磁場中のレール上を滑る導体棒の電磁誘導問題です。3つのパートに分かれ、I では基本的な誘導起電力と外力、コイル（自己インダクタンス \(L\)）を含む回路の過渡現象を扱い、II では2本の導体棒が誘導結合する系を解析します。III ではコイルの自己誘導により導体棒が振動する現象を考えます。
導体棒Pが磁場 \(B\) 中をレールに沿って速さ \(v\) で動くと、棒中の自由電子にローレンツ力 \(evB\) が働き、電荷が分離して起電力が生まれる。回路に電流が流れると、棒自身がアンペア力を受けるので、等速運動を維持するには外力が必要になる。
図1の回路で、スイッチ \(S_1\) と \(S_2\) を開いたまま \(S_3\) を導線で短絡し、導体棒Pを \(x\) 軸正の向きに一定の速さ \(v\) で動かす。棒の長さ（レール間隔）は \(d\)、磁束密度は \(B\) である。
問1 誘導起電力の大きさ
磁場中で導体棒が速さ \(v\) で移動すると、微小時間 \(\Delta t\) の間に磁束の変化は：
$$\Delta\Phi = B \cdot d \cdot v\Delta t$$ファラデーの法則より誘導起電力は：
$$\mathcal{E} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = Bvd$$あるいは、導体棒中の自由電子に働くローレンツ力 \(f = evB\) を棒の長さ \(d\) にわたって積分しても：
$$\mathcal{E} = vBd$$問2 導体棒Pに加えている外力の大きさ
\(S_3\) を短絡しているので、\(x > 0\) 側の抵抗 \(R\) を通して電流が流れる。回路の電流は：
$$I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{Bvd}{R}$$導体棒Pに流れる電流が磁場から受けるアンペア力（電磁ブレーキ力）は：
$$F_{\text{brake}} = BId = \frac{B^2 v d^2}{R}$$この力は運動と逆向きなので、等速運動を維持するには同じ大きさの外力が必要：
$$F = \frac{B^2 v d^2}{R}$$外力がする仕事率 \(Fv\) が抵抗 \(R\) での消費電力に等しい：
$$Fv = I^2 R = \frac{(Bvd)^2}{R}$$ $$\therefore\; F = \frac{B^2 v d^2}{R}$$例えば \(B = 0.50\) T、\(d = 0.20\) m、\(v = 3.0\) m/s、\(R = 2.0\) Ω のとき：
$$\mathcal{E} = 0.50 \times 3.0 \times 0.20 = 0.30 \text{ V}$$ $$I = \frac{0.30}{2.0} = 0.15 \text{ A}$$ $$F = 0.50 \times 0.15 \times 0.20 = 0.015 \text{ N} = 15 \text{ mN}$$検算：\(F = B^2vd^2/R = 0.25 \times 3.0 \times 0.04 / 2.0 = 0.015\) N ✓
電磁ブレーキ力 \(F = B^2vd^2/R\) は速度に比例する。この構造は、あらゆる電磁誘導の問題の基本となる。
図2の構成では、\(S_3\) を閉じたまま \(S_1\) を閉じることで、起電力 \(E\)・抵抗 \(R\)・コイル \(L\) の直列回路が形成される。コイルがあると電流は瞬時には流れず、指数関数的に増加して定常値に近づく。導体棒Pに流れる電流が増えると電磁力も増え、棒は加速する。最終的に誘導起電力が電源電圧を打ち消す速度で一定になる。
問3 導体棒Pが一定速度に達したときの速さ
図2で \(S_3\) を閉じたまま、\(x < 0\) の領域で導体棒Pを静止させ、\(t = 0\) で \(S_1\) を閉じる。電源 \(E\) により回路に電流が流れ、導体棒Pはアンペア力で加速する。
導体棒Pが一定速度 \(v_\infty\) に達した定常状態では、コイルの電圧降下 \(L\dfrac{dI}{dt} = 0\)（電流変化なし）なので：
$$E = Bv_\infty d + IR \quad\text{（キルヒホッフの電圧則）}$$一定速度では加速度ゼロ、すなわちアンペア力もゼロ、つまり棒に流れる正味の電流がゼロ。ここで \(S_3\) の回路に電流が流れず、コイル側の回路のみ考えると：
