大気圧下で重りを載せたピストン付き容器Xと、バルブで接続された容器Yからなる系の熱力学問題です。AとBは独立した問題として出題されています。
容器Xのピストンは自由に動けるが、大気圧と上に載ったおもりの重力で押されている。ピストンが静止するためには、容器内の気体の圧力がこれらと釣り合う必要がある。温度を上げるとピストンは上昇し、下げると下降する。
容器Xの円筒容器に断面積 \(S\) のピストンがあり、その上に質量 \(m\) のおもりが載っている。大気圧は \(p_0\)、容器X内には \(n\) モルの単原子分子理想気体が封入されている。
ピストンの力のつり合い：
ピストンに作用する力は、下から気体の圧力 \(pS\)、上から大気圧 \(p_0 S\) とおもりの重力 \(mg\) である。つり合いの条件：
$$pS = p_0 S + mg$$ $$\therefore\; p = p_0 + \frac{mg}{S}$$ピストンの底面が容器Xの底面から高さ \(L\) の位置で静止しているので、気体の体積は \(V = SL\)。理想気体の状態方程式より：
$$pV = nRT_1$$ $$\left(p_0 + \frac{mg}{S}\right) \cdot SL = nRT_1$$ $$T_1 = \frac{(p_0 S + mg)L}{nR}$$例えば \(p_0 = 1.0 \times 10^5\) Pa、\(m = 5.0\) kg、\(g = 9.8\) m/s²、\(S = 1.0 \times 10^{-3}\) m²、\(L = 0.40\) m、\(n = 0.10\) mol のとき：
$$p = 1.0 \times 10^5 + \frac{5.0 \times 9.8}{1.0 \times 10^{-3}} = 1.0 \times 10^5 + 4.9 \times 10^4 = 1.49 \times 10^5 \text{ Pa}$$ $$T_1 = \frac{1.49 \times 10^5 \times 1.0 \times 10^{-3} \times 0.40}{0.10 \times 8.31} = \frac{59.6}{0.831} = 71.7 \text{ K}$$（実際の試験では記号のまま答えるので、数値は検算用に使う。）
ピストンが自由に動ける場合、気体の圧力は常に \(p_0 + mg/S\) で一定（定圧条件）。温度が変わっても体積が変化するだけで圧力は変わらない。
バルブを開くと、気体は容器Yの真空中にも広がる。ピストンの位置を固定したまま（高さ \(L\)）バルブを開くので、気体の体積は \(SL\) から \(SL + V_Y\) に増える。十分な時間が経つと容器XとYの温度・圧力は等しくなる。
問1の状態（温度 \(T_1\)）からピストンの底面の高さを \(L\) のまま固定してバルブを開く。気体は容器Yに広がるだけで、容器やピストンに対して仕事をせず、また容器Yは真空なので自由膨張である。
十分な時間が経つと温度と圧力が均一になる。ここでピストンの位置は固定なので、容器X内の体積は \(SL\) のまま変わらない。合計体積は \(SL + V_Y\)。
ただし、問題文に「バルブを開いて十分な時間が経過した後、容器X と Y 内の気体の温度と圧力は等しくなった」とある。このとき気体の温度を \(T_2\)、圧力を求める。
ピストンは高さ \(L\) の位置のまま固定されているので、ピストンの力のつり合いは：
$$p_2 = p_0 + \frac{mg}{S}$$（ピストンが固定なら力のつり合いは不要だが、「ピストンの底面の高さを \(L\) の位置のまま固定し」とあるので圧力は自由。）
実際には、バルブを開くと気体が \(V_Y\) に広がり、圧力が下がる。圧力が下がるとピストンは下がろうとするが、固定されているので圧力は下がったまま。
全体積 \(SL + V_Y\) に \(n\) モルが広がり、温度 \(T_2\) で圧力 \(p_2\)：
$$p_2(SL + V_Y) = nRT_2$$自由膨張では内部エネルギーが変化しないので \(T_2 = T_1\)。したがって：
$$p_2 = \frac{nRT_1}{SL + V_Y} = \frac{(p_0 S + mg)L}{SL + V_Y}$$（\(nRT_1 = (p_0 + mg/S)SL = (p_0 S + mg)L\) を用いた。）
真空への膨張では、気体は仕事をしない（押す相手がない）。また系は断熱なので \(Q = 0\)。熱力学第一法則 \(\Delta U = Q - W = 0\) より内部エネルギー不変 → 理想気体では温度不変。
真空への自由膨張：\(W = 0, Q = 0 \Rightarrow \Delta T = 0\)。理想気体の温度は変わらず、圧力だけが下がる。
問2の状態からバルブを開いたままヒーターで加熱し、温度を \(T_3\) まで上昇させる。ピストンの位置を固定から外すとピストンは動くが、ここでは「ピストンの底面が高さ \(L\) の位置で変わらなかった」とあるので、容器X側の体積は一定のまま温度が上がり、圧力だけが変化する。
問2の状態からバルブを開いたままヒーターを用いて容器XとYの気体の温度を \(T_3\) まで上昇させる。このとき「ピストンの底面は高さ \(L\) の位置で変わらなかった」とあるので、容器Xの体積は \(SL\) のまま。
全体積 \(SL + V_Y\) は一定（ピストン不動＋容器Y の体積固定）。理想気体の状態方程式より：
$$p_3(SL + V_Y) = nRT_3$$ $$p_3 = \frac{nRT_3}{SL + V_Y}$$ピストンのつり合い条件（ピストンが動かない場合は成立しなくてよいが、ピストンが\(L\)で静止しているということは力がつり合っている）から：
$$p_3 \geq p_0 + \frac{mg}{S} \text{ のとき、ピストンは上昇しようとする}$$しかし、問題文に「底面は高さ \(L\) の位置で変わらなかった」とあるので、温度 \(T_3\) は実は任意に与えられた条件で、\(T_3\) のときの気体の温度を \(p_0, m, g, S, L, V_Y, n, R\) を用いて表す問題である。
