解法の指針

この問題は，見かけの質量という概念を通じて，摩擦が物体の運動に与える影響を理解する問題です。箱Pの中に箱Qが隠れているため，外から観測するTさんは「箱Pの質量」を正確に測定できません。実際に測定されるのは「見かけの質量」であり，これは箱Pと箱Qの相対運動の状態によって変化します。

• 問(1)：箱Pと箱Qが一体となって運動する場合（静止摩擦力が働く）
• 問(2)：箱Qが滑り始める臨界状態（最大静止摩擦力）
• 問(3)：箱Qが箱Pの内壁に衝突した後の状態（動摩擦力が働く）
• 問(4)：実験結果から未知の物理量を逆算する

問(1) 一体運動と見かけの質量

(a) 加速度と見かけの質量

$F = F_{\mathrm{0}}$ で押したとき，箱Pと箱Qは一体となって運動します。このとき，箱Qにはたらく力は，箱Pから受ける静止摩擦力のみです。

箱Pの運動方程式：
箱Pには，外力 $F_{\mathrm{0}}$ と，箱Qから受ける摩擦力（作用・反作用の法則より，箱Qが受ける摩擦力と逆向きで大きさが等しい）がはたらきます。箱Pと箱Qが一体となって運動するので，加速度は同じ $a_{\mathrm{0}}$ です。

箱Pの運動方程式： $$ F_{\mathrm{0}} - f = Ma_{\mathrm{0}} $$ ここで，$f$ は箱Qから箱Pにはたらく摩擦力（箱Qが受ける摩擦力の反作用）です。

箱Qの運動方程式：
箱Qには，箱Pから受ける静止摩擦力 $f$ のみがはたらきます（水平方向）。箱Qは箱Pと一体となって運動するので，加速度は $a_{\mathrm{0}}$ です。 $$ f = ma_{\mathrm{0}} $$

この2式から $f$ を消去すると， $$ F_{\mathrm{0}} - ma_{\mathrm{0}} = Ma_{\mathrm{0}} $$ $$ F_{\mathrm{0}} = (M + m)a_{\mathrm{0}} $$ したがって， $$ a_{\mathrm{0}} = \frac{F_{\mathrm{0}}}{M + m} $$

見かけの質量 $M_{\mathrm{0}}$ は，$F_{\mathrm{0}} = M_{\mathrm{0}} a_{\mathrm{0}}$ より， $$ M_{\mathrm{0}} = \frac{F_{\mathrm{0}}}{a_{\mathrm{0}}} = \frac{F_{\mathrm{0}}}{\frac{F_{\mathrm{0}}}{M + m}} = M + m $$ つまり，一体運動する場合，見かけの質量は実際の質量の和 $M + m$ に等しくなります。

(b) 滑らない条件

箱Qが平面K上を滑らないためには，箱Qにはたらく静止摩擦力が最大静止摩擦力以下である必要があります。

箱Qにはたらく静止摩擦力の大きさは，問(1)(a)より $f = ma_{\mathrm{0}}$ です。
最大静止摩擦力は，垂直抗力が $mg$ なので，$f_{\text{max}} = \mu mg$ です。

滑らない条件は $f \leq f_{\text{max}}$ なので， $$ ma_{\mathrm{0}} \leq \mu mg $$ $$ a_{\mathrm{0}} \leq \mu g $$

また，$a_{\mathrm{0}} = \frac{F_{\mathrm{0}}}{M + m}$ を代入すると， $$ \frac{F_{\mathrm{0}}}{M + m} \leq \mu g $$ $$ F_{\mathrm{0}} \leq \mu g(M + m) $$

数値例：角度 \(\theta = 30°\) の斜面上の質量 \(m = 2.0\) kg の物体に作用する重力の斜面方向成分は

\(F = mg\sin\theta = 2.0 \times 9.8 \times \sin 30° = 2.0 \times 9.8 \times 0.50 = 9.8\) N

動摩擦係数 \(\mu = 0.20\) のとき、摩擦力は \(f = \mu mg\cos\theta = 0.20 \times 2.0 \times 9.8 \times \cos 30° = 3.4\) N

問(2) 滑り始める臨界状態

(a) 臨界力 $F_{\mathrm{1}}$

箱Qが滑り始めるのは，静止摩擦力が最大静止摩擦力に達したときです。このとき，$F = F_{\mathrm{1}}$ であり，加速度は $a_{\mathrm{0}} = \mu g$ です。

問(1)(b)の条件式で等号が成り立つときが臨界状態なので， $$ a_{\mathrm{0}} = \mu g $$ このとき，$F_{\mathrm{0}} = F_{\mathrm{1}}$ として， $$ F_{\mathrm{1}} = (M + m) \mu g $$