定常状態では \(dI/dt = 0\) なのでコイルは導線と同じ。誘導起電力 \(Bv_\infty d\) と電源 \(E\) が釣り合う条件から：
$$Bv_\infty d = E$$ $$\therefore\; v_\infty = \frac{E}{Bd}$$問4 抵抗2に流れる電流 \(I_R\) の時間変化
抵抗2（\(x > 0\) 側の抵抗 \(R\)）には、導体棒Pの誘導起電力 \(\mathcal{E} = Bvd\) が駆動する電流が流れる。
\(t = 0\) で \(v = 0\) なので \(I_R = 0\)。その後 \(v\) が増加するにつれ \(I_R\) も増加し、\(v \to E/(Bd)\) で \(I_R\) は一定値に収束する。コイルの効果で初期は電流変化がゆっくり始まり、その後指数関数的に定常値に近づく。
したがって、グラフの形は指数関数的に0から増加して一定値に収束する形である。
LR回路の電流は \(I(t) = I_\infty(1 - e^{-t/\tau})\) で増加する。時定数 \(\tau = L/R\) が大きいほど立ち上がりが遅い。
この問題では導体棒の運動方程式と回路方程式が連立するため、単純な指数関数ではなく複雑だが、定性的な振る舞い（0から単調増加して飽和）は同じである。
定常状態の判定法：\(dI/dt = 0\) でコイルの電圧降下ゼロ → コイルを導線に置換して回路を解く。速度は \(v = E/(Bd)\)。
図4で導体棒Pが速度 \(v_0\) で \(x\) 軸負の向きに飛び出し、\(x = 0\) を通過して磁場領域に入る。コイルの自己誘導により「電気的なばね」の効果が生じ、導体棒は \(x = 0\) 付近で振動する。これは LC 振動回路と力学的振動の融合現象である。
問5 \(I_P\) と \(x_P\) の関係式の空欄を埋める
導体棒Pが \(x_P < 0\) の磁場領域にあるとき、コイルの自己誘導の効果を考える。
導体棒の微小変位 \(\Delta x_P\) による磁束変化で生じる誘導起電力は \(\mathcal{E} = Bd\dfrac{\Delta x_P}{\Delta t}\)。コイルに流れる電流の変化と起電力の関係から：
$$\frac{\Delta I_P}{\Delta t} = \boxed{-\frac{Bd}{L}} \cdot \frac{\Delta x_P}{\Delta t} \tag{1}$$空欄 (a) は \(-\dfrac{Bd}{L}\) である。これはファラデーの法則とコイルの \(V = L\dfrac{dI}{dt}\) を組み合わせた結果である。
導体棒Pの運動方程式は：電流 \(I_P\) が磁場から受ける力 \(F = BI_Pd\) から
$$m\frac{\Delta v_P}{\Delta t} = -BI_P d$$ここで \(v_P = \dfrac{\Delta x_P}{\Delta t}\) なので：
$$F = -\frac{(Bd)^2}{L} x_P$$すなわち空欄 (b) は \(\dfrac{(Bd)^2}{L}\) で、これはばね定数に相当する。
問6 電流 \(I_P\) の時間変化のグラフ
式(1)と運動方程式を組み合わせると、\(x_P\) の運動方程式は：
$$m\frac{d^2 x_P}{dt^2} = -\frac{(Bd)^2}{L} x_P$$これは角振動数 \(\omega = \dfrac{Bd}{\sqrt{mL}}\) の単振動である。\(t = t_1\) で \(x_P = 0\)、\(v_P = -v_0\)（負の向き）から出発するので：
$$x_P = -\frac{v_0}{\omega}\sin\omega(t - t_1)$$電流は \(I_P \propto -\dfrac{dx_P}{dt}\) に比例するから：
$$I_P \propto \cos\omega(t - t_1)$$\(t = t_1\) で最大値（正）をとり、その後 \(\cos\) 関数で振動する。グラフの形は \(t_1\) で正の最大から始まる余弦波である。
問7 電流 \(I_P\) の大きさの最大値
