水平に固定された長さ $2L$・断面積 $S$ のシリンダーを、断熱材のピストンが空間A（左）と空間B（右）に仕切る。各室に単原子分子理想気体が $1\,\mathrm{mol}$ ずつ入っている。ピストンの軸は外部のばね（ばね定数 $k$）を介して支柱につながれ、支柱が $x=X_0$・ばねが自然長のときピストンは原点 $x=0$ にある。空間A の左側は温度 $T_A$ の熱源に接し常に等温、空間B は温度調節器で加熱・冷却できる。シリンダーは左側面以外が断熱材なので、空間B は熱の出入りがなければ断熱変化になる。
体積を $x$ で表す：ピストンが位置 $x$ にあるとき、空間A は $x=-L$（左壁）から $x$ までを占めるので、その長さは $x-(-L)=x+L$。断面積 $S$ をかけて：
$$V_A = (x+L)\,S$$状態方程式を立てる：空間A は熱源に接して温度が常に $T_A$、気体は $1\,\mathrm{mol}$ なので、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$（$n=1$）より：
$$p_A\,V_A = R\,T_A$$$V_A=(x+L)S$ を代入して $p_A$ について解くと：
$$p_A = \frac{R\,T_A}{(x+L)\,S}$$空間A の圧力は A 自身の状態量（$T_A$, $V_A$, 物質量）だけで決まる。空間B の温度や圧力は「ピストンを通したつり合い」では関係するが、A 単体の状態方程式には入らない。各室の状態方程式は独立に立てられるのが多室問題の基本姿勢である。
スライダーでピストンを右に動かすと $V_A$ が増え、表示の $p_A=RT_A/[(x+L)S]$ の分母が大きくなって圧力が下がるのが体感できる。
「等温の室」は内部エネルギーが変わらず、状態方程式が常に成立するのが強み。空間A は最後までこの性質を使い続けるので、$p_A V_A = RT_A$ を頭に固定しておく。
力の向きを確認する：右向きを正の向きとする。ピストンにはたらく水平な力は次の3つ。
つり合いの式（合力 $=0$）：
$$p_A S - p_B S - kx = 0$$整理すると：
$$p_A S = p_B S + kx$$$x<0$ ならばねは自然長より縮み、縮んだばねはピストンを右へ押す。式 $-kx$ に $x<0$ を入れると $-k\cdot(\text{負})=+$ となり、自動的に右向きの力になる。つまり$-kx$ という1つの式で伸び・縮みの両方を正しく表せる。符号付き変数 $x$ を使う利点である。シミュレーションでスライダーを負側に動かすと、ばねの力（緑の矢印）が右向きに反転するのが確認できる。
多室・ばね付きピストンのつり合いは「気体の圧力差 $\times$ 面積」と「ばねの弾性力 $kx$」の2項で書ける。ばねの力は自然長からのずれに比例し、向きはずれと逆。符号は変数 $x$ に任せ、$-kx$ と書いておけば伸縮を場合分けせずに済む。
① 空間A の圧力（(a) の式に $x=L/2$）：
$$p_A = \frac{R T_A}{(x+L)S}\Bigg|_{x=L/2} = \frac{R T_A}{\left(\frac{L}{2}+L\right)S} = \frac{R T_A}{\frac{3}{2}LS} = \frac{2R T_A}{3LS}$$② 空間B の圧力（(b) のつり合い $p_A S = p_B S + kx$ を $p_B$ について解く）：
$$p_B = p_A - \frac{kx}{S} = \frac{2R T_A}{3LS} - \frac{k\cdot\frac{L}{2}}{S} = \frac{2R T_A}{3LS} - \frac{kL}{2S}$$③ 空間B の体積（$x=L/2$）：
$$V_B = (L-x)S = \left(L-\frac{L}{2}\right)S = \frac{LS}{2}$$④ 空間B の状態方程式 $p_B V_B = R T_{B1}$ から温度を求める：
$$T_{B1} = \frac{p_B V_B}{R} = \frac{1}{R}\left(\frac{2R T_A}{3LS} - \frac{kL}{2S}\right)\cdot\frac{LS}{2}$$第1項・第2項をそれぞれ計算すると：
