水平な床上で、伸びない長さ $\ell$ のひもでつながれた2つの小物体P・Qが、弾性衝突とひもが張る瞬間の撃力を繰り返す問題です。「衝突」と「ひもが張る」はどちらも力学的エネルギー保存則と運動量保存則が成り立つ瞬間的な相互作用として扱える点が最大のカギです。
設定：質量 $m$ のPが速度 $v_1$ で、$x=0$ に静止する質量 $cm$ のQに弾性衝突します。衝突直後のPの速度を $v_P'$、Qの速度を $v_Q'$ とします。
立式：水平方向の運動量保存則と、弾性衝突なので運動エネルギー保存則（反発係数 $e=1$）を立てます。
$$m v_1 = m v_P' + cm\, v_Q' \quad\text{（運動量保存）}$$ $$\frac{1}{2}m v_1^2 = \frac{1}{2}m v_P'^2 + \frac{1}{2}cm\, v_Q'^2 \quad\text{（運動エネルギー保存）}$$反発係数の式（衝突前後で接近・遠ざかる相対速度の大きさが等しい）を使うと計算が速くなります：
$$e = \frac{v_Q' - v_P'}{v_1 - 0} = 1 \quad\Rightarrow\quad v_Q' - v_P' = v_1$$計算：運動量保存の式（両辺 $m$ で割る）と相対速度の式を連立します。
$$v_1 = v_P' + c\, v_Q', \qquad v_Q' = v_P' + v_1$$後者を前者に代入して $v_P'$ について解くと、
$$v_1 = v_P' + c(v_P' + v_1) \;\Rightarrow\; v_1(1 - c) = (1+c)v_P' \;\Rightarrow\; v_P' = \frac{1-c}{1+c}v_1$$これを $v_Q' = v_P' + v_1$ に戻して、
$$v_Q' = \frac{1-c}{1+c}v_1 + v_1 = \frac{(1-c)+(1+c)}{1+c}v_1 = \frac{2}{1+c}v_1$$$v_P' = \dfrac{1-c}{1+c}v_1$ の符号は $c$ で決まります。
シミュレーションのスライダーで $c$ を変えると、この3パターンが再現されます。
弾性衝突は「運動量保存＋運動エネルギー保存」だが、後者の代わりに反発係数 $e=1$（相対速度の式）を使うと連立が楽。$v_Q'-v_P'=v_1$ がそれ。
設定：ひもが張る直前の速度は問1の結果 $v_P' = \dfrac{1-c}{1+c}v_1$、$v_Q' = \dfrac{2}{1+c}v_1$ です。ひもが張った直後の速度を $v_P''$、$v_Q''$ とします。
立式：問題文より、ひもが張る前後でも運動量保存則と力学的エネルギー保存則が成り立ちます。すなわち、ひもを介したやりとりも弾性衝突とまったく同じ形の式になります。質量はP・Qそれぞれ $m,\ cm$ で変わりません。
$$m v_P' + cm\, v_Q' = m v_P'' + cm\, v_Q'' \quad\text{（運動量保存）}$$ $$v_Q'' - v_P'' = -(v_Q' - v_P') \quad\text{（}e=1\text{：相対速度が反転）}$$計算：$e=1$ の弾性的やりとりでは、2物体の速度は次式で求まります（衝突公式）。
$$v_P'' = \frac{(1-c)v_P' + 2c\, v_Q'}{1+c},\qquad v_Q'' = \frac{2v_P' + (c-1)v_Q'}{1+c}$$$v_P'$、$v_Q'$ を代入して $v_P''$ の分子を整理すると、
$$(1-c)\cdot\frac{1-c}{1+c}v_1 + 2c\cdot\frac{2}{1+c}v_1 = \frac{(1-c)^2 + 4c}{1+c}v_1 = \frac{(1+c)^2}{1+c}v_1 = (1+c)v_1$$ $$\therefore\ v_P'' = \frac{(1+c)v_1}{1+c} = v_1$$同様に $v_Q''$ の分子は、
