力学の基本法則 — 運動方程式・エネルギー保存則・運動量保存則 — を正確に適用する問題です。力の図示から始めて、適切な法則を選択し、具体的な数値計算を行います。

全体を貫くポイント

直感的理解

物体の運動エネルギーは質量と速度の2乗に比例する。速度が2倍になれば運動エネルギーは4倍。これが車の制動距離が速度の2乗に比例する理由。

質量 3.0 kg の物体が速さ 4.0 m/s で運動している。運動エネルギーは：

$$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 3.0 \times 4.0^2 = 24 \text{ J}$$

計算結果は 24 J である。

仕事-エネルギーの定理より、合力がした仕事 $W$ は運動エネルギーの変化に等しい：

$$W_{\text{合力}} = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$$

静止 $(v_0 = 0)$ から $v = 4.0$ m/s にするのに必要な仕事は $W = 24$ J。

答え：$K = 24$ J

補足：速度を2倍にすると

速度が $v \to 2v$ のとき $K' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = 4K$。運動エネルギーは4倍になる。

別解：運動量との関係

運動量 $p = mv = 3.0 \times 4.0 = 12.0$ kg·m/s を使うと：

$$K = \frac{p^2}{2m} = \frac{12.0^2}{2 \times 3.0} = 24 \text{ J}$$

Point

$K = \frac{1}{2}mv^2$ で$v^2$ を忘れない。エネルギー保存則では位置エネルギー $mgh$ との変換を考える。

直感的理解

斜面上の物体は重力の斜面方向成分 $mg\sin\theta$ で加速する。角度が大きいほど加速が速く、水平面（$\theta = 0$）では加速しない。

質量 3.0 kg の物体を傾き 45° の滑らかな斜面に置く。重力加速度は 9.8 m/s² とする。

$$mg\sin\theta = 3.0 \times 9.8 \times \sin 45° = 20.8 \text{ N}$$

斜面方向の力は 20.8 N、加速度は 6.93 m/s² である。

摩擦がない場合の加速度は：

$$a = g\sin\theta = 9.8 \times \sin 45° = 6.93 \text{ m/s}^2$$

垂直抗力は $N = mg\cos\theta = 20.8$ N。

答え：斜面方向の力 $= mg\sin 45° = 20.8$ N

補足：摩擦がある場合

動摩擦係数 $\mu'$ がある場合、摩擦力 $f = \mu' N = \mu' mg\cos\theta$ が斜面を上る向きに加わる。運動方程式は：

$$ma = mg\sin\theta - \mu' mg\cos\theta = mg(\sin\theta - \mu'\cos\theta)$$

Point

斜面方向の成分は$mg\sin\theta$。$\theta \to 0°$ で力 $\to 0$ を確認して sin/cos を判別。

前期 大問１：力学

前期大問１：力学