解法の指針

ドローン（小型飛行装置）に取り付けた小さな音源を空気中で移動させ、気柱の共鳴とドップラー効果を扱う総合問題です。

問題の構成

• 問(1)：開管・閉管の気柱共鳴における固有振動数の導出
• 問(2)：ドローンが一定速度で移動するときのドップラー効果の導出
• 問(3)：2台のドローンによるうなりの振動数の計算

問(1)：気柱の共鳴

(a) 閉管の共鳴振動数：

図1のように、点Oに置いたマイクで音源の音を増幅し、スピーカーから気柱管に向けて発射します。気柱管の長さは $L$ です。図1のように気柱管を閉管（一端閉）として共鳴を観測します。

閉管（一端閉・一端開）の共鳴条件：開口端は腹、閉端は節となるので、管内に収まる定在波の条件は

$$L = (2n - 1)\frac{\lambda}{4} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$

ここで定常波（定在波）における波の山の位置が共鳴の腹の位置（開口端付近）に対応します。図3のように一定の間隔で腹の山ができます。

波長と振動数の関係 $V = f\lambda$ より、$\lambda = V/f$ を代入すると、

$$L = (2n-1)\frac{V}{4f_n}$$ $$\therefore\quad f_n = \frac{(2n-1)V}{4L}$$

基本振動（$n = 1$）のとき $f_1 = V/(4L)$、$n$ 倍振動（$n = 2$ のとき $f_2 = 3V/(4L)$）となり、奇数倍の振動数のみが共鳴します。

(b) 開管の共鳴振動数：

図2のように気柱管を開管として共鳴を観測する場合、両端が腹になります。

$$L = n\frac{\lambda}{4} \times 2 = n\frac{\lambda}{2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$

自然数 $n$ を用いると開管の固有振動数は $f_n'$ と表せます：

$$f_n' = \frac{nV}{2L}$$

$n = 1$ が基本振動、$n = 2$ が2倍振動で、整数倍の振動数すべてが共鳴します。

(c) 問(1)(a)と(b)の関係：

閉管の $n$ 次倍振動の振動数を $f_n$、開管の $n$ 次倍振動の振動数を $f_n'$ とすると、

$$f_n = \frac{(2n-1)V}{4L}, \qquad f_n' = \frac{nV}{2L}$$

$f_1 = V/(4L)$ と $f_1' = V/(2L)$ を比べると $f_1' = 2f_1$ です。

(d) $0 < v_1 \le \frac{2}{12}V$ のとき、閉管で観測される $f_n$ の $n$ の値：

ドローン D₁ が速さ $v_1$（$v_1 < V$）で点Oから遠ざかりながら音を出すとき、マイクで観測される振動数はドップラー効果により

$$f_\text{obs} = \frac{V}{V + v_1} f_0$$

この音を閉管に入れて共鳴させるには $f_\text{obs} = f_n$ が必要です。音源の振動数 $f_0$ と閉管の共鳴振動数の関係から $n$ が決まります。

補足：開口端補正について

実際の管では開口端の外側にわずかに腹がはみ出すため、有効な管長は実際の長さ $L$ より少し長くなります（開口端補正）。本問では「開口端補正は無視する」と明記されているため、管長 $L$ をそのまま使います。

問(2)：ドップラー効果の導出

設定：図4のように、ドローン D₁ が $x$ 軸の真上を一定の速さ $v_1$（$v_1 < V$）で $x$ 軸の正の方向に水平移動しています。ある時刻 $t_0$ での D₁ の音源の位置を点P、直線OPと $x$ 軸がなす角度を $\theta$ とします。