$$T_{B1} = \frac{1}{R}\cdot\frac{LS}{2}\cdot\frac{2R T_A}{3LS} \;-\; \frac{1}{R}\cdot\frac{LS}{2}\cdot\frac{kL}{2S} = \frac{T_A}{3} - \frac{kL^2}{4R}$$$x=L/2$ では $V_A=\frac{3}{2}LS$、$V_B=\frac{1}{2}LS$ で $V_A:V_B=3:1$。仮にばねがなければ（$kx=0$）両室の圧力は等しく、そのとき $p_B V_B=p_A V_A\cdot\frac{V_B}{V_A}$ から $T_B=T_A\cdot\frac{V_B}{V_A}=\frac{T_A}{3}$ となる。実際にはばねが $kx=\frac{kL}{2}$ だけ B の圧力を下げる方向に働くので、その分 $-\frac{kL^2}{4R}$ だけ温度が下がる。$\frac{T_A}{3}$ という主項とばねの補正項に分けて理解すると式の意味が見えやすい。
多室問題の温度は「その室の $p$ と $V$ を求めて状態方程式に入れる」が最短ルート。B の圧力は B 単体では決まらず、ピストンのつり合いを介して A の圧力とばねから決まる。求めた $T_{B1}$ が $T_A$ より低いのは、ばねがピストンを左へ引いて B を「広いまま低圧・低温」に保っているため。
過程の性質：ピストンを固定したまま熱量 $Q$ を加えるので、空間B は体積一定（定積変化）。定積では気体は外に仕事をしない（$W=0$）ので、熱力学第一法則 $Q=\Delta U+W$ は $Q=\Delta U_B$ となる。
内部エネルギー変化：単原子分子理想気体（$1\,\mathrm{mol}$、定積モル比熱 $C_V=\frac{3}{2}R$）より：
$$Q = \Delta U_B = \frac{3}{2}R\,(T_{B2} - T_{B1})$$これを $T_{B2}$ について解き、$T_{B1}=\dfrac{T_A}{3}-\dfrac{kL^2}{4R}$（問(1)(c)）を代入する：
$$T_{B2} = T_{B1} + \frac{2Q}{3R} = \frac{T_A}{3} - \frac{kL^2}{4R} + \frac{2Q}{3R}$$定積では圧力は温度に比例：体積 $V_B=\dfrac{LS}{2}$ が一定なので、状態方程式 $p_B V_B = R T_B$ の両辺の変化をとると $\Delta p\cdot V_B = R\,\Delta T_B$。よって：
$$\Delta p = \frac{R\,(T_{B2}-T_{B1})}{V_B}$$$T_{B2}-T_{B1}=\dfrac{2Q}{3R}$ と $V_B=\dfrac{LS}{2}$ を代入：
$$\Delta p = \frac{R\cdot\dfrac{2Q}{3R}}{\dfrac{LS}{2}} = \frac{\dfrac{2Q}{3}}{\dfrac{LS}{2}} = \frac{2Q}{3}\cdot\frac{2}{LS} = \frac{4Q}{3LS}$$状態2 では「ピストンの固定を解除しても動かないように」支柱を $D$ だけ動かす。これはばねの力を $\Delta p$ による圧力上昇とつり合わせるための操作で、ピストン自身は $x=L/2$ から動かない。よって A・B いずれの体積も変わらず、(a)(b) の気体の計算には支柱移動は直接効かない（$D$ の値は問(2)(f) で別途求める）。「加熱で B の圧力が上がった分、ばねを伸ばしてピストンを引き止める」というつり合いの調整である。
「ピストン固定で加熱」＝定積変化。仕事ゼロなので $Q$ が丸ごと内部エネルギーに入り、$Q=\frac{3}{2}R\Delta T$ で温度上昇が即決まる。定積では $\dfrac{p}{T}=$ 一定（シャルル＝ゲイリュサックの法則）だから、圧力変化も温度変化に比例する。
空間A は常に等温：A の左壁は温度 $T_A$ の熱源に接しているため、どの状態でも A の温度は $T_A$ で一定。理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まるので、温度が変わらなければ内部エネルギーも変わらない：
$$\Delta U_A = \frac{3}{2}R\,(T_A - T_A) = 0$$断熱変化の式を立てる：状態2→3 で空間B はゆっくりした断熱変化をするので $p_B V_B^{\gamma}=$ 一定。状態2 と状態3 で：
