直径 \(2R\) の円柱形の台の上で、長さ \(r\ (r>R)\) の回転棒の先端についた質量 \(m\) のおもりが、台の中心軸まわりに水平面内を角速度 \(\omega\) で回転する装置の問題です。前半〔A〕は「装置が床の上で滑るか倒れるか」の力のつり合いと転倒モーメント、後半〔B〕は台を固定しておもりと振り子の小球を2回衝突させる衝突＋単振り子の総合問題です。
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| \(R\) | 台（円柱）の半径（直径 \(2R\)） |
| \(r\ (>R)\) | 回転棒の長さ＝おもりの回転半径 |
| \(h\) | 回転棒（＝水平力の作用点）の床からの高さ |
| \(M,\ m\) | 台の質量、おもりの質量 |
| \(\mu\) | 台と床の間の静止摩擦係数 |
| \(\ell,\ m'\) | 振り子の糸の長さ、小球の質量 |
| \(e\) | おもりと小球の間の反発係数 |
おもりが片側に飛び出しているので、装置全体はおもりの側へ倒れようとする。倒れる支点は台の接地円のふち（おもり側の端）。おもりの重さ \(mg\) が倒す向き、台の重さ \(Mg\) が支える向きにモーメントをつくる。両者がつり合う限界が「倒れないぎりぎり」。
立式：装置全体（台＋回転棒＋おもり）にはたらく外力は、台の重さ \(Mg\)（中心軸上）、おもりの重さ \(mg\)（水平距離 \(r\) の先端）、床からの垂直抗力と摩擦力です。転倒はおもり側の接地端（中心軸から距離 \(R\)）を支点とする回転で起こります。この支点まわりのモーメントを考えます。
倒す向きのモーメント（おもりの重さ \(mg\)、支点からの水平距離 \(r-R\)）：
$$N_{\text{倒}} = mg\,(r - R)$$支える向きのモーメント（台の重さ \(Mg\)、支点からの水平距離 \(R\)）：
$$N_{\text{支}} = Mg\,R$$倒れない条件：支えるモーメントが倒すモーメント以上であればよい：
$$Mg\,R \geqq mg\,(r - R)$$両辺を \(mgR\ (>0)\) で割って整理すると：
$$\frac{M}{m} \geqq \frac{r - R}{R}$$おもりが飛び出している側へ倒れようとするので、回転の中心（支点）はその側の接地円のふち、すなわち中心軸から距離 \(R\) だけおもり寄りの点になります。反対側の端を支点にとると倒す向きのモーメントが存在せず、転倒の判定になりません。転倒問題では「倒れる直前に浮き上がる辺（＝残る接地辺）」を支点に選ぶのが鉄則です。
転倒条件は「倒れる支点まわりのモーメントのつり合い」。腕の長さは支点（中心から \(R\)）を基準に測る。おもり側の腕は \(r-R\)、台側の腕は \(R\)。
おもりを円運動させるには、中心へ向かう向心力 \(m\omega^2 r\) が要る。その反作用として、おもりは棒を外向きに引っぱり、その力が台に伝わる。角速度を上げるとこの外向きの水平力が増え、やがて最大摩擦力を超えた瞬間に台が滑り出す。
立式：おもりの円運動（半径 \(r\)、角速度 \(\omega\)）に必要な向心力の大きさは \(m\omega^2 r\)。この向心力は回転棒がおもりに与え、その反作用としておもりは棒を外向きに引きます。棒は台に固定されているので、台には大きさ \(m\omega^2 r\) の水平な外向きの力がはたらきます。
一方、床が台を支える垂直抗力 \(N\) は、装置全体の重さ（台 \(Mg\) ＋ おもり \(mg\)）に等しい：
$$N = (M + m)g$$台が傾かずに滑り出す【I】の限界は、水平力が最大静止摩擦力に等しくなるとき：
$$m\,\omega_1^{\,2}\, r = \mu N = \mu (M + m) g$$これを \(\omega_1\) について解くと：
$$\omega_1^{\,2} = \frac{\mu (M + m) g}{m r} \quad\Longrightarrow\quad \omega_1 = \sqrt{\frac{\mu (M + m) g}{m r}}$$おもりは棒を通じて台に固定されており、その重さ \(mg\) も最終的に床が支えます。したがって床からの垂直抗力は台とおもりの合計 \((M+m)g\) です。ここを \(Mg\) だけにすると摩擦力を過小評価してしまうので注意しましょう。なお、円運動の向心力は水平方向なので、垂直方向のつり合い（＝垂直抗力の大きさ）には影響しません。