(a) 経路差と到達時刻差 $\Delta T$：

点Pと点Oの間の距離を $\ell_1$ とします。時刻 $t_0$ に点Pにある音源から発せられた音波が点Oに到達する時刻を $t_1$ とすると、

$$t_1 = t_0 + \frac{\ell_1}{V}$$

時刻 $t_0$ から $\Delta t$ 後、音源は $v_1 \Delta t$ だけ移動して点 P' に達します。点P'と点Oの距離を $\ell_2$ とすると、

$$t_2 = (t_0 + \Delta t) + \frac{\ell_2}{V}$$

到達時刻の差は

$$\Delta T = t_2 - t_1 = \Delta t + \frac{\ell_2 - \ell_1}{V}$$

(b) $\ell_2$ の計算：

点Pの座標：$(-\ell_1 \cos\theta,\; \ell_1 \sin\theta)$（Oから見て角度 $\theta$ の方向）

$\Delta t$ 後の点P'の座標：$(-\ell_1 \cos\theta + v_1 \Delta t,\; \ell_1 \sin\theta)$

$$\ell_2^2 = (-\ell_1 \cos\theta + v_1 \Delta t)^2 + (\ell_1 \sin\theta)^2$$ $$= \ell_1^2 \cos^2\theta - 2\ell_1 v_1 \Delta t \cos\theta + v_1^2 \Delta t^2 + \ell_1^2 \sin^2\theta$$ $$= \ell_1^2 - 2\ell_1 v_1 \Delta t \cos\theta + v_1^2 \Delta t^2$$

(c) $\Delta T$ を $\theta$ で表す：

$\Delta t$ は十分小さく $v_1 \Delta t \ll \ell_1$ なので、$\Delta t$ の2乗に比例する項を無視すると、

$$\ell_2^2 \fallingdotseq \ell_1^2\left(1 - \frac{2v_1 \Delta t \cos\theta}{\ell_1}\right)$$ $$\ell_2 \fallingdotseq \ell_1\sqrt{1 - \frac{2v_1 \Delta t \cos\theta}{\ell_1}}$$

$|x| \ll 1$ のとき $\sqrt{1-x} \fallingdotseq 1 - \frac{x}{2}$ を用いて、

$$\ell_2 \fallingdotseq \ell_1\left(1 - \frac{v_1 \Delta t \cos\theta}{\ell_1}\right) = \ell_1 - v_1 \Delta t \cos\theta$$

したがって、

$$\ell_2 - \ell_1 \fallingdotseq -v_1 \Delta t \cos\theta$$

$\Delta T$ に代入すると、

$$\Delta T = \Delta t + \frac{-v_1 \Delta t \cos\theta}{V} = \Delta t\left(1 - \frac{v_1 \cos\theta}{V}\right)$$

(d) 点Oでの観測振動数 $f_0'$：

音源は時間 $\Delta t$ の間に $f_0 \Delta t$ 回振動します。この振動が観測者には時間 $\Delta T$ の間に到達するので、

$$f_0' = \frac{f_0 \Delta t}{\Delta T} = \frac{f_0}{1 - \dfrac{v_1 \cos\theta}{V}} = \frac{V f_0}{V - v_1 \cos\theta}$$

別解：通常のドップラー効果公式との対応

通常のドップラー効果公式（音源が速さ $v_s$ で観測者に近づく場合）：

$$f' = \frac{V}{V - v_s} f_0$$

今回の場合、音源のO方向への速度成分は $v_1 \cos\theta$ なので、上式で $v_s = v_1\cos\theta$ と置けば同じ結果 $f_0' = \frac{Vf_0}{V - v_1\cos\theta}$ が得られます。$\theta = 0$ のとき（音源が直接近づく）は通常のドップラー効果そのもの、$\theta = 90°$ のとき $\cos\theta = 0$ で $f_0' = f_0$（ドップラーシフトなし）となります。

問(3)：2台のドローンによるうなり

設定：図5のように、D₁ が点Pに到達したとき D₂ は点Qにあります。直線OP と $x$ 軸のなす角度は $\theta$、直線OQ と $x$ 軸のなす角度も $\theta$ です。D₂ は速さ $v_2$（$v_2 < V$）で正の方向に移動し、D₁ の音をマイクで受信・増幅してスピーカーから再放射します。

(a) D₂ が点Q' にいるときの D₂ のスピーカーからの音の観測振動数 $f_Q'$：

直線OQ' と $x$ 軸のなす角度を $\theta'$ とします。$\theta' = \pi/5$ とします。

D₂ が受信する音の振動数：D₁ が点Pにいて D₂ が点Qにいるとき、D₁ から D₂ へのドップラー効果を考えます。D₁ と D₂ を結ぶ直線の方向と D₁ の速度 $v_1$ のなす角度の情報が必要ですが、問題では D₁ が点Pにいるとき角度 $\theta$ で D₂ も角度 $\theta$ なので、同じ高さで水平に移動しています。