バルブを開いたまま加熱すると、気体全体が温まる。ピストン不動なので全体積一定の定積変化：
$$\frac{p_2}{T_2} = \frac{p_3}{T_3} \quad\Rightarrow\quad p_3 = p_2 \cdot \frac{T_3}{T_1}$$このときの気体温度は問題文で \(T_3\) と置かれている。問3 は「このときの気体の温度を \(p_0, m, g, S, L, V_Y, n, R\) のうち必要なものを用いて表せ」なので、状態方程式から直接表す：
$$T_3 = \frac{p_3(SL + V_Y)}{nR}$$ピストンが動かない → 定積変化（等積変化）。温度と圧力が比例して変化する。
問3の状態からバルブを再び閉じ、おもりをピストンからゆっくり外す。おもりが外れると、ピストンにかかる力が減って気体は膨張する。この過程が「ゆっくりした断熱変化」なので、ポアソンの式 \(pV^\gamma = \text{const}\) が成り立つ。
問3の状態からバルブを再び閉じ、おもりをピストンからゆっくりと外す。容器Xの気体に対してゆっくりとした断熱変化が起こる。
おもりを外すと、ピストンにかかる外力が \(p_0 S + mg\) から \(p_0 S\) に変わる。新しいつり合い圧力は \(p_0\) になるので、気体は膨張する。
ポアソンの式 \(pV^\gamma = \text{const}\) を適用する。初期状態と終状態で：
$$\left(p_0 + \frac{mg}{S}\right)(SL)^\gamma = p_0 \cdot \{S(L + \Delta L)\}^\gamma$$\(S^\gamma\) で割ると：
$$\left(p_0 + \frac{mg}{S}\right) L^\gamma = p_0 (L + \Delta L)^\gamma$$ $$\frac{(L + \Delta L)^\gamma}{L^\gamma} = \frac{p_0 + mg/S}{p_0}$$ $$\left(1 + \frac{\Delta L}{L}\right)^\gamma = \frac{p_0 S + mg}{p_0 S}$$ $$\frac{\Delta L}{L} = \left(\frac{p_0 S + mg}{p_0 S}\right)^{1/\gamma} - 1$$単原子分子では自由度 \(f = 3\) なので：
$$C_V = \frac{3}{2}R, \quad C_P = \frac{5}{2}R, \quad \gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{5}{3}$$ポアソンの式 \(pV^{5/3} = \text{const}\) を用いる。
ポアソンの式の適用：断熱変化では \(pV^\gamma\) が保存される。圧力の初期値と最終値がわかれば体積比を求められる。
問3と問4の過程における内部エネルギー変化と気体がした仕事を求める。問3はヒーターによる加熱（定積変化）、問4はおもりを外す断熱膨張である。それぞれの過程での内部エネルギー変化 \(\Delta U\) と仕事 \(W\) を考える。
空欄(a)：問3および問4の過程における内部エネルギー変化 \(\Delta U\)
内部エネルギーは状態量なので、途中の過程によらず初期状態と終状態のみで決まる：
$$\Delta U = nC_V(T_{\text{final}} - T_{\text{initial}})$$問3（定積加熱）での内部エネルギー変化は \(nC_V(T_3 - T_1)\)。
問4（断熱膨張）では \(Q = 0\) なので \(\Delta U = -W\)（気体がした仕事の分だけ内部エネルギーが減少）。
空欄(a)は \(\{p_0, m, g, S, L, V_Y, n, R\}\) の関数で、具体的には：
$$\Delta U = nC_V(T_3 - T_1)$$単原子分子では \(C_V = \dfrac{3}{2}R\) なので \(\Delta U = \dfrac{3}{2}nR(T_3 - T_1)\)。
空欄(b)：問4の断熱変化で気体がピストンに対して行った仕事 \(W\)
断熱変化では \(Q = 0\) なので \(W = -\Delta U_4 = nC_V(T_3' - T_4)\)（ここで \(T_3'\) は断熱変化の初期温度、\(T_4\) は終状態の温度）。
あるいは、ピストンに対して気体がした仕事は、ピストンが押し上げた分と大気に対する仕事から：
$$W = p_0 \cdot S \cdot \Delta L$$（おもりを外した後の断熱膨張なので、ピストンにかかる外圧は \(p_0\) のみ。定圧 \(p_0\) で体積が \(S\Delta L\) だけ増加。）
ただし、「ゆっくりとした断熱変化」は準静的過程なので、気体がする仕事は：
$$W = \int p\,dV$$この積分はポアソンの式で計算でき、結果は \(\dfrac{p_3 V_3 - p_4 V_4}{\gamma - 1}\) で表される。
断熱変化では \(W = -\Delta U = nC_V(T_{\text{before}} - T_{\text{after}})\)。
または \(W = \dfrac{1}{\gamma-1}(p_i V_i - p_f V_f)\)。単原子分子では \(\gamma - 1 = 2/3\) なので：
$$W = \frac{3}{2}(p_i V_i - p_f V_f)$$問3の定積加熱（バルブ開放・ピストン不動）では仕事 \(W = 0\) なので：
$$Q_3 = \Delta U_3 = nC_V(T_3 - T_1) = \frac{3}{2}nR(T_3 - T_1)$$ヒーターが供給した熱はすべて内部エネルギーの増加に使われる。
熱力学第一法則 \(\Delta U = Q - W\) を各過程で正しく適用する。定積変化：\(W = 0\)、断熱変化：\(Q = 0\)、定圧変化：\(W = p\Delta V\)。