$$p_{B2}\,V_{B2}^{\gamma} = p_{B3}\,V_{B3}^{\gamma}$$体積を代入：状態2 はピストンが $x=L/2$ なので $V_{B2}=\dfrac{LS}{2}$、状態3 はピストンが $x=0$ なので $V_{B3}=(L-0)S=LS$。$p_{B3}$ について解くと：
$$p_{B3} = p_{B2}\left(\frac{V_{B2}}{V_{B3}}\right)^{\gamma} = p_{B2}\left(\frac{\frac{LS}{2}}{LS}\right)^{\gamma} = p_{B2}\left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma}$$シリンダーは左側面（A 側）以外がすべて断熱材。ピストンも断熱材。だから空間B は、温度調節器を働かせない限り外と熱をやり取りできず、ゆっくり体積を変えれば断熱変化になる。一方 A は左壁が熱源 $T_A$ に直結しているので、いくら膨張・圧縮しても熱が出入りして温度 $T_A$ に保たれる（等温）。「壁が断熱か熱源接触か」で各室の過程の種類が決まるのがこの問題の核心。
等温の室は $\Delta U=0$（内部エネルギーは温度のみの関数）。断熱の室は $pV^\gamma=$ 一定。同じシリンダー内でも室ごとに過程が違うことを見落とさない。B は体積2倍に膨張するので圧力は $\left(\frac12\right)^\gamma$ 倍に下がる。
① 状態3 のつり合い（ばね自然長）：支柱が $X_0$ に戻り、ピストンが $x=0$ なのでばねは自然長で弾性力 $0$。(b) のつり合い $p_A S = p_B S + kx$ に $x=0$ を入れると：
$$p_{A3} = p_{B3}$$② 空間A は等温なので $p_{A3}$ が確定：状態3 で $V_{A3}=(0+L)S=LS$、$T=T_A$ より：
$$p_{A3} = \frac{R T_A}{V_{A3}} = \frac{R T_A}{LS}\quad\Rightarrow\quad p_{B3} = \frac{R T_A}{LS}$$③ 断熱の式 (d) を逆に使って $p_{B2}$ を求める：$p_{B3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma}p_{B2}$ より：
$$p_{B2} = 2^{\gamma}\,p_{B3} = 2^{\gamma}\cdot\frac{R T_A}{LS}$$④ 加熱前後の圧力をつなぐ：$p_{B2}=p_{B1}+\Delta p$。ここで状態1の圧力は問(1)(c) の途中で求めた $p_{B1}=\dfrac{2R T_A}{3LS}-\dfrac{kL}{2S}$、$\Delta p=\dfrac{4Q}{3LS}$（問(2)(b)）。よって：
$$2^{\gamma}\cdot\frac{R T_A}{LS} = \frac{2R T_A}{3LS} - \frac{kL}{2S} + \frac{4Q}{3LS}$$⑤ $Q$ について解く：両辺に $LS$ をかけて整理する：
$$2^{\gamma} R T_A = \frac{2R T_A}{3} - \frac{kL^2}{2} + \frac{4Q}{3}$$ $$\frac{4Q}{3} = 2^{\gamma} R T_A - \frac{2R T_A}{3} + \frac{kL^2}{2}$$ $$Q = \frac{3}{4}\left(2^{\gamma} R T_A - \frac{2R T_A}{3} + \frac{kL^2}{2}\right) = \left(\frac{3\cdot 2^{\gamma}}{4} - \frac{1}{2}\right)R T_A + \frac{3kL^2}{8}$$本問の気体は単原子分子なので、もし $\gamma=\dfrac{5}{3}$ を使えば $2^{5/3}=2\cdot 2^{2/3}\fallingdotseq 3.17$。すると：
$$\frac{3\cdot 2^{\gamma}}{4}-\frac12 \fallingdotseq \frac{3\times 3.17}{4}-0.5 \fallingdotseq 2.38-0.5 = 1.88$$ $$Q \fallingdotseq 1.88\,R T_A + \frac{3kL^2}{8}$$つまり加えた熱の大部分は B の温度・圧力を $2^\gamma$ 倍まで押し上げるために使われ、残りがばねの調整分に対応する。なお問題は $\gamma$ を文字で残す指定なので、答えは $\gamma$ のまま書く。