滑りの駆動力は向心力の反作用 \(m\omega^2 r\)。「駆動力 ＝ 最大摩擦 \(\mu(M+m)g\)」で角速度を求める。
今度は滑らずに倒れる場合。回転で生じる外向きの水平力 \(m\omega^2 r\) は高さ \(h\) の位置にはたらくので、接地端まわりに倒すモーメント \(m\omega^2 r \cdot h\) を追加でつくる。(a) の静的な倒す効果に、この「回転による上乗せ」が加わって、ちょうど倒れ始める角速度が決まる。
立式：台が滑らずに倒れる【II】の限界を、接地端（中心軸から距離 \(R\)）を支点とするモーメントのつり合いで考えます。倒す向きのモーメントは、(a) の \(mg(r-R)\) に加えて、回転による水平力 \(m\omega^2 r\)（高さ \(h\)）によるモーメント \(m\omega_2^{\,2} r \cdot h\) が上乗せされます。
倒す向きのモーメント：
$$N_{\text{倒}} = m\,\omega_2^{\,2}\, r\, h + mg\,(r - R)$$支える向きのモーメント：
$$N_{\text{支}} = Mg\,R$$傾き始める瞬間は両者が等しい：
$$m\,\omega_2^{\,2}\, r\, h + mg\,(r - R) = Mg\,R$$回転による項について解きます：
$$m\,\omega_2^{\,2}\, r\, h = MgR - mg(r - R) = g\{MR - m(r - R)\}$$右辺を整理すると \(MR - m(r-R) = (M+m)R - mr\) なので：
$$\omega_2^{\,2} = \frac{g\{(M+m)R - m r\}}{m r h}$$ $$\omega_2 = \sqrt{\frac{g\{(M+m)R - m r\}}{m r h}}$$角速度をゆっくり上げると、\(\omega_1\) と \(\omega_2\) の小さい方に先に到達します。摩擦係数 \(\mu\) が小さければ \(\omega_1<\omega_2\) となり先に滑り（【I】）、逆に \(\mu\) が大きく背が高い（\(h\) 大）装置では \(\omega_2<\omega_1\) となり先に倒れ（【II】）ます。装置ごとに \(R,r,h,M,m,\mu\) が違うため、どちらが起こるかが変わるのが本問の設定です。なお \(\omega_2\) が実在するには根号内が正、すなわち \((M+m)R>mr\)（＝(a)の条件を満たす）ことが必要です。
回転すると高さ \(h\) の水平力 \(m\omega^2 r\) が新たに倒すモーメント \(m\omega^2 r\,h\) を生む。静的な倒す効果 \(mg(r-R)\) と足して、支える \(MgR\) とつり合わせる。
モーターが充分強力なので、おもりの速さはいつでも \(r\omega\) のまま。だから運動量は保存せず、使えるのは反発係数の定義だけ。1回目は静止した小球に \(r\omega\) のおもりが当たる。小球は振り子で戻ってきて、今度は逆向きに動きながら2回目の衝突を受けるので、より速くはじき返される。
重要な前提：モーターが充分強力なので、おもりの速さは衝突の前後を通じて常に \(r\omega\) で一定です。したがっておもりと小球の系では運動量は保存しません。使えるのは反発係数の定義（＝はね返る相対速度／近づく相対速度）だけです。速度は、おもりの進行方向を正にとります。
1回目の衝突：衝突前、おもりは \(+r\omega\)、小球は静止 \((0)\)。衝突後、おもりは \(+r\omega\)（不変）、小球は \(+v_1\)。反発係数の定義より：
$$e = \frac{v_1 - r\omega}{r\omega - 0}$$これを \(v_1\) について解くと：
$$v_1 - r\omega = e\,r\omega \quad\Longrightarrow\quad v_1 = r\omega(1 + e)$$2回目の衝突：小球は振り子で最下点まで戻ってくる。エネルギー保存より戻ってきた小球の速さは \(v_1\) のままで、向きは逆（おもりに向かってくる）なので速度は \(-v_1\)。衝突前、おもりは \(+r\omega\)、小球は \(-v_1\)。衝突後、おもりは \(+r\omega\)、小球は \(+v_2\)。反発係数の定義より：
