解法の指針

本問は、コンデンサーを含む回路において、抵抗を接続した場合（RC回路）とコイルを接続した場合（LC回路）の過渡現象を比較・考察する問題です。抵抗によるエネルギー散逸と、コイルによるエネルギー保存（電気振動）の違いを明確に意識する必要があります。

問(1)では電荷再分配とジュール熱を、問(2)ではLC振動におけるエネルギーの授受と電荷保存則を扱います。

問題の構成

• 問(1)：抵抗を含む回路（図1）— 充電過程(a)(b)，電荷再分配(c)，ジュール熱(d)
• 問(2)：コイルを含む回路（図2）— LC振動(a)，最大電流時の電圧・エネルギー(b)(c)，半周期後の電荷(d)，完全エネルギー移動条件(e)

問(1)(a) コンデンサーAの充電電流

回路の状態（図1）

スイッチ $S_1$ を閉じ、$S_2$ は開いたままです。電流は $V_0 \to S_1 \to R \to C_\mathrm{A}$ の経路で流れ、$C_\mathrm{A}$ が充電されます。

回路図：ホバーで各素子の説明を表示

解法

$S_1$ を閉じた時刻 $t = t_0$ において、コンデンサー $C_\mathrm{A}$ は未充電（電圧0）であり、回路には最大の電流が流れます。回路方程式（キルヒホッフ）は

$t = t_0$（$q = 0$）での電流 $I_0$ は

$C_\mathrm{A}$ の充電が進み $q$ が増加すると、コンデンサー電圧 $q/C_\mathrm{A}$ が大きくなり電流 $I$ は減少します。充電完了時には $I = 0$、$q = C_\mathrm{A}V_0$ となります。

微分方程式を解くと電流は指数関数的に減衰します。

時定数 $\tau = C_\mathrm{A}R$ が減衰の速さを決めます。

グラフ 1（実線：$R$、破線：$R' > R$）

条件：電圧 12 V、抵抗 2.0 Ω、容量 10 μF。

具体的な計算：$V_0 = 12\,\text{V}$、$R = 2.0\,\Omega$、$C_A = 10\,\mu\text{F}$ のとき、

初期電流：$I_0 = V_0/R = 12/2.0 = 6.0\,\text{A}$

時定数：$\tau = C_A R = 10 \times 10^{-6} \times 2.0 = 2.0 \times 10^{-5}\,\text{s} = 20\,\mu\text{s}$

$t = \tau$ での電流：$I(\tau) = 6.0 \times e^{-1} = 6.0 \times 0.368 = 2.2\,\text{A}$

📐 RC回路の全電荷量の確認

$$Q = \int_0^\infty I\,dt = \int_0^\infty \frac{V_0}{R}e^{-t/\tau}\,dt = \frac{V_0}{R} \cdot \tau = \frac{V_0}{R} \cdot C_A R = C_A V_0$$

$C_A V_0 = 10 \times 10^{-6} \times 12 = 1.2 \times 10^{-4}\,\text{C} = 120\,\mu\text{C}$。これは抵抗値 $R$ に依存しません。

問(1)(b) 抵抗値が大きい場合の電流変化

解法

抵抗値を $R' > R$ に変えたときの3つの変化を整理します。

1. 初期電流が小さくなる：$I'_0 = \dfrac{V_0}{R'} < \dfrac{V_0}{R} = I_0$
2. 時定数が大きくなる：$\tau' = C_\mathrm{A}R' > C_\mathrm{A}R = \tau$ → 減衰が緩やかになる
3. 総電荷量は変わらない：$\displaystyle\int_0^\infty I\,dt = C_\mathrm{A}V_0$（抵抗によらない） → グラフの面積は同じ