(b) 滑り始めたときの加速度と見かけの質量

箱Qが滑り始めた後も，$F = F_{\mathrm{1}}$ で押し続けます。このとき，箱Qには動摩擦力がはたらきます。

箱Pの運動方程式：
箱Pには，外力 $F_{\mathrm{1}}$ と，箱Qから受ける動摩擦力の反作用がはたらきます。動摩擦力の大きさは $f' = \mu' mg$ です。 $$ F_{\mathrm{1}} - \mu' mg = Ma_{\mathrm{1}} $$

箱Qの運動方程式：
箱Qには，箱Pから受ける動摩擦力 $\mu' mg$ がはたらきます。箱Qは箱Pに対して滑っているので，加速度は箱Pとは異なります。箱Qの加速度を $a_{\mathrm{Q}}$ とすると， $$ \mu' mg = ma_{\mathrm{Q}} $$ $$ a_{\mathrm{Q}} = \mu' g $$

箱Pの加速度 $a_{\mathrm{1}}$ を求めます： $$ F_{\mathrm{1}} - \mu' mg = Ma_{\mathrm{1}} $$ $$ \mu g(M + m) - \mu' mg = Ma_{\mathrm{1}} $$ $$ \mu gM + \mu gm - \mu' mg = Ma_{\mathrm{1}} $$ $$ a_{\mathrm{1}} = \frac{\mu gM + (\mu - \mu')mg}{M} = \mu g + \frac{(\mu - \mu')mg}{M} $$

見かけの質量 $M_{\mathrm{1}}$ は， $$ M_{\mathrm{1}} = \frac{F_{\mathrm{1}}}{a_{\mathrm{1}}} = \frac{\mu g(M + m)}{\mu g + \frac{(\mu - \mu')mg}{M}} $$ 分母を整理すると， $$ M_{\mathrm{1}} = \frac{\mu g(M + m)M}{\mu gM + (\mu - \mu')mg} = \frac{\mu (M + m)M}{\mu M + (\mu - \mu')m} $$

問(3) 衝突後の運動

(a) 衝突後の加速度と見かけの質量

箱Qが箱Pの内壁に衝突した後，箱Qは箱Pの壁から離れるように運動します。このとき，箱Qにはたらく動摩擦力の向きが変わります（箱Qが箱Pに対して後ろ向きに滑るため）。

箱Pの運動方程式：
箱Pには，外力 $F_{\mathrm{1}}$ と，箱Qから受ける動摩擦力の反作用がはたらきます。箱Qが後ろ向きに滑るので，箱Pには前向きの力が加わります。 $$ F_{\mathrm{1}} + \mu' mg = Ma_{\mathrm{2}} $$

箱Qの運動方程式：
箱Qには，箱Pから受ける動摩擦力 $\mu' mg$（後ろ向き）がはたらきます。 $$ -\mu' mg = ma_{\mathrm{Q}} $$ $$ a_{\mathrm{Q}} = -\mu' g $$

箱Pの加速度 $a_{\mathrm{2}}$ を求めます： $$ F_{\mathrm{1}} + \mu' mg = Ma_{\mathrm{2}} $$ $$ \mu g(M + m) + \mu' mg = Ma_{\mathrm{2}} $$ $$ a_{\mathrm{2}} = \frac{\mu g(M + m) + \mu' mg}{M} = \mu g + \frac{(\mu + \mu')mg}{M} $$

見かけの質量 $M_{\mathrm{2}}$ は， $$ M_{\mathrm{2}} = \frac{F_{\mathrm{1}}}{a_{\mathrm{2}}} = \frac{\mu g(M + m)}{\mu g + \frac{(\mu + \mu')mg}{M}} = \frac{\mu (M + m)M}{\mu M + (\mu + \mu')m} $$

(b) 見かけの質量の大小関係

$M_{\mathrm{0}}$，$M_{\mathrm{1}}$，$M_{\mathrm{2}}$ の大小関係を比較します。

$$ M_{\mathrm{0}} = M + m $$ $$ M_{\mathrm{1}} = \frac{\mu (M + m)M}{\mu M + (\mu - \mu')m} $$ $$ M_{\mathrm{2}} = \frac{\mu (M + m)M}{\mu M + (\mu + \mu')m} $$

$M_{\mathrm{1}}$ と $M_{\mathrm{2}}$ を比較すると，分母に注目すると， $$ \mu M + (\mu - \mu')m > \mu M + (\mu + \mu')m $$ が成り立ちます（$0 < \mu' < \mu$ より $(\mu - \mu')m > (\mu + \mu')m$ は成り立たないが，実際には $(\mu - \mu') < (\mu + \mu')$ なので，$M_{\mathrm{1}}$ の分母の方が小さい）。

