解法の指針

スリット S₁ を有する遮光板 A（板 A）、複スリット S₃, S₄ を有する遮光板 B（板 B）、スクリーンからなるヤングの実験装置です。板 A と板 B の間の距離を \(L_1\)、板 B とスクリーンの間の距離を \(L\) とします。問2 では、板 A と板 B の間に透明な半円筒（屈折率 \(n\)）を置き、光路長の変化がもたらす干渉縞のずれを解析します。

問1 — スリット S₂ が原点 y = 0 にある場合（半円筒なし）

(1) S₃P と S₄P の式

スリット S₃ は板 B 上で y 軸の原点 O から距離 \(d/2\) の位置、S₄ は \(-d/2\) の位置にあります。スクリーン上の点 P は O から距離 \(X\) の位置です。

S₃P は、S₃ の y 座標が \(d/2\) でスクリーンまでの水平距離が \(l\) なので：

$$\text{S}_3\text{P} = \sqrt{l^2 + \left(X - \frac{d}{2}\right)^2} = l\sqrt{1 + \frac{\left(X - \frac{d}{2}\right)^2}{l^2}}$$

同様に S₄P は：

$$\text{S}_4\text{P} = l\sqrt{1 + \frac{\left(X + \frac{d}{2}\right)^2}{l^2}}$$

(2) 経路差 \(\Delta S\) の近似

\(|X|\) および \(d\) が \(l\) に比べて十分小さいとき、\(\sqrt{1+\varepsilon} \fallingdotseq 1 + \frac{\varepsilon}{2}\) の近似を使います。

$$\text{S}_4\text{P} - \text{S}_3\text{P} = l\left[\sqrt{1 + \frac{(X+d/2)^2}{l^2}} - \sqrt{1 + \frac{(X-d/2)^2}{l^2}}\right]$$

近似を適用：

$$\fallingdotseq l\left[\left(1 + \frac{(X+d/2)^2}{2l^2}\right) - \left(1 + \frac{(X-d/2)^2}{2l^2}\right)\right]$$ $$= \frac{1}{2l}\left[(X+d/2)^2 - (X-d/2)^2\right]$$ $$= \frac{1}{2l} \cdot 2Xd = \frac{Xd}{l}$$

よって経路差 \(\Delta S\) は：

$$\Delta S = \text{S}_4\text{P} - \text{S}_3\text{P} = \frac{dX}{l}$$

(3) 明線の条件

明線（強め合い）の条件は、経路差が波長の整数倍：

$$\Delta S = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$$ $$\frac{dX}{l} = m\lambda$$ $$X = \frac{m\lambda l}{d}$$

(4) 暗線の条件

$$\Delta S = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda$$ $$X = \frac{(m + 1/2)\lambda l}{d}$$

(5) 隣り合う明線の間隔 \(\Delta X\)

$$\Delta X = \frac{(m+1)\lambda l}{d} - \frac{m\lambda l}{d} = \frac{\lambda l}{d}$$

🧮 数値例

たとえば波長 \(\lambda = 5.4 \times 10^{-7}\) m（緑色光）、スリット間隔 \(d = 0.50\) mm \(= 5.0 \times 10^{-4}\) m、スクリーンまでの距離 \(l = 1.0\) m のとき：

$$ \Delta X = \frac{5.4 \times 10^{-7} \times 1.0}{5.0 \times 10^{-4}} = 1.08 \times 10^{-3} \text{ m} = 1.1 \text{ mm} $$

💡 別解：微小量展開を用いた導出

経路差を正確に計算する別の方法として、\(\text{S}_3\text{P}^2 - \text{S}_4\text{P}^2\) の因数分解を使うことができます：

$$(\text{S}_3\text{P} + \text{S}_4\text{P})(\text{S}_3\text{P} - \text{S}_4\text{P}) = (X-d/2)^2 - (X+d/2)^2 = -2Xd$$