$$2\cdot\frac{1-c}{1+c}v_1 + (c-1)\cdot\frac{2}{1+c}v_1 = \frac{2(1-c) + 2(c-1)}{1+c}v_1 = 0 \;\Rightarrow\; v_Q'' = 0$$「弾性衝突 → ひもが張る」は、どちらも運動量とエネルギーを保存する可逆的な相互作用です。最初 $(v_1,\,0)$ から弾性衝突で $(v_P',\,v_Q')$ になり、その状態にもう一度同じタイプの保存的やりとりを施すと、解は元の $(v_1,\,0)$ に戻ります（時間反転対称性）。だからPは再び $v_1$、Qは再び静止します。
「ひもが張る瞬間」も衝突と同じ保存則。質量比が変わらないので、もう一度弾性衝突を施したのと同じ → 速度が初期状態に戻る。
設定：$t=0$ で1回目の衝突。直後（問1）はPが $v_P' = \dfrac{1-c}{1+c}v_1$、Qが $v_Q' = \dfrac{2}{1+c}v_1$ です。
段階1（離れる）：衝突直後、QはPより速いので2物体は遠ざかります。遠ざかる相対速度は
$$v_Q' - v_P' = \frac{2}{1+c}v_1 - \frac{1-c}{1+c}v_1 = \frac{2-(1-c)}{1+c}v_1 = \frac{1+c}{1+c}v_1 = v_1$$相対速度 $v_1$ で距離 $\ell$ になるまでの時間は、
$$t_{\text{張る}} = \frac{\ell}{v_1}$$段階2（追いつく）：ひもが張った直後（問2）、Pは $v_1$、Qは $0$ に戻ります。今度はPがQに速さ $v_1$ で追いつく（接近相対速度も $v_1$）。距離 $\ell$ を詰めるのにかかる時間は、
$$t_{\text{追いつく}} = \frac{\ell}{v_1}$$計算：2回目の衝突の時刻は両者の和です。
$$t = t_{\text{張る}} + t_{\text{追いつく}} = \frac{\ell}{v_1} + \frac{\ell}{v_1} = \frac{2\ell}{v_1}$$離れるときも追いつくときも相対速度がちょうど $v_1$（弾性衝突・弾性的張りのため接近／遠ざかりの相対速度が保存）なので、質量比 $c$ が結果に現れません。$c$ は各物体の個別の速度を決めますが、相対速度の大きさは常に $v_1$ のまま保たれます。
弾性的なやりとりでは相対速度の大きさが保存（$|v_{\text{rel}}|=v_1$ で一定）。だから「離れる→張る→追いつく」の各区間はどれも距離 $\ell$ を $v_1$ で進む。合計 $2\ell/v_1$。
設定：$t=0$ で衝突が起こる瞬間、PもQもほぼ $x=0$ にあります。系全体の重心の位置を $x_G$ とします。
立式：重心の速度 $V_G$ は、系の全運動量を全質量で割ったものです。外力（水平方向）はないので全運動量は初期値 $m v_1$ で一定。
$$V_G = \frac{(\text{全運動量})}{(\text{全質量})} = \frac{m v_1}{m + cm} = \frac{m v_1}{m(1+c)} = \frac{v_1}{1+c}$$水平方向に外力が働かないので $V_G$ は時間によらず一定です（重力・垂直抗力は鉛直方向、ひも・衝突の力は内力）。
計算：$t=0$ で重心は $x=0$（両物体とも $x=0$ にあるため $x_G(0)=0$）にあるので、等速直線運動として、
$$x_G(t) = x_G(0) + V_G\, t = 0 + \frac{v_1}{1+c}\,t$$重心の定義 $x_G = \dfrac{m\,x_P + cm\,x_Q}{m(1+c)} = \dfrac{x_P + c\,x_Q}{1+c}$ を時刻 $t$ で微分すると、
$$V_G = \frac{v_P + c\,v_Q}{1+c}$$たとえば衝突直後（問1）は $v_P=\dfrac{1-c}{1+c}v_1,\ v_Q=\dfrac{2}{1+c}v_1$ なので、
$$V_G = \frac{1}{1+c}\left(\frac{1-c}{1+c} + c\cdot\frac{2}{1+c}\right)v_1 = \frac{1}{1+c}\cdot\frac{(1-c)+2c}{1+c}v_1 = \frac{1}{1+c}\cdot\frac{1+c}{1+c}v_1 = \frac{v_1}{1+c}$$どの瞬間でも $V_G=\dfrac{v_1}{1+c}$ で一定であることが確かめられます。
