 0.866}{9.8} \fallingdotseq 35.3 \text{ m}$$水平距離は \(\sin 2\theta\) に比例する。これが最大になる条件は問3につながる。
考え方：問2の結果 \(R = \dfrac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}\) において、\(v_0\) は一定です。
\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\) のとき \(0 < 2\theta < \pi\) なので、
$$\sin 2\theta \leq 1$$等号成立は \(2\theta = \dfrac{\pi}{2}\) すなわち
$$\theta = \frac{\pi}{4} \quad \text{（45°）}$$\(R(\theta)\) を \(\theta\) で微分して 0 とおくと、
$$\frac{dR}{d\theta} = \frac{v_0^2}{g} \cdot 2\cos 2\theta = 0$$ $$\cos 2\theta = 0 \implies 2\theta = \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{4}$$第二次導関数は \(-4\sin 2\theta < 0\)（\(\theta = \pi/4\) のとき）なので最大。
斜方投射の飛距離が最大になるのは 45° のとき。これは空気抵抗なし・水平地面への投射という理想条件でのみ成立する。
設定：地面はなめらかで、小球Aと地面の衝突は反発係数 \(e\) の非弾性衝突です。
衝突の性質：地面との衝突では水平速度は変わらず、鉛直速度だけが \(e\) 倍になります。
1回目の投射：
$$v_x = v_0\cos\theta, \quad v_{y,0} = v_0\sin\theta$$1回目の飛距離は \(R_1 = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}\)。1回目の衝突直前の鉛直速度は \(v_0\sin\theta\)、衝突後は \(e \cdot v_0\sin\theta\)。
k回目の跳ね返り後：水平速度は \(v_0\cos\theta\)（不変）、鉛直速度は \(e^k v_0\sin\theta\) です。k回目の跳ね返りから (k+1) 回目の衝突までの飛距離は
$$R_{k+1} = v_0\cos\theta \cdot \frac{2 e^k v_0\sin\theta}{g} = e^k \cdot \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$$n回目の衝突地点の水平距離：
$$x_n = \sum_{k=0}^{n-1} R_{k+1} = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g} \sum_{k=0}^{n-1} e^k = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g} \cdot \frac{1 - e^n}{1 - e}$$\(n\) 回目の衝突までの距離を \(x_n\)、n回目の跳ね返り後の鉛直速度を \(u_n = e^n v_0\sin\theta\) とすると、
$$x_{n+1} - x_n = \frac{2v_0\cos\theta \cdot u_n}{g} = e^n \cdot \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$$これは初項 \(\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}\)、公比 \(e\) の等比数列の和です。
\(v_0 = 10\) m/s, \(\theta = 45°\), \(g = 9.8\) m/s², \(e = 0.8\), \(n = 3\) のとき：
$$x_3 = \frac{100 \times 1}{9.8} \times \frac{1 - 0.8^3}{1 - 0.8} = 10.2 \times \frac{1 - 0.512}{0.2} = 10.2 \times 2.44 \fallingdotseq 24.9 \text{ m}$$地面との衝突で水平速度は保存、鉛直速度が \(e\) 倍に減衰。飛距離は等比級数の和になる。\(n \to \infty\) では \(\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g(1-e)}\) に収束する。
設定：質量 \(M\) の小球Bが地点Oで静止。質量 \(m\) の小球Aが速度 \(\vec{v}^{\,\prime} = (V_0,\,0)\) で衝突直前に水平に飛んでいます（最高点での衝突なので鉛直速度は0）。
衝突直前に小球Aの速度は \(\vec{v}^{\,\prime} = (v\cos\alpha,\, v\sin\alpha)\)、衝突直後の小球Aの速度は \(\vec{V} = (V\cos\phi,\, -V\sin\phi)\)、小球Bの速度は \((V\cos\phi,\, -V\sin\phi)\)。
問題の設定より、衝突直前に小球Bの速度は \(\vec{v_B} = (V_0,\, 0)\)、衝突後の速度ベクトルの成分が与えられています。
衝突は弾性衝突なので、運動量保存と反発係数 \(e = 1\) の2式を立てます。
衝突方向（\(\vec{v}^{\,\prime}\) の方向）の運動量保存：
$$m \cdot v = m \cdot v_A' + M \cdot v_B'$$ここで衝突方向の反発係数の式：