面積が等しいのにスタートが低いため、破線は途中で実線と必ず交差し、その後は実線より上側を通って緩やかに0に漸近します。

シミュレーション：$R'/R$ を変えて比較

スライダーで $R'/R$ を調整すると破線の変化を確認できます

問(1)(c) 電荷の再分配

回路の状態

$C_\mathrm{A}$ の充電完了後（$Q_\mathrm{A} = C_\mathrm{A}V_0$）、$S_1$ を開き $S_2$ を閉じます。$C_\mathrm{A}$ の電荷は抵抗 $R$ を通って $C_\mathrm{B}$ へ流れ込みます。十分時間が経つと電流が止まり、両コンデンサーの電圧が等しくなります。

電荷再分配の回路図：ホバーで電荷の流れを確認

解法

最終状態では電流が止まっているので、$R$ の電圧降下は0です。したがって2つのコンデンサーは並列接続と同じ状態になり、電圧 $V'$ が等しくなります。

• 電荷保存則（孤立部分）： $$Q_\mathrm{A} + Q_\mathrm{B} = C_\mathrm{A}V_0$$
• 電圧の一致（並列接続）： $$\frac{Q_\mathrm{A}}{C_\mathrm{A}} = \frac{Q_\mathrm{B}}{C_\mathrm{B}} = V'$$

連立すると

よって

問(1)(d) ジュール熱によるエネルギー損失

シミュレーション：電荷再分配とエネルギーの行方

再生ボタンで電荷が $C_\mathrm{A}$ から $C_\mathrm{B}$ へ移動する過程を観察できます

解法

ジュール熱 $\Delta E$ は「初期の静電エネルギー」と「最終の静電エネルギー」の差です。

• 初期エネルギー（$S_2$ を閉じる直前）： $$U_\text{前} = \frac{1}{2}C_\mathrm{A}V_0^2$$
• 最終エネルギー（$S_2$ を閉じた後、定常状態）：
  合成容量 $C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B}$ に総電荷 $C_\mathrm{A}V_0$ が分配されるので $$U_\text{後} = \frac{(C_\mathrm{A}V_0)^2}{2(C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B})}$$

差をとると

$$\Delta E = U_\text{前} - U_\text{後} = \frac{1}{2}C_\mathrm{A}V_0^2 - \frac{C_\mathrm{A}^2 V_0^2}{2(C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B})} = \frac{1}{2}C_\mathrm{A}V_0^2 \left(1 - \frac{C_\mathrm{A}}{C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B}}\right)$$ $$= \frac{C_\mathrm{A}C_\mathrm{B}}{2(C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B})}\,V_0^2$$

(a) コイルを含む回路の電流（LC振動）

LC振動回路：クリックで電流の流れをアニメーション

問題設定

$S_1$ で $C_\mathrm{A}$ を充電した後、$S_1$ を開き $S_2$ を閉じると、$C_\mathrm{A}, L, C_\mathrm{B}$ の閉回路で電気振動（LC振動）が始まります。

解法

• 時刻 $t_0$：スイッチ $S_2$ を閉じた瞬間。コイルの自己誘導作用により電流は急には流れず、0から連続的に増加します。
• 時刻 $t_1$：電流が最大値をとる時刻。

電流 $I$ の時間変化は正弦波（サインカーブ）の一部となります。$t=t_0$ で $I=0$ かつ傾き（増加率）が最大となるグラフを選びます。
図3の中で、0から始まり上に凸の形（サインカーブの最初の山の形）をしているのは (イ) です。(エ)は変曲点を持って立ち上がっており（S字）、LC振動の初期挙動（余弦波の微分は正弦波）と一致しません。

理由：
時刻 $t_0$ において、コンデンサー $C_\mathrm{A}$ の電圧は $V_0$ であり、コイルには大きな電圧がかかるため、電流の増加率 $dI/dt$（グラフの接線の傾き）は最大となるから。

(b) 電流最大時の電圧

電流最大時の電圧関係：スライダーで時刻を動かして確認

解法

時刻 $t_1$ において電流 $I$ が最大になるとき、その時間変化率 $\frac{\Delta I}{\Delta t}$（すなわち $dI/dt$）は 0 になります。

コイルの電圧降下は $V_L = L \frac{dI}{dt}$ なので、このとき コイルの両端電圧は0 となります。
したがって、キルヒホッフの法則より、コンデンサーAとBの電圧は等しくなります。