衝突・ひもの張りは内力。水平方向に外力がない系の重心は等速直線運動。重心速度＝全運動量÷全質量＝$v_1/(1+c)$。重力が出てこないのは運動が水平面内だから。
設定：PもQも質量 $M$。最初の衝突（$t=0$）で同じ質量の弾性衝突は速度を交換するので、Pは止まり（$x=0$）、Qは速さ $v_2$ で右へ動き出します。Qはばね（ばね定数 $k$）につながれているので単振動します。
立式：Qの単振動の角振動数は、
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$$Qは $x=0$ で速さ $v_2$ を持って動き出すので、振動の振幅 $A$ はエネルギー保存（最大変位ですべて弾性エネルギー）から、
$$\frac{1}{2}M v_2^2 = \frac{1}{2}k A^2 \;\Rightarrow\; A = v_2\sqrt{\frac{M}{k}}$$条件の検討：Qが最も右まで進む距離は振幅 $A$。一方Pは $x=0$ に止まったままなので、QとPの距離が最大になるのも $A$ です。
したがって、$x=0$ で2回目の衝突が起こる境目（しきい値）$\ell_0$ は振幅そのものです。
$$\ell_0 = A = v_2\sqrt{\frac{M}{k}}$$$\sqrt{M/k}$ は時間の次元（角振動数 $\omega=\sqrt{k/M}$ の逆数）なので、$v_2\sqrt{M/k}$ は「速さ×時間＝長さ」となり、確かに長さ $\ell_0$ の次元になります。$v_2$ が大きい・ばねが柔らかい（$k$ 小）ほど振幅 $\ell_0$ は大きくなる、という直感とも一致します。
同質量の弾性衝突＝速度の交換。Qの単振動の振幅 $A=v_2\sqrt{M/k}$ が、ひもが張らずに済む臨界の長さ $\ell_0$。スライダーで $\ell$ を $\ell_0$ より大きく／小さくすると挙動が切り替わる。
設定：$\ell>\ell_0$ なのでQの単振動中にひもは張りません。1回目の衝突（$t=0$）でQは $x=0$ から速さ $v_2$ で動き出し、ばねによる単振動をします。Pは $x=0$ で静止したまま待っています。
立式：単振動の周期 $T$ は質量とばね定数だけで決まります（振幅によらない）。
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}$$計算：Qは $x=0$（振動中心）を速さ最大で通過し、右の端まで行ってから $x=0$ に戻ってきます。「中心から出発して、反対側を経由せずに中心に戻る」までは、中心 → 端 → 中心の半周期分です。
$$t = \frac{T}{2} = \frac{1}{2}\cdot 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}} = \pi\sqrt{\frac{M}{k}}$$このときQは $x=0$ に戻り、速度は $-v_2$（左向き）となって静止中のPに衝突します。これが2回目の衝突です。
ばねは $x=0$ で自然の長さなので、$x=0$ がQのSHMの振動中心です。中心では速さが最大（$v_2$）、両端（$\pm\ell_0$）で速さ $0$。「中心 → 片側の端 → 中心」は位相で $0\to\pi$、すなわち半周期 $T/2=\pi\sqrt{M/k}$。位相円のアニメーションで $0$ から $\pi$ まで進む様子が確認できます。
単振動の周期 $T=2\pi\sqrt{M/k}$ は振幅によらない。振動中心 $x=0$ を出発して片側を往復して中心に戻るのは半周期＝$\pi\sqrt{M/k}$。
設定：ひもの長さ $\ell$ は $\ell_0$ より長い前提です。衝突を奇数回目（PとQが $x=0$ で接触）まで追いかけます。基本となる2つの所要時間を、半周期 $T_s = \pi\sqrt{M/k}$、Pがひもの長さ $\ell$ を片道進む時間 $T_b = \ell/v_2$ と置きます。
1回ごとの運動の追跡：
| 区間 | 起こること | 所要時間 |
|---|---|---|
| 1→2 | Qがばねで半周期往復し $x=0$ でPに衝突 | $T_s$ |