$$v_B' - v_A' = v \quad (e = 1)$$これらを連立して、
$$v_A' = \frac{m - M}{m + M}\,v$$衝突に垂直な方向の速度は不変（衝突力が働かない）なので衝突後の速度の大きさは
$$v = \left|\frac{m - M}{m + M}\right| v$$衝突直後の小球Aの速さ \(v\) は、\(m, M, V_0, \theta\) を用いて以下の通りです。
衝突方向の成分：\(\dfrac{m-M}{m+M}\,v\cos\alpha\)、垂直成分：\(v\sin\alpha\)（不変）
$$|\vec{V}| = v\sqrt{\sin^2\alpha + \left(\frac{m-M}{m+M}\right)^2 \cos^2\alpha}$$\(m = M\) の場合、衝突方向の速度成分は完全に小球Bに移り、小球Aには垂直成分 \(v\sin\alpha\) のみが残ります。
$$|\vec{V}| = v\sin\alpha$$斜め衝突では衝突線方向と垂直方向に分解する。垂直方向の速度成分は衝突力が働かないため保存される。
設定：問5の衝突後、小球Aは速度 \(\vec{V} = (V\cos\phi,\, -V\sin\phi)\) で飛び出します（衝突は原点Oで起こり、その高さから \(y = 0\) に落下するまでの水平距離 \(L\) を求めます）。
立式：衝突後の小球Aの運動は、水平方向 \(V\cos\phi\) の等速運動と、鉛直方向の自由落下（初速 \(-V\sin\phi\)、つまり下向き）です。
小球Aの衝突地点の座標は問題の設定から分かる高さにあります。落下地点 \(y = 0\) に達するまでの時間を \(T\) とすると、
$$0 = y_0 - V\sin\phi \cdot T - \frac{1}{2}gT^2$$ここで \(y_0\) は衝突地点の高さ。水平距離は
$$L = V\cos\phi \cdot T$$ただし \(T\) は \(\frac{1}{2}gT^2 + V\sin\phi \cdot T - y_0 = 0\) の正の解で、\(m, M, V_0, \theta, g\) を用いて表される。
衝突が最高点（高さ \(h = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}\)）で起こり、衝突直後の速度が \((V\cos\phi,\, -V\sin\phi)\) なら、
$$T = \frac{-V\sin\phi + \sqrt{V^2\sin^2\phi + 2gh}}{g}$$ $$L = V\cos\phi \cdot \frac{-V\sin\phi + \sqrt{V^2\sin^2\phi + 2gh}}{g}$$衝突後の運動も斜方投射（下向き初速あり）として水平・鉛直に分解して解く。衝突点の高さが初期条件に含まれる点に注意。
考え方：\(Z = L^2\) とおき、\(d = \cos^2\theta\) で表します。\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\) なので \(0 < d < 1\)。
\(Z\) の変化 \(\Delta Z = Z(d + \Delta d) - Z(d)\) を考えると、\((\Delta d)^n\) (\(n > 1\)) の項を無視して
$$\Delta Z \fallingdotseq \frac{dZ}{dd}\,\Delta d$$\(Z\) が極値をとる条件は \(\Delta Z = 0\) が任意の \(\Delta d \neq 0\) に対して成り立つことなので、
空欄 (a)：\(\dfrac{dZ}{dd}\,\Delta d\)
空欄 (b)：\(\cos\theta\) の値は \(\dfrac{dZ}{dd} = 0\) を満たす \(d\) から求まる。
\(Z(d)\) の具体的な形は問題の文字定数に依存しますが、\(\dfrac{dZ}{dd} = 0\) を解いて \(d\) を求め、\(\cos\theta = \sqrt{d}\) から \(\theta\) を決定します。
これは「\(L\) の最大化問題を \(Z = L^2\) の最大化に帰着させ、\(\cos^2\theta\) を変数とすることで微分を簡単にする」という典型的なテクニックです。
\(L\) の最大値を直接求めるのが複雑なとき、\(Z = L^2\) のように単調変換した量を新変数 \(d = \cos^2\theta\) で表して微分する手法は頻出。\((\Delta d)^2\) 以上の高次項を無視する近似は、導関数の定義そのもの。
重心Gの座標：小球Aの座標を \((x_A,\, y_A)\)、小球Bの座標を \((x_B,\, y_B)\) とすると、
$$\left(x_G,\, y_G\right) = \left(\frac{mx_A + Mx_B}{m + M},\, \frac{my_A + My_B}{m + M}\right)$$衝突直前の重心速度：小球Aは水平方向（\(x\) 軸の正の向き）に速さ \(V_0\) で進んでおり、小球Bは静止しています。短い時間 \(\Delta t\) の間に
$$\left(\Delta x_G,\, \Delta y_G\right) = \left(\frac{m \cdot V_0 \Delta t + M \cdot 0}{m + M},\, 0\right)$$よって重心Gの速度は
空欄 (c)：\(\dfrac{mV_0}{m+M}\)（重心の \(x\) 方向速度）
空欄 (d)：\(\dfrac{mV_0}{m+M}\)（重心Gの速さ）
空欄 (e)：\(V_0 - \dfrac{mV_0}{m+M} = \dfrac{MV_0}{m+M}\)（観測者Pから見た小球Aの速度の \(x\) 成分）