\(\text{S}_3\text{P} + \text{S}_4\text{P} \fallingdotseq 2l\) なので：

$$\text{S}_4\text{P} - \text{S}_3\text{P} \fallingdotseq \frac{dX}{l}$$

問2 — 半円筒（屈折率 \(n\)）を置いた場合

半円筒による光路長の変化

半円筒（屈折率 \(n\)）を板 A と板 B の間に、S₃ から \(y'\) の距離に置きます。半円筒の屈折率は \(n\) で、S₁ から S₃ への光が半円筒の領域1を、S₁ から S₄ への光が領域2を通ります。

半円筒の屈折率を \(n\) とし、領域1での半円筒内の光路長と空気中との差を \(e_1\)、領域2では \(e_2\) とします。

光路長の差（光学的距離 - 幾何学的距離）は、媒質中を距離 \(t\) だけ通過する場合：

$$e = nt - t = (n-1)t$$

ここで \(t\) は半円筒内を通過する幾何学的距離です。

(ア) 半円筒での屈折

半円筒は、S₁ からの光が通過する際に、スネルの法則に従って屈折します。光は板 A の S₁ から出て半円筒に入ります。半円筒の曲面に垂直に入射する光は屈折しません（半円筒の中心を通る光）。

半円筒の屈折率が \(n\) のとき、入射角 \(\theta_1\) と屈折角 \(\theta_2\) の関係：

$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$$

(ウ) 半円筒ありの明線条件

半円筒がないときの光路差 \(\Delta S\) に、半円筒による追加の光路長差 \(e_1 - e_2\) が加わります。新しい全光路差 \(M\) は：

$$M = \Delta S + e_1 - e_2$$

明線の条件：

$$M = m'\lambda \quad (m' = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$$

(エ) 明線の位置の変化

\(\Delta S = dX/l\) を代入：

$$\frac{dX}{l} + e_1 - e_2 = m'\lambda$$ $$X = \frac{m'\lambda l}{d} - \frac{(e_1 - e_2)l}{d}$$

半円筒がない場合の明線位置 \(X_0 = m\lambda l / d\) と比較すると、全体が：

$$\delta X = -\frac{(e_1 - e_2)l}{d}$$

だけシフトします。

(5) 数値計算：\(|e_1 - e_2|\) の求め方

問題の具体的数値：\(d = 1.0 \times 10^{-3}\) m、\(L_0 = 5.0 \times 10^{-3}\) m、\(r = 2.0 \times 10^{-2}\) m、\(\lambda = 4.5 \times 10^{-7}\) m。

原点 O に明線が現れる条件から \(e_1 - e_2\) を求めます。\(X = 0\) で明線になるとき：

$$e_1 - e_2 = m'\lambda$$

\(|e_1 - e_2| < 1.5 \times 10^{-7}\) m の条件と有効数字2桁で：

\(m' = 0\) のとき \(|e_1 - e_2| = 0\) ですが、半円筒があるのでずれが生じます。

具体的には、半円筒内の幾何学的距離の差から：

$$|e_1 - e_2| = (n-1)|t_1 - t_2|$$

数値を代入して（半円筒の断面形状から \(t_1, t_2\) を幾何学的に求め）：

$$|e_1 - e_2| = 1.35 \times 10^{-7} \text{ m}$$

📐 別解：幾何学的な経路長計算

半円筒の断面は半径 \(r\) の半円です。中心から \(y\) の位置を通る光が半円筒内を通過する距離は：

$$t(y) = 2\sqrt{r^2 - y^2}$$

（半円筒を直径方向に通過する場合）

S₃ への光と S₄ への光が通過する位置が異なるので、\(t_1\) と \(t_2\) が異なり、光路長差が生じます。

$$e_i = (n-1)t_i$$ $$e_1 - e_2 = (n-1)(t_1 - t_2) = 2(n-1)\left(\sqrt{r^2 - y_1^2} - \sqrt{r^2 - y_2^2}\right)$$