| 2→3 | Pが左へ $\ell$ → ひも張る → Qが半周期 → ひも張る → Pが右へ $\ell$ で $x=0$ 衝突 | $2T_b + T_s$ |
| 3→4 | 1→2と同じ（Qの半周期） | $T_s$ |
| 4→5 | 2→3と同じ | $2T_b + T_s$ |
2回目の衝突後はP・Qの速度が交換され、Pが速さ $v_2$ で左へ動きます。距離 $\ell$ 進むと（$T_b$）ひもが張り、撃力でPは止まりQが左向きに動いてばねで半周期往復（$T_s$）、戻ってきて再びひもが張り（$T_b$）Pが右向き $v_2$ になって $x=0$ まで $\ell$ 進み（$T_b$ … いや、左行き $T_b$ と右行き $T_b$ で計 $2T_b$）3回目の衝突に至ります。
計算：1回目（$t=0$）から $2n+1$ 回目までを数えます。衝突を1つ進めるたびに必ず $T_s$ が1回入り、$1$ から $2n+1$ までは衝突間隔が $2n$ 個あります。一方 $2T_b$ が入るのは「偶数回目 → 次の奇数回目」の遷移だけで、$2\!\to\!3,\ 4\!\to\!5,\ \dots,\ 2n\!\to\!2n+1$ の$n$ 回です。
$$t_{2n+1} = \underbrace{2n\,T_s}_{\text{半周期が }2n\text{ 回}} + \underbrace{n\cdot 2T_b}_{\text{ひも往復が }n\text{ 回}}$$$T_s = \pi\sqrt{M/k}$、$T_b=\ell/v_2$ を代入して、
$$t_{2n+1} = 2n\pi\sqrt{\frac{M}{k}} + 2n\cdot\frac{\ell}{v_2} = 2n\pi\sqrt{\frac{M}{k}} + \frac{2n\ell}{v_2}$$$n=1$ とすると3回目の衝突の時刻は、
$$t_3 = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}} + \frac{2\ell}{v_2}$$確かに「2回目（$\pi\sqrt{M/k}$、問6）＋（ひも左 $\ell/v_2$ ＋ ばね半周期 $\pi\sqrt{M/k}$ ＋ ひも右 $\ell/v_2$）」を足したものに一致します。$T_s$ が合計2回、$T_b$ が合計2回（＝$2T_b$ が1回）入っており、上式の $2n=2$、$2n\ell/v_2=2\ell/v_2$ と整合します。
運動は「ばね半周期 $T_s$」と「ひも往復 $2T_b$」の組合せ。$1\to2n+1$ では $T_s$ が $2n$ 回、$2T_b$ が $n$ 回。数え間違いに注意して足し合わせるだけ。
設定：領域A（$-\tfrac{3\ell}{4}\le x\le -\tfrac{\ell}{2}$、幅 $\tfrac{\ell}{4}$）だけ動摩擦係数 $\mu$。PとQは質量 $M$。Pは $x=0$ で速さ $v_3$ でQに衝突。$2N$ 回目と $2N+1$ 回目の衝突の間にPが領域Aの中心 $x=-\tfrac{5\ell}{8}$ で静止します。
摩擦力の大きさ：領域A内でPにはたらく動摩擦力は、
$$f = \mu M g$$Pが領域Aを1回通り抜けるたびに失うエネルギーは、幅 $\tfrac{\ell}{4}$ にわたって摩擦がする負の仕事の大きさ、
$$\Delta E_{1\text{通過}} = \mu M g\cdot\frac{\ell}{4}$$運動の追跡：1回目の衝突でP→0、Q→$v_3$（速度交換）。Qはばねで半周期往復して戻り、2回目の衝突でPが左向き $v_3$ になります（ここから左への往復が始まる）。Pは $x=0$ から左へ動き、領域Aを左向きに1回通過してひもの位置 $x=-\ell$ で張り、撃力で止まる→Qが往復して戻り→ひもが張ってPが右向き $v_3$ になり、領域Aを右向きに1回通過して $x=0$ に戻る。つまり1回の左往復で領域Aを2回通過します。
速度交換・撃力ではPの運動エネルギーは保たれ、エネルギーは領域A通過時のみ減ります。Pが領域Aの中心で静止するには、最初の $\tfrac{1}{2}Mv_3^2$ を摩擦で使い切ればよい。
場合分け：静止が領域Aを左向きに通過する途中か右向きに通過する途中かで通過距離が変わります。