$Q$ を直接求めるのは難しいが、「状態3 でピストンが $x=0$ で静止」という幾何条件が圧力の連立をすべて閉じる。$x=0$＋支柱 $X_0$ →ばね自然長→$p_{A3}=p_{B3}$、A は等温で $p_{A3}$ 確定、B は断熱で $p_{B2}$ を逆算。最後に状態1→2 の $\Delta p$ を介して $Q$ にたどり着く。条件を式に翻訳する順番が勝負。
① ばねの伸びを $x$ と $d$ で表す：ばねは「ピストンが $0$・支柱が $X_0$」のとき自然長。状態2 では支柱が $X_0+D$ にあり、そこから $d$ だけ戻すと支柱は $X_0+D-d$。ばねの伸び（自然長からのずれ）は「ピストン座標 $-$ 支柱座標」の自然長からの変化分なので：
$$\text{伸び} = x - (X_0+D-d) + X_0 = x - D + d$$ばねの弾性力はこの伸びに比例し、ピストンを左へ引く向き（$-k(x-D+d)$）にはたらく。
② 位置 $x$ でのつり合い：右向きを正として、
$$p_A S - p_B S - k(x - D + d) = 0 \quad\Rightarrow\quad d = D - x + \frac{(p_A - p_B)S}{k}$$③ 位置 $x$ での各圧力：A は等温なので $V_A=(x+L)S$ より $p_A S = \dfrac{R T_A}{x+L}$。B はゆっくりした断熱なので、状態2（$p_{B2}=2^{\gamma}\dfrac{RT_A}{LS}$, $V_{B2}=\frac{LS}{2}$）から $p_{B2}V_{B2}^{\gamma}=p_B V_B^{\gamma}$、$V_B=(L-x)S$ を使って：
$$p_B S = p_{B2}\left(\frac{V_{B2}}{V_B}\right)^{\gamma} S = 2^{\gamma}\frac{RT_A}{LS}\left(\frac{L/2}{L-x}\right)^{\gamma}S = \frac{RT_A\,L^{\gamma-1}}{(L-x)^{\gamma}}$$④ $D$ を消去する：状態2（$x=L/2$, $d=0$）のつり合いから $D$ を求める。$p_{A2}S=\dfrac{RT_A}{3L/2}=\dfrac{2RT_A}{3L}$、$p_{B2}S=2^{\gamma}\dfrac{RT_A}{L}$ を②の $x=L/2,d=0$ に入れて：
$$D = \frac{L}{2} + \frac{RT_A}{k}\left(\frac{2^{\gamma}}{L} - \frac{2}{3L}\right)$$⑤ 代入してまとめる：$d=D-x+\dfrac{(p_A-p_B)S}{k}$ に③④を代入すると：
$$d = \frac{L}{2} - x + \frac{RT_A}{k}\left[\frac{2^{\gamma}}{L} - \frac{2}{3L} + \frac{1}{x+L} - \frac{L^{\gamma-1}}{(L-x)^{\gamma}}\right]$$$x=\dfrac{L}{2}$（状態2、$d=0$ のはず）：$\dfrac{L}{2}-\dfrac{L}{2}=0$。括弧内は $\dfrac{1}{x+L}=\dfrac{2}{3L}$ で第2項と相殺、$\dfrac{L^{\gamma-1}}{(L/2)^{\gamma}}=\dfrac{2^{\gamma}}{L}$ で第1項と相殺。よって $d=0$。✓
$x=0$（状態3、$d=D$ のはず）：$\dfrac{1}{x+L}=\dfrac{1}{L}$ と $\dfrac{L^{\gamma-1}}{L^{\gamma}}=\dfrac{1}{L}$ が相殺し、$d=\dfrac{L}{2}+\dfrac{RT_A}{k}\left(\dfrac{2^{\gamma}}{L}-\dfrac{2}{3L}\right)=D$。④の結果と一致。✓
このように両端で既知の値（$0$ と $D$）を返すことで、途中式の符号・係数ミスがないか自己点検できる。
「途中の位置 $x$ でのつり合い」を作るには、ばねの伸びを座標で正確に表すことが要。ピストン座標と支柱座標の差を自然長基準で測り $x-D+d$ とするのがポイント。$D$ は端の状態（状態2）のつり合いから求めて消去する。端点での検算で答えの妥当性を必ず確認する習慣をつけよう。