$$e = \frac{v_2 - r\omega}{\,r\omega - (-v_1)\,} = \frac{v_2 - r\omega}{r\omega + v_1}$$\(v_1 = r\omega(1+e)\) を代入して \(v_2\) を求めます：
$$v_2 - r\omega = e\,(r\omega + v_1) = e\,r\omega + e\cdot r\omega(1+e) = r\omega\,e\,(2 + e)$$ $$v_2 = r\omega\,\{1 + e(2+e)\} = r\omega\,(1 + 2e + e^2) = r\omega(1 + e)^2$$おもりの速度 \(r\omega\) は一定なので、各衝突で小球の速度は「おもりの速度に対する相対速度が \(e\) 倍にはね返る」と見られます。1回目は小球がおもりに対して \(-r\omega\) で近づき、\(+e\,r\omega\) ではね返る → 床基準で \(r\omega+e\,r\omega=r\omega(1+e)\)。2回目は小球がおもりに対して \(-(r\omega+v_1)\) で近づき \(+e(r\omega+v_1)\) ではね返る → 床基準で \(r\omega+e(r\omega+v_1)=r\omega(1+e)^2\)。1回衝突するごとに速さが \((1+e)\) 倍されていく、と覚えると見通しがよいです。
おもりの速さが一定（運動量保存が使えない）ときは反発係数の式だけで解く。戻ってきた小球は逆向きなので2回目の近づく相対速度は \(r\omega+v_1\)。
小球は最下点で1回目にはじかれ、片側に振れて最下点まで戻ってくる。この「行って戻る」に要する時間は単振り子の半周期。この間にちょうど回転棒が台を1周して戻ってこないと、同じ場所で2回目の衝突が起きない。だから「回転棒の1周の時間 ＝ 振り子の半周期」でそろえる。
立式：振れ角が小さいので、小球は最下点を中心とする単振動（単振り子）とみなせます。単振り子の周期は：
$$T_{\text{振}} = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$$小球は1回目の衝突で最下点（＝つり合いの位置）を速さ \(v_1\) で出発し、片側に振れて最下点まで戻る。これは単振動の半周期にあたるので、往復に要する時間は：
$$t_{\text{往復}} = \frac{T_{\text{振}}}{2} = \pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$$一方、回転棒が台を1周して同じ位置に戻る時間（回転の周期）は：
$$T_{\text{回}} = \frac{2\pi}{\omega}$$同じ場所で2回目の衝突が起こるには \(T_{\text{回}} = t_{\text{往復}}\) が必要です：
$$\frac{2\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$$\(\omega\) について解くと：
$$\frac{2}{\omega} = \sqrt{\frac{\ell}{g}} \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{2}{\sqrt{\ell/g}} = 2\sqrt{\frac{g}{\ell}}$$小球は最下点（振動の中心）を通過する瞬間に速さが最大です。1回目の衝突で最下点から出発 → 片側の端（速さ0）→ 最下点へ戻る、という運動は、単振動の中心から端を経て中心に戻る運動で、これは周期の半分です（中心→端→中心）。全周期は「中心→右端→中心→左端→中心」なので、その半分でちょうど衝突点（最下点）に戻ってきます。回転棒はその間に1周する必要があるため \(2\pi/\omega=T_{\text{振}}/2\) となります。
単振動の「中心 → 端 → 中心」は半周期。回転の1周 \(2\pi/\omega\) をこれに一致させる。単振り子の周期は振幅によらず \(2\pi\sqrt{\ell/g}\)。