エネルギー保存則を用いる。\(t = t_1\) で導体棒は運動エネルギー \(\dfrac{1}{2}mv_0^2\) をもち、コイルには電流が流れていない（\(I_P = 0\)）。振動の過程で棒の運動エネルギーとコイルの磁気エネルギーが相互変換される：
$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}LI_{P\max}^2$$（\(I_P\) が最大のとき \(v_P = 0\)、すなわち棒が一瞬止まるとき）
$$I_{P\max} = v_0\sqrt{\frac{m}{L}}$$振動の解 \(I_P = I_{P\max}\cos\omega(t-t_1)\) の振幅について：
(1)式から \(I_P = \dfrac{Bd}{L}x_{P\max}\)、\(x_{P\max} = \dfrac{v_0}{\omega} = \dfrac{v_0\sqrt{mL}}{Bd}\) なので：
$$I_{P\max} = \frac{Bd}{L} \cdot \frac{v_0\sqrt{mL}}{Bd} = \frac{v_0\sqrt{m}}{\sqrt{L}} = v_0\sqrt{\frac{m}{L}}$$エネルギー保存の結果と一致する。
コイル＋導体棒の系は、ばね（\(k = (Bd)^2/L\)）＋質点（\(m\)）の単振動と等価。エネルギーは運動エネルギー \(\leftrightarrow\) 磁気エネルギーの間を往復する。
図6では上下2組のレールに導体棒PとQが1本ずつ置かれ、抵抗 \(R_1, R_2, R_3\) で結合されている。Pを外力で動かすと誘導起電力が生じ、その電流がQにもアンペア力を与えてQも動き出す。Qが動くとQ自身も起電力を発生し、系は複雑になるが、定常状態ではキルヒホッフの法則で解ける。
問8 導体棒Qに作用する力の向きと大きさ
図6で \(S_5\) を開いたまま \(S_4\) を閉じ、導体棒Pを \(x\) 軸正方向に速さ \(v\) で動かす。最初PとQは静止しているので、Pの誘導起電力 \(\mathcal{E}_P = Bvd\) だけが回路を駆動する。
\(S_5\) が開いているので \(R_3\) には電流が流れず、\(R_1\) と \(R_2\) の直列回路となる：
$$I = \frac{Bvd}{R_1 + R_2}$$この電流が導体棒Qにも流れるので、Qに働く力は：
$$F_Q = BId = \frac{B^2 v d^2}{R_1 + R_2}$$レンツの法則より、Qに働く力はPと同じ方向（\(x\) 軸正方向＝（イ）の向き）である。
問9 導体棒Qが一定速度に達したときの速さ
Qが速度 \(v_Q\) で動いているとき、Qも起電力 \(\mathcal{E}_Q = Bv_Qd\) を発生する。正味の起電力は：
$$\mathcal{E}_{\text{net}} = Bvd - Bv_Qd = Bd(v - v_Q)$$回路の電流は \(I = \dfrac{Bd(v - v_Q)}{R_1 + R_2}\)。Qに働くアンペア力は \(F_Q = BId\)。
Qが一定速度に達する条件は \(F_Q = 0\)、すなわち \(I = 0\)。
しかし、\(I = 0\) だと P にも力が働かない。実際には P は外力で一定速度を維持しているので、定常状態では Q の加速度がゼロになる条件を考える。
Q の運動方程式：\(m\dfrac{dv_Q}{dt} = BId\)。定常状態で \(\dfrac{dv_Q}{dt} = 0\) なので \(I = 0\)：
$$Bd(v - v_Q) = 0 \quad \Rightarrow \quad v_Q = v$$ところが、これでは電流がゼロで Q を加速する力がなくなってしまう。問題文の「速度は一定になった」という記述と整合させると、\(S_5\) は開（\(R_3\) なし）で \(R_1, R_2\) 直列のみの回路なので、正味起電力がゼロ → \(v_Q = v\)...ではなく、Qは抵抗を持つ回路で結合されているため、エネルギー散逸がありつつ定常状態に至る。
定常状態では回路の電流がゼロになる必要があり：
$$v_Q = v \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}$$（PとQの起電力と抵抗の分配から得られる。Pの起電力は \(R_1\) と \(R_2\) で分圧され、Qの端子電圧が \(Bv_Qd\) に等しくなる条件。）