実際には，$M_{\mathrm{1}}$ と $M_{\mathrm{2}}$ の分母を比較すると： $$ \mu M + (\mu - \mu')m < \mu M + (\mu + \mu')m $$ したがって，$M_{\mathrm{1}} > M_{\mathrm{2}}$ です。

また，$M_{\mathrm{0}} = M + m$ と $M_{\mathrm{1}}$ を比較すると， $$ M_{\mathrm{1}} = \frac{\mu (M + m)M}{\mu M + (\mu - \mu')m} = \frac{\mu M(M + m)}{\mu M + (\mu - \mu')m} $$ 分母は $\mu M + (\mu - \mu')m = \mu M + \mu m - \mu' m = \mu(M + m) - \mu' m < \mu(M + m)$ なので， $$ M_{\mathrm{1}} > \frac{\mu M(M + m)}{\mu(M + m)} = M $$ しかし，$M_{\mathrm{0}} = M + m$ と比較する必要があります。

より正確には，$M_{\mathrm{1}}$ の分子と分母を比較すると： $$ M_{\mathrm{1}} = \frac{\mu (M + m)M}{\mu M + (\mu - \mu')m} $$ 分母を整理：$\mu M + (\mu - \mu')m = \mu(M + m) - \mu' m$ したがって， $$ M_{\mathrm{1}} = \frac{\mu M(M + m)}{\mu(M + m) - \mu' m} = \frac{M(M + m)}{(M + m) - \frac{\mu'}{\mu}m} $$ これは $M + m$ より大きいので，$M_{\mathrm{1}} > M_{\mathrm{0}}$ です。

同様に，$M_{\mathrm{2}}$ について： $$ M_{\mathrm{2}} = \frac{\mu (M + m)M}{\mu M + (\mu + \mu')m} = \frac{M(M + m)}{(M + m) + \frac{\mu'}{\mu}m} $$ これは $M + m$ より小さいので，$M_{\mathrm{2}} < M_{\mathrm{0}}$ です。

したがって，$M_{\mathrm{1}} > M_{\mathrm{0}} > M_{\mathrm{2}}$ が成り立ちます。

問(4) 実験結果からの逆算

問(1)～(3)の結果から，測定値 $a_{\mathrm{0}}$，$a_{\mathrm{1}}$，$a_{\mathrm{2}}$，$F_{\mathrm{0}}$，$F_{\mathrm{1}}$，$g$ を用いて，$M$，$m$，$\mu$，$\mu'$ を表します。

質量 $M$ と $m$ の導出

問(1)(a)より，$M_{\mathrm{0}} = M + m = \frac{F_{\mathrm{0}}}{a_{\mathrm{0}}}$ なので， $$ M + m = \frac{F_{\mathrm{0}}}{a_{\mathrm{0}}} \quad \text{…(1)} $$

問(2)(a)より，$F_{\mathrm{1}} = \mu g(M + m)$ なので， $$ \mu = \frac{F_{\mathrm{1}}}{g(M + m)} = \frac{F_{\mathrm{1}} a_{\mathrm{0}}}{g F_{\mathrm{0}}} \quad \text{…(2)} $$

問(2)(b)より，$a_{\mathrm{1}} = \mu g + \frac{(\mu - \mu')mg}{M}$ なので， $$ a_{\mathrm{1}} - \mu g = \frac{(\mu - \mu')mg}{M} $$ $$ M(a_{\mathrm{1}} - \mu g) = (\mu - \mu')mg $$

問(3)(a)より，$a_{\mathrm{2}} = \mu g + \frac{(\mu + \mu')mg}{M}$ なので， $$ a_{\mathrm{2}} - \mu g = \frac{(\mu + \mu')mg}{M} $$ $$ M(a_{\mathrm{2}} - \mu g) = (\mu + \mu')mg $$

より簡潔な方法として，$a_{\mathrm{1}}$ と $a_{\mathrm{2}}$ の式から直接導出します。

$a_{\mathrm{1}} = \mu g + \frac{(\mu - \mu')mg}{M}$ と $a_{\mathrm{2}} = \mu g + \frac{(\mu + \mu')mg}{M}$ の差を取ると， $$ a_{\mathrm{2}} - a_{\mathrm{1}} = \frac{2\mu' mg}{M} $$ $$ M = \frac{2\mu' mg}{a_{\mathrm{2}} - a_{\mathrm{1}}} $$

また，和を取ると， $$ a_{\mathrm{1}} + a_{\mathrm{2}} = 2\mu g + \frac{2\mu mg}{M} $$ $$ a_{\mathrm{1}} + a_{\mathrm{2}} - 2\mu g = \frac{2\mu mg}{M} $$ $$ M = \frac{2\mu mg}{a_{\mathrm{1}} + a_{\mathrm{2}} - 2\mu g} $$