振れ角が大きいので単振動近似は使わず、力学的エネルギー保存で考える。1回目の衝突直後の速度 \(v_1\) の運動エネルギーが、最高点（振れ角60°）での位置エネルギーにすべて変わる。最高点では速さ0。
立式：1回目の衝突直後、小球は最下点で速さ \(v_1\)。最高点（振れ角 \(60^\circ\)）では速さ0。最下点を基準の高さとすると、最高点の高さは \(\ell(1-\cos 60^\circ)\)。力学的エネルギー保存より：
$$\frac{1}{2}m' v_1^{\,2} = m' g\,\ell\,(1 - \cos 60^\circ)$$\(\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}\) を代入して \(v_1\) を求めます：
$$\frac{1}{2} v_1^{\,2} = g\ell\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}g\ell$$ $$v_1^{\,2} = g\ell \quad\Longrightarrow\quad v_1 = \sqrt{g\ell}$$(e) は「振れ角が充分小さい」装置、(f)(g) は「振れ角が大きい（60°・120°）」別の装置です。同じ大問でも \(r,\ell,e,m,m'\) が異なる複数の装置で実験しているので、(e) の結果 \(\omega=2\sqrt{g/\ell}\) をここに持ち込んではいけません。(f)(g) では単振動近似が使えないため、エネルギー保存と向心方向の運動方程式で正確に解きます。
振れ角が大きいときは単振動近似が使えないので力学的エネルギー保存で解く。最高点の高さは \(\ell(1-\cos\theta)\)。
2回目の衝突後、小球は振れ角120°の位置Bまで登り、そこで糸がたるみ始める。糸がたるむ＝張力がちょうど0になる瞬間。位置Bでは張力0のもとで「重力の向心成分＝向心力」が成り立つので、そこでの速さが決まる。あとは最下点(v₂) → B のエネルギー保存で \(v_2\) を求める。
ステップ1：位置Bでの速さ \(v_B\)（張力0の条件）。位置Bは最下点の鉛直下向きから測った角 \(\theta=120^\circ\) の位置。糸がたるむ瞬間、張力 \(T=0\)。糸方向（向心方向、球から支点へ向かう向き）の運動方程式は、重力の向心成分を考えて：
$$T - m' g\cos\theta = \frac{m' v_B^{\,2}}{\ell}$$\(T=0\)、\(\theta=120^\circ\)（\(\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}\)）を代入：
$$0 - m' g\cos 120^\circ = \frac{m' v_B^{\,2}}{\ell} \quad\Longrightarrow\quad \frac{m' g}{2} = \frac{m' v_B^{\,2}}{\ell}$$ $$v_B^{\,2} = \frac{g\ell}{2}$$ステップ2：最下点(速さ \(v_2\)) → B のエネルギー保存。Bの高さは最下点から \(\ell(1-\cos 120^\circ) = \ell\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \dfrac{3}{2}\ell\)。力学的エネルギー保存より：
$$\frac{1}{2}m' v_2^{\,2} = \frac{1}{2}m' v_B^{\,2} + m' g\cdot\frac{3}{2}\ell$$\(v_B^{\,2}=\dfrac{g\ell}{2}\) を代入して整理します：