また、電荷保存則より、常に $Q_\mathrm{A} + Q_\mathrm{B} = C_\mathrm{A}V_0$ が成り立ちます。

$V_\mathrm{B} = V_\mathrm{A}$ を代入して、

(c) 電流最大時のエネルギー

解法

時刻 $t_1$ における各エネルギーを求めます。

• コンデンサーBのエネルギー $U_\mathrm{B}$：
  (b)で求めた電圧 $V_\mathrm{B}$ を用います。 $$U_\mathrm{B} = \frac{1}{2}C_\mathrm{B}V_\mathrm{B}^2 = \frac{1}{2}C_\mathrm{B} \left( \frac{C_\mathrm{A}}{C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B}}V_0 \right)^2 = \frac{C_\mathrm{A}^2 C_\mathrm{B}}{2(C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B})^2}V_0^2$$
• コイルのエネルギー $U_L$：
  系全体のエネルギー保存則を用います。抵抗がないため、初期エネルギー $U_0$ が保存されます。 $$U_0 = U_\mathrm{A}(t_1) + U_\mathrm{B}(t_1) + U_L$$ ここで、時刻 $t_1$ では $V_\mathrm{A}=V_\mathrm{B}$ なので、コンデンサー全体のエネルギーは合成容量 $C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B}$ のコンデンサーに電圧 $V_\mathrm{A}$ がかかっているのと同じです。 $$U_\text{caps} = \frac{1}{2}(C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B}) V_\mathrm{A}^2 = \frac{1}{2}(C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B}) \left( \frac{C_\mathrm{A}}{C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B}}V_0 \right)^2 = \frac{C_\mathrm{A}^2}{2(C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B})}V_0^2$$ よって、 $$U_L = U_0 - U_\text{caps} = \frac{1}{2}C_\mathrm{A}V_0^2 - \frac{C_\mathrm{A}^2}{2(C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B})}V_0^2$$ $$= \frac{1}{2}C_\mathrm{A}V_0^2 \left( 1 - \frac{C_\mathrm{A}}{C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B}} \right) = \frac{C_\mathrm{A}C_\mathrm{B}}{2(C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B})}V_0^2$$

(d) 半周期後の電荷 $Q_\mathrm{F}$

半周期の電荷振動：平衡点を中心に対称に振れる様子

解法

電流 $I$ が最初に0になった時刻から、次に0になる時刻（半周期後）を考えます。LC振動において、電荷 $q(t)$ は単振動します。

• 振動の中心（平衡点）：$dI/dt=0$ となる点、つまり $V_\mathrm{A}=V_\mathrm{B}$ となる状態です。
  このときのBの電荷は、(c)の状態に相当し、$Q_\text{center} = \frac{C_\mathrm{A}C_\mathrm{B}}{C_\mathrm{A}+C_\mathrm{B}}V_0$ です。
• 初期状態：$t=t_0$ で $Q_\mathrm{B}=0$。
  これは平衡点 $Q_\text{center}$ から $-Q_\text{center}$ だけずれた状態です。
• 半周期後：単振動の反対側の端点なので、平衡点から $+Q_\text{center}$ だけずれた状態になります。

よって、求める $Q_\mathrm{F}$（半周期後のBの電荷）は、

(e) エネルギーの完全移動条件

容量比を変えて電荷移動を観察できます

解法

「$C_\mathrm{A}$ のエネルギーをすべて $C_\mathrm{B}$ に移す」とは、ある瞬間に $C_\mathrm{A}$ の電荷 $Q_\mathrm{A}$ が 0 になり、すべての電荷（エネルギー）が $C_\mathrm{B}$ に移動することを意味します。

(d)で考察した「半周期後の状態」が、最も電荷が移動した瞬間です。このとき、コンデンサーAに残っている電荷は、

これが 0 になればよいので、

このとき、$Q_\mathrm{F} = C_\mathrm{A}V_0$ となり、確かに電荷がすべて移動しています。