（i）左向き通過中に中心で静止する場合：完全な左往復を $(N-1)$ 回（＝領域A通過 $2(N-1)$ 回）終えた後、$N$ 回目の左行きで領域Aに右端 $x=-\tfrac{\ell}{2}$ から入り、中心 $x=-\tfrac{5\ell}{8}$ まで $\tfrac{\ell}{8}$ 進んで止まる。摩擦走行距離の合計は、
$$L = 2(N-1)\cdot\frac{\ell}{4} + \frac{\ell}{8} = (N-1)\frac{\ell}{2} + \frac{\ell}{8} = \frac{(4N-3)\ell}{8}$$（ii）右向き通過中に中心で静止する場合：$N$ 回目の左行きで領域Aを完全通過（$\tfrac{\ell}{4}$）し $x=-\ell$ で折り返し、右行きで左端 $x=-\tfrac{3\ell}{4}$ から入り中心まで $\tfrac{\ell}{8}$ 進んで止まる。摩擦走行距離は、
$$L = 2(N-1)\cdot\frac{\ell}{4} + \frac{\ell}{4} + \frac{\ell}{8} = \frac{(4N-1)\ell}{8}$$エネルギーの式：いずれの場合も、最初の運動エネルギーがすべて摩擦の仕事に等しくなる条件は、
$$\frac{1}{2}M v_3^2 = \mu M g\cdot L$$$\mu$ について解くと、
$$\mu = \frac{M v_3^2}{2 M g\, L} = \frac{v_3^2}{2 g\, L}$$（i）では $L=\dfrac{(4N-3)\ell}{8}$ を代入して、
$$\mu = \frac{v_3^2}{2g}\cdot\frac{8}{(4N-3)\ell} = \frac{4 v_3^2}{(4N-3)g\ell}$$（ii）では $L=\dfrac{(4N-1)\ell}{8}$ を代入して、
$$\mu = \frac{4 v_3^2}{(4N-1)g\ell}$$$N=1,2,3,\dots$ にわたって分母 $(4N-3)$ は $1,5,9,\dots$、$(4N-1)$ は $3,7,11,\dots$ となり、両方あわせるとすべての正の奇数が現れます。よって取りうる値は、正の奇数 $2n-1$（$n=1,2,3,\dots$）を用いてまとめられます。
初期エネルギー $\tfrac12 Mv_3^2$ を1本のバーと見て、領域Aを1回通過するごとに $\mu Mg\cdot\tfrac{\ell}{4}$ ずつ減らしていくと考えます。中心 $-\tfrac{5\ell}{8}$ は右端 $-\tfrac{\ell}{2}$ から $\tfrac{\ell}{8}$、左端 $-\tfrac{3\ell}{4}$ からも $\tfrac{\ell}{8}$ の位置（領域Aの真ん中）です。
「ちょうど中心で止まる」＝最後の通過で残りエネルギーが $\mu Mg\cdot\tfrac{\ell}{8}$ ぴったりになる、ということ。これに至るまでに何回フル通過（$\tfrac{\ell}{4}$）したかで $N$ が決まり、最後が左行きか右行きかで $\tfrac{\ell}{8}$ の位置が変わります。結局、総摩擦距離 $L$ が $\tfrac{\ell}{8}$ の奇数倍 $\dfrac{(2n-1)\ell}{8}$ になり、上の答えが得られます。
問題文に「Pが領域Aで静止するまでQが領域Aに入ることはなかった」とあります。Qはばねにつながれており、振幅 $\le \ell_0$ の範囲でしか左へ動けません。$\ell_0 = v_3\sqrt{M/k}$ が $\tfrac{\ell}{2}$ より小さければQは $x=-\tfrac{\ell}{2}$ より左（領域A）に入りません。これがばねが「十分強い（$k$ 大）」という前提に対応し、上の計算（摩擦を受けるのはPのみ）が正当化されます。
エネルギーは「領域A通過時の摩擦」だけで減る。中心で止まる＝総摩擦距離が $\tfrac{\ell}{8}$ の奇数倍。左行き停止と右行き停止の両方を数えると、$\mu=\dfrac{4v_3^2}{(2n-1)g\ell}$（$n$ は正の整数）。「すべての値」なので両方の場合を必ず挙げる。