$$\frac{1}{2}v_2^{\,2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{g\ell}{2} + \frac{3}{2}g\ell = \frac{g\ell}{4} + \frac{6g\ell}{4} = \frac{7g\ell}{4}$$ $$v_2^{\,2} = \frac{7g\ell}{2} \quad\Longrightarrow\quad v_2 = \sqrt{\frac{7g\ell}{2}}$$角 \(\theta\) を最下点（鉛直下向き）から測ると、重力 \(m'g\)（真下向き）の向心方向（球→支点）成分は \(-m'g\cos\theta\) です。\(\theta<90^\circ\) では重力は遠心側（\(-\)）に働き、\(\theta>90^\circ\)（球が支点より上）では \(\cos\theta<0\) となり向心側（\(+\)）に働きます。よって \(\theta=120^\circ\) では \(-m'g\cos120^\circ=+\dfrac{m'g}{2}>0\) が向心力を担い、\(T=0\) でも円運動が成立します。ここを \(+m'g\cos\theta\) と符号を誤ると答えが合いません。
「糸がたるむ ＝ 張力0」。まず張力0の向心方向の式でその点の速さを出し、次にエネルギー保存で最下点の速さに結びつける。
(d) から「1回衝突するごとに小球の速さが \((1+e)\) 倍」だとわかっている。だから \(v_2/v_1 = 1+e\)。この比に (f)(g) で求めた具体的な速さ（振れ角60°・120°から得た値）を代入すれば、\(e\) の数値が出る。
立式：(d) の結果 \(v_1 = r\omega(1+e)\)、\(v_2 = r\omega(1+e)^2\) より、両者の比をとると \(r\omega\) が消えます：
$$\frac{v_2}{v_1} = \frac{r\omega(1+e)^2}{r\omega(1+e)} = 1 + e$$(f)(g) の実験で求めた具体的な速さ \(v_1 = \sqrt{g\ell}\)、\(v_2 = \sqrt{\dfrac{7g\ell}{2}}\) を代入します：
$$1 + e = \frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{7g\ell/2}}{\sqrt{g\ell}} = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$$したがって \(e\) は：
$$e = \frac{\sqrt{14}}{2} - 1 \fallingdotseq \frac{3.742}{2} - 1 = 1.871 - 1 = 0.871$$反発係数は \(0 \leqq e \leqq 1\) の範囲に入る必要があります。求めた \(e \fallingdotseq 0.87\) はこの範囲に収まっており妥当です。もし \(e>1\) や \(e<0\) が出たら、\(v_1,v_2\) の計算（特に(g)の高さ \(\ell(1-\cos120^\circ)=\tfrac{3}{2}\ell\) や張力0の符号）を見直しましょう。また \(\sqrt{14}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{7}\fallingdotseq1.414\times2.646\fallingdotseq3.742\) と分けて概算すると計算ミスを防げます。
本問はすべて文字式で答えますが、感覚をつかむために \(\ell = 0.80\ \text{m}\)、\(g = 9.8\ \text{m/s}^2\) を入れてみます。
(f) より、1回目の衝突直後の速さは：
$$v_1 = \sqrt{g\ell} = \sqrt{9.8 \times 0.80} = \sqrt{7.84} = 2.8\ \text{m/s}$$(g) より、2回目の衝突直後の速さは：
$$v_2 = \sqrt{\frac{7 g\ell}{2}} = \sqrt{\frac{7 \times 9.8 \times 0.80}{2}} = \sqrt{27.44} \fallingdotseq 5.2\ \text{m/s}$$比を確認すると \(v_2/v_1 = 5.2/2.8 \fallingdotseq 1.87 = 1+e\) となり、確かに \(e \fallingdotseq 0.87\) が再現されます。おもりの速さは \(r\omega = v_1/(1+e) = 2.8/1.87 \fallingdotseq 1.5\ \text{m/s}\) 程度と見積もれます。
(d) の \(v_2/v_1=1+e\) が要。文字式の比をとると \(r\omega\) が消え、(f)(g) の速さを代入するだけで\(e\) が数値で決まる。