正確には、定常状態でQの加速力ゼロの条件は、Qを流れる正味の電流がゼロになることである。P側の起電力 \(Bvd\) を \(R_1\) と \(R_2\) で分圧し、\(R_2\) の両端電圧が \(Bv_Qd\) に等しくなると電流ゼロ：
$$Bv_Qd = \frac{R_2}{R_1+R_2} Bvd$$ $$v_Q = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,v$$問10 \(S_5\) を閉じた直後に抵抗 \(R_3\) に流れる電流
問9でQの速度が \(v_Q = \dfrac{R_2}{R_1+R_2}v\) で一定になった後、\(S_4\) を閉じたまま \(S_5\) も閉じる。Pは引き続き速度 \(v\) で動く。
\(S_5\) を閉じた「直後」は、Qの速度はまだ \(v_Q\) のまま。Pの起電力は \(\mathcal{E}_P = Bvd\)、Qの起電力は \(\mathcal{E}_Q = Bv_Qd\)。
\(R_3\) が \(R_1, R_2\) と並列に接続される。正味の起電力 \(\mathcal{E}_P - \mathcal{E}_Q = Bd(v - v_Q)\) が、\(R_3\) と \(\dfrac{R_1 R_2}{R_1+R_2}\)（\(R_1\) と \(R_2\) の並列合成）の直列に印加される：
$$I_{R_3} = \frac{Bd(v - v_Q)}{R_3 + \dfrac{R_1 R_2}{R_1+R_2}}$$\(v - v_Q = v - \dfrac{R_2}{R_1+R_2}v = \dfrac{R_1}{R_1+R_2}v\) を代入すると：
$$I_{R_3} = \frac{Bd \cdot \dfrac{R_1 v}{R_1+R_2}}{R_3 + \dfrac{R_1 R_2}{R_1+R_2}} = \frac{BdvR_1}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}$$問11 \(S_5\) を閉じた後のQの新しい一定速度
新しい定常状態では Qを流れる正味の電流がゼロ。今度は \(R_3\) も接続されているので、Pの起電力を\(R_1\) と（\(R_2\) と \(R_3\) の並列）で分圧する：
\(R_2\) と \(R_3\) の並列合成抵抗は \(R_{23} = \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}\)。Qに対応する端子電圧がQの起電力に等しい条件：
$$Bv_Q'd = \frac{R_{23}}{R_1 + R_{23}} Bvd$$ $$v_Q' = \frac{R_{23}}{R_1 + R_{23}} v = \frac{\dfrac{R_2 R_3}{R_2+R_3}}{R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2+R_3}} v$$分母を通分すると：
$$v_Q' = \frac{R_2 R_3}{R_1(R_2+R_3) + R_2 R_3} v = \frac{R_2 R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} v$$\(R_3 \to \infty\) では \(S_5\) が開いているのと同じ。
$$v_Q' \to \frac{R_2 \cdot \infty}{R_1 R_2 + R_2 \cdot \infty + \infty \cdot R_1} \to \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,v$$問9の結果と一致。✓
\(R_3\) を追加すると、\(R_2\) に並列な電流経路ができるため、Q側の合成抵抗が下がる。これにより分圧比が変わり、Qの起電力の定常値（＝Qの速度に対応）が変化する。\(R_3\) が小さいほど \(v_Q'\) は小さくなる（\(R_3 \to 0\) では \(v_Q' \to 0\)）。
2本の導体棒の定常速度は分圧則で決まる。各棒の起電力を電池、各抵抗を外部抵抗とみなしてキルヒホッフの法則を立てるのがコツ。