解法の指針

水平なめらかな床の上に台車M、ばね（ばね定数 $k$、自然長 $d_0$）で支柱に繋がれ、壁との衝突（反発係数 $e$）を繰り返す問題です。問1は台車のみ、問2は台車の上に小物体 $m$ を載せた場合を扱います。

問題の構成

• 問1(a)：力学的エネルギー $E$ を $k, d, d_0$ で表す
• 問1(b)：壁衝突直前の速さ $V_0$ と跳ね返り直後の速さ $V_1$
• 問1(c)：1回目衝突から2回目衝突までの時間 $T$
• 問2(a)：台車と小物体が一体で動く条件（静止摩擦）
• 問2(b)：一体運動と滑り運動の運動方程式
• 問2(c)：壁と台車間距離の単振動表現 $x(t) = x_0 + A\sin(\omega t + \delta)$

問1：台車とばねの運動

(a) 力学的エネルギー $E$

台車を $x = d$（$d < d_0$）まで押してばねを縮めた状態で静止させます。ばねの縮み量は $d_0 - d$ です。台車とばねを合わせた全体の力学的エネルギーは弾性エネルギーのみで、

$$E = \frac{1}{2}k(d_0 - d)^2$$

(b) 壁衝突直前の速さ $V_0$ と跳ね返り直後の速さ $V_1$

手をはなすとばねの弾性エネルギーが運動エネルギーに変わり、壁に到達します。$x = 0$（壁に接触）でのばねの長さは $d_0 + $ 台車幅ですが、問題の設定ではばねは自然長に戻った後は台車に力を及ぼさないとして、壁に到達する直前では全エネルギーが運動エネルギーに変換されます。

エネルギー保存より、

$$\frac{1}{2}MV_0^2 = \frac{1}{2}k(d_0 - d)^2$$ $$V_0 = (d_0 - d)\sqrt{\frac{k}{M}}$$

壁との衝突は反発係数 $e$ なので、跳ね返り直後の速さは、

$$V_1 = eV_0 = e(d_0 - d)\sqrt{\frac{k}{M}}$$

(c) 1回目衝突から2回目衝突までの時間 $T$

跳ね返り後、台車は速度 $V_1$ で壁から離れ、ばねの自然長位置（$x = d_0$）を通過し、$x = d_0 + A_1$ まで達してから戻ります。ここで $A_1$ は跳ね返り後の振幅です。

台車は $x = 0$ から出発し、$x < d_0$ ではばねは縮んでいるので力を受けません（ばねは台車を押すだけで引かない場合）。$x = d_0$ でばねが自然長に戻り、$x > d_0$ で引き戻されます。

ばねが台車を引く・押す両方の場合（繋がっている場合）を考えると、全区間で単振動です。$x = 0$ で衝突し、速度 $V_1$ で跳ね返ると、$x = d_0$ を中心とする単振動の一部として運動します。

単振動の半周期は $\frac{\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\frac{M}{k}}$（$x = 0$ → 最遠点 → $x = 0$ の往復）。さらに壁（$x = 0$）まで戻る自由区間を加えます。台車は $x = 0$ から壁に衝突するまでの自由飛行時間を含めると、

$$T = \pi\sqrt{\frac{M}{k}} + \frac{2d_0(1 - e^2)}{V_0 \cdot e} \cdot (\text{補正})$$

実際には台車がばねと常に繋がっている（押しも引きもする）なら、$x = 0$ から出発して $x = 0$ に戻るまでの時間は単振動の1周期のうち壁衝突点を含む半周期相当です。

振動中心 $x = d_0$、振幅 $A$（$\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}MV_1^2$ より $A = V_1\sqrt{M/k}$）とすると、

$$x(t) = d_0 - A\cos(\omega t)$$

$x = 0$ となる条件 $\cos(\omega t) = d_0/A$ から、

$$T = \frac{2}{\omega}\arccos\left(\frac{d_0}{A}\right)$$

別解：位相を使った時間計算

振動中心 $x_0 = d_0$、$x(t) = d_0 + A\sin(\omega t + \delta)$ として、$x(0) = 0$, $\dot{x}(0) = V_1 > 0$ の初期条件を満たす $A$, $\delta$ を求めます。

$$d_0 + A\sin\delta = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin\delta = -\frac{d_0}{A}$$ $$A\omega\cos\delta = V_1 \quad \Rightarrow \quad A = \sqrt{d_0^2 + \frac{V_1^2}{\omega^2}}$$

次に壁に戻る（$x = 0$）のは $\sin(\omega T + \delta) = -d_0/A$ の次の解です。

問2：台車の上に小物体を載せた場合

(a) 一体で動き始める条件

台車と小物体が一体で動くには、小物体に必要な加速度を静止摩擦力が提供できなければなりません。最大静止摩擦力 $\mu mg$ が加速度 $a$ に対する慣性力 $ma$ 以上：

$$|ma| \leq \mu mg \quad \Rightarrow \quad |a| \leq \mu g$$

一体運動の加速度の最大値はばねの最大復元力から：

$$|a_{\max}| = \frac{k(d_0 - d)}{M + m}$$

一体で動く条件は、

$$\frac{k(d_0 - d)}{M + m} \leq \mu g$$

(b) 台車と小物体の運動方程式

すべりが起きた場合、台車の加速度を $a$、小物体の加速度を $a'$ として、

$$Ma = -k(x - d_0) + \mu' mg \cdot (\text{sign})$$ $$ma' = -\mu' mg \cdot (\text{sign})$$

ここで $\mu'$ は動摩擦係数、sign は相対速度の符号です。台車が壁から離れる方向に動いているとき、小物体は台車に対して壁方向にすべるので、

$$Ma = -k(x - d_0) - \mu' mg$$ $$ma' = +\mu' mg$$

(c) 壁との距離の単振動表現

台車が壁と1回目衝突してから2回目に衝突するまでの運動において、壁と台車左端の距離 $x$ は、

$$x(t) = x_0 + A\sin(\omega t + \delta)$$

ここで $x_0 = d_0$（振動中心）、$\omega = \sqrt{k/M}$（台車のみの場合）または $\omega = \sqrt{k/(M+m)}$（一体の場合）、$A$ と $\delta$ は初期条件から決まります。

初期条件 $x(0) = 0$, $\dot{x}(0) = V_1$ を満たすには、

$$x_0 + A\sin\delta = 0, \quad A\omega\cos\delta = V_1$$ $$A = \sqrt{x_0^2 + \frac{V_1^2}{\omega^2}}, \quad \delta = -\arcsin\frac{x_0}{A}$$

補足：衝突ごとの振幅の減衰

$n$ 回目の衝突後の速さは $V_n = e^n V_0$。振幅は $A_n = V_n / \omega = e^n V_0 / \omega$。$n \to \infty$ で振幅がゼロになり、台車はばねの自然長位置 $x = d_0$ に静止します。

衝突回数 $n$ と振幅の関係：$A_n / A_0 = e^n$（指数減衰）