空欄 (f)：\(\left(-\dfrac{mV_0}{m+M},\, 0\right)\)（観測者Pから見た小球Bの速度）
重心系では全運動量が常にゼロです。実際に確認すると：
$$m \cdot \frac{MV_0}{m+M} + M \cdot \left(-\frac{mV_0}{m+M}\right) = \frac{mMV_0 - mMV_0}{m+M} = 0$$弾性衝突では重心系で見ると各粒子の速さは変わらず、速度の向きだけが変わります。
重心系への変換：各粒子の速度から重心速度 \(\vec{v}_G = \dfrac{m\vec{v}_A + M\vec{v}_B}{m+M}\) を引く。重心系では全運動量が常に 0。弾性衝突では各粒子の速さが保存される。
考え方：重心系での弾性衝突の重要な性質を使います。
重心系における弾性衝突の性質：重心系では全運動量が 0 なので、衝突前後で
$$m\vec{v}_A^{\,*} + M\vec{v}_B^{\,*} = \vec{0}$$弾性衝突ではさらに運動エネルギーも保存されるので、各粒子の速さは衝突前後で変わらない。方向だけが変わります。
衝突前の小球Bの重心系での速さ：
$$|\vec{v}_B^{\,*}| = \frac{mV_0}{m + M}$$衝突後も同じ速さで、方向が角度 \(\gamma + \phi'\) だけ回転します。
問題文の設定で衝突後の角度を \(\phi'\) とすると、重心系での衝突後の小球Bの速さは
$$V_1'\sin(\gamma + \phi') = \frac{mV_0}{m+M}\sin(\gamma + \phi')$$重心系での小球Bの速さ（衝突後）は
$$\frac{mV_0}{m+M}$$（衝突前と同じ。弾性衝突では重心系で速さは不変。）
重心系で \(m|\vec{v}_A^*| = M|\vec{v}_B^*|\) が常に成り立つことと、
$$\frac{1}{2}m|\vec{v}_A^*|^2 + \frac{1}{2}M|\vec{v}_B^*|^2 = \text{一定}$$を連立すると、各粒子の速さが衝突前後で不変であることが証明されます。
重心系における弾性衝突の最大の利点：各粒子の速さが保存され、方向だけが変わる。2次元衝突でも「速さ一定、方向回転」で見通しよく処理できる。
考え方：実験室系での小球Bの速度は「重心速度 \(\vec{v}_G\)」＋「重心系での速度 \(\vec{v}_B^*\)」のベクトル和です。
重心系での小球Bの速さは \(\dfrac{mV_0}{m+M}\)（問9の結果）、重心速度の大きさも \(\dfrac{mV_0}{m+M}\) です。
\(M > m\) のとき、重心系での小球Aの速さ \(\dfrac{MV_0}{m+M}\) は重心速度 \(\dfrac{mV_0}{m+M}\) より大きいので、小球Aの散乱角は制限されません。
しかし小球Bの場合、実験室系で見た速度ベクトル \(\vec{V}_B = \vec{v}_G + \vec{v}_B^*\) は、\(\vec{v}_G\) の先端を中心とする半径 \(\dfrac{mV_0}{m+M}\) の円上にあります。
\(\phi\) の最大値は、原点からこの円への接線の角度で決まります。
$$\sin\phi_{\max} = \frac{|\vec{v}_B^*|}{|\vec{v}_G|} = \frac{mV_0/(m+M)}{mV_0/(m+M)} = 1$$これは小球B側の議論です。小球Aの散乱角 \(\phi\) については、重心系で小球Aの速さが \(\dfrac{MV_0}{m+M}\) で重心速度が \(\dfrac{mV_0}{m+M}\) なので、
\(M > m\) のとき、\(\dfrac{MV_0}{m+M} > \dfrac{mV_0}{m+M}\) です。接線条件から
$$\sin\phi_{\max} = \frac{\text{CM速度}}{\text{CM系での速さ}} = \frac{m}{M}$$したがって
$$\tan\phi_{\max} = \frac{\sin\phi_{\max}}{\cos\phi_{\max}} = \frac{m/M}{\sqrt{1 - (m/M)^2}} = \frac{m}{\sqrt{M^2 - m^2}}$$実験室系での小球Bの速度ベクトルの終点は、原点から距離 \(v_G = \dfrac{mV_0}{m+M}\) だけ離れた点を中心とする半径 \(\dfrac{mV_0}{m+M}\) の円上にあります。
この円は原点を通るため、\(\phi\) の最大値は存在しません（\(\phi\) は 0° から 90° まで取れる）。
一方、小球Aの場合は、中心が距離 \(\dfrac{mV_0}{m+M}\) で半径 \(\dfrac{MV_0}{m+M}\) の円です。\(M > m\) なら半径 > 中心距離なので上限なし...ですが、問題の設定（\(\vec{v}^{\,\prime\prime}\) の定義）に応じて適切に幾何学を適用する必要があります。
重心系で衝突後の小球Bの速度を \((v_B^*\cos\gamma',\, v_B^*\sin\gamma')\) とすると、実験室系では
$$V_{Bx} = v_G + v_B^*\cos\gamma', \quad V_{By} = v_B^*\sin\gamma'$$\(\tan\phi = \dfrac{V_{By}}{V_{Bx}} = \dfrac{v_B^*\sin\gamma'}{v_G + v_B^*\cos\gamma'}\)
この最大値は \(\dfrac{d(\tan\phi)}{d\gamma'} = 0\) から求められ、結果は同じになります。
\(M > m\) で重い標的に軽い粒子が当たる場合、散乱角に上限がある。この幾何学は原子核物理のラザフォード散乱でも同じ構造が現れる。重心系の「速度円」と接線の関係を理解しておくと、様々な衝突問題に応用できる。