D₂ のスピーカーが発する振動数を $f_Q$ とすると、D₂ から点Oへのドップラー効果により、

$$f_Q' = \frac{V f_Q}{V - v_2 \cos\theta'}$$

ここで D₂ が受信する振動数 $f_Q$ は、D₁ からD₂へのドップラー効果で決まります。D₁ とD₂ は同じ高さで同じ方向に移動しており、D₁→D₂方向への速度成分を考えると、

$$f_Q = \frac{V - v_2 \cos\alpha}{V - v_1 \cos\alpha} f_0$$

ここで $\alpha$ は D₁ D₂ 方向と $x$ 軸のなす角度です。D₁ と D₂ が同じ高さなので $\alpha = 0$（水平方向）です。

$$f_Q = \frac{V - v_2}{V - v_1} f_0$$

したがって、

$$f_Q' = \frac{V}{V - v_2\cos\theta'} \cdot \frac{V - v_2}{V - v_1} f_0$$

(b) $f_Q'$ を $\theta'$, $f_0$, $v_2$, $V$ で表す：

問題文では D₁ は点Pで静止しており（$v_1 = 0$）、D₂ のみ速さ $v_2$ で移動する場合を考えます。

$$f_Q' = \frac{V(V - v_2)}{V(V - v_2\cos\theta')} f_0 = \frac{(V - v_2)f_0}{V - v_2\cos\theta'}$$

(c) うなりの回数 $N$：

D₁ は点Pで静止（$v_1 = 0$）、D₂ のみ速さ $v_2$ で移動する場合、点Oで聞こえるD₁ の直接音の振動数は $f_0$、D₂ からの再放射音の振動数は $f_Q'$ です。

$\theta' = \pi/5$ のとき、1秒あたりのうなりの回数 $N$ は

$$N = |f_0 - f_Q'| = \left|f_0 - \frac{(V - v_2)f_0}{V - v_2\cos\theta'}\right|$$ $$= f_0 \left|1 - \frac{V - v_2}{V - v_2\cos\theta'}\right|$$ $$= f_0 \cdot \frac{|V - v_2\cos\theta' - V + v_2|}{V - v_2\cos\theta'}$$ $$= f_0 \cdot \frac{v_2(1 - \cos\theta')}{V - v_2\cos\theta'}$$

$v_2$ を $f_0$, $N$, $V$ を用いて表すと、

$$N(V - v_2\cos\theta') = f_0 v_2(1 - \cos\theta')$$ $$NV = v_2[f_0(1 - \cos\theta') + N\cos\theta']$$ $$v_2 = \frac{NV}{f_0(1 - \cos\theta') + N\cos\theta'}$$

補足：うなりの物理的意味

うなりは振動数の近い2つの音波が重なったときに生じる音の強弱の周期的変化です。振動数 $f_1$ と $f_2$（$f_1 > f_2$）の音波が重なると、1秒間に $f_1 - f_2$ 回のうなりが聞こえます。

本問では、D₁ の直接音（$f_0$）と D₂ からの再放射音（$f_Q'$）の差がうなりの振動数になります。D₂ が遠ざかる成分を持つので $f_Q' < f_0$ となり、$N = f_0 - f_Q'$ です。

補足：$\theta' = 0$ と $\theta' = 90°$ の極限

$\theta' = 0$（D₂ がOから直線的に遠ざかる）：

$$f_Q' = \frac{(V - v_2)f_0}{V - v_2} = f_0$$

うなり $N = 0$。これは D₂ がOから直線的に遠ざかるとき、D₁→D₂ のドップラーシフトと D₂→O のドップラーシフトが完全に打ち消し合うことを意味します。

$\theta' = 90°$（D₂ がOの真上を通過）：

$$f_Q' = \frac{(V - v_2)f_0}{V} = \left(1 - \frac{v_2}{V}\right)f_0$$

このとき $N = f_0 \cdot v_2/V$ で最大のうなりが観測されます。