[A] 原子の規則的配列（結晶）による X 線のラウエ条件／ブラッグ反射の基本式を導出し、[B] 電子の波動性（ド・ブロイ波）を結晶表面での内部電位（仕事関数に類似）によって屈折する様子を光の屈折と類比で扱う、量子論・原子物理の総合問題です。
1列に並んだ原子に X 線が斜めに入射し、原子から各方向に散乱される。2つの隣接原子（間隔 \(a\)）から同じ方向 \(\theta'\) に散乱された X 線が強めあう条件は、波源として見た経路差が波長の整数倍。入射角 \(\theta\)、散乱角 \(\theta'\)（どちらも格子方向からの角）で、経路差は \(a(\cos\theta - \cos\theta')\)。
幾何計算：入射 X 線が波面 AA' として原子 A, B に到達する。A と B での入射波面までの距離の差（＝原子 B に先に到達する経路差）は
$$\text{入射側の経路差} = a\cos\theta$$散乱後、観測点までの距離の差（＝散乱角 \(\theta'\) の方向に進むときの経路差）は：
$$\text{散乱側の経路差} = a\cos\theta'$$原子 A と B で散乱された波が観測点で強め合うためには、両者の総経路差が波長の整数倍：
$$a\cos\theta - a\cos\theta' = N\lambda$$ $$\boxed{a(\cos\theta - \cos\theta') = N\lambda \;(N=0,1,2,\ldots)}$$これがラウエ条件の1次元版。
3次元の結晶では、3方向の基本並進ベクトル \(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3\) に対してそれぞれ整数 \(h, k, l\) が決まり、
$$\vec{a}_i \cdot (\vec{k}' - \vec{k}) = 2\pi\, n_i \quad (i=1,2,3)$$の3本立ての式が同時に成り立つ方向にのみ回折ピークが現れる。これを逆格子で記述するのが結晶学の基本。
結晶面（格子面、間隔 \(d\)）で、入射 X 線が各面で部分反射され、面間の経路差が波長の整数倍になるときに強い反射（ブラッグピーク）が現れる。幾何的には、上下2つの面で反射された波の差は \(2d\sin\theta\)（\(\theta\) は面からの入射角）。
幾何計算：格子面から \(\theta\) の角で入射した X 線が2枚の面（間隔 \(d\)）で反射されるとき、経路差は
$$\Delta = 2d\sin\theta$$この差が波長の整数倍のとき、2枚の面からの反射波が強め合う：
$$\boxed{2d\sin\theta = N\lambda}$$これがブラッグの法則。
例：X 線の波長 \(\lambda = 0.15\,\text{nm}\)、格子面間隔 \(d = 0.3\,\text{nm}\)、\(N=1\) のとき：
$$\sin\theta = \frac{\lambda}{2d} = \frac{0.15}{0.6} = 0.25 \;\Rightarrow\; \theta \fallingdotseq 14.5°$$実は3次元のラウエ条件（3本の式）は、幾何的に変形するとブラッグ条件と同等になる。ブラッグの式は格子面からの反射という「鏡面反射のアナロジー」で直感的に理解でき、実験解析で最もよく使われる。
加速電圧 \(V\) で加速された電子のエネルギー保存則：電場による仕事 \(eV\) が運動エネルギーに変換。
電子のエネルギー保存則：電場が電子にする仕事 \(eV\) が運動エネルギーに変わる：
$$\frac{1}{2}m v_E^2 = eV$$速さについて解くと：
$$\boxed{v_E = \sqrt{\frac{2eV}{m}}}$$数値例：\(V = 100\,\text{V}\)、\(e = 1.6\times 10^{-19}\,\text{C}\)、\(m = 9.11\times 10^{-31}\,\text{kg}\) のとき
$$v_E = \sqrt{\frac{2\cdot 1.6\times 10^{-19}\cdot 100}{9.11\times 10^{-31}}} \fallingdotseq 5.93\times 10^6\,\text{m/s}$$\(V\) が数十 kV を超えると、電子速度が光速 c の数十%に達し古典力学の式は破綻する。相対論的には：
$$eV = mc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1\right)$$\(V = 100\,\text{V}\) 程度では補正は無視できる。
結晶内部は電子に対して真空よりも低いポテンシャル（仕事関数のような内部電位 \(\Delta V > 0\)）を持つため、電子が入るとさらに加速される。結晶内での運動エネルギーは \(e(V + \Delta V)\)。
結晶内部でのエネルギー保存則：真空で得た \(eV\) に、結晶内のポテンシャル降下 \(e\Delta V\) が追加される：
$$\frac{1}{2}m v_C^2 = eV + e\Delta V = e(V + \Delta V)$$速さについて解く：
$$\boxed{v_C = \sqrt{\frac{2e(V + \Delta V)}{m}}}$$比（\(v_C / v_E\)）：
$$\frac{v_C}{v_E} = \sqrt{\frac{V + \Delta V}{V}} = \sqrt{1 + \frac{\Delta V}{V}}$$これが後で屈折率 \(n\) の定義式になる。
\(\Delta V\) は金属・半導体表面の仕事関数（～ 5 eV 程度）に関連する。自由電子が結晶内に入ると、陽イオン核からの引力で平均的にポテンシャルが下がる。電子回折実験（Davisson-Germer）ではこの効果を考慮する必要がある。
電子波の結晶表面での屈折は光の屈折とまったく同じ形式に従う。スネルの法則：
$$\frac{\sin\theta}{\sin\theta'} = \frac{v_C}{v_E} = n$$（入射角 \(\theta\)、屈折角 \(\theta'\)、いずれも法線から測る）
境界条件（波面の連続）：光の屈折と同様、結晶表面で電子波の波面が連続であれば、境界面方向の波数成分が不変。これは境界面方向の速度成分が不変ということ。
真空側での入射角 \(\theta\)（法線から）、結晶側での屈折角 \(\theta'\) とし、両側の速さを \(v_E, v_C\) とすると：
$$v_E\sin\theta = v_C\sin\theta'\;?$$いや、波数 \(k\) の接線成分が連続：\(k_E\sin\theta = k_C\sin\theta'\)。\(k = p/\hbar = mv/\hbar\) より：
$$v_E\sin\theta = v_C\sin\theta'$$したがって：
$$\frac{\sin\theta}{\sin\theta'} = \frac{v_C}{v_E}$$屈折率 \(n\) を光の定義と同様に取ると：
$$\boxed{n = \frac{\sin\theta}{\sin\theta'} = \frac{v_C}{v_E} = \sqrt{1 + \frac{\Delta V}{V}}}$$結晶内では電子が加速されるので \(v_C > v_E\)、したがって \(n > 1\)。入射波は法線方向に近づく。
光の場合、光速は媒質ごとに「変化する」が、その変化率は屈折率の逆数。一方、電子波では波長と速度の変化は逆向き（加速されて波長短縮）なので屈折率の定義に注意。
電子波の屈折率 \(n = v_C/v_E\) は、位相速度ではなく粒子速度の比である点が光との違い。