回折格子による光の干渉、およびガラス平板付き回折格子（2つの格子の重ね合わせ）を扱う波動光学の総合問題です。
設定：スリット $S_k$（$k = 1, 2, 3, \ldots$）が等間隔 $d$ で並んでいます。回折角 $\theta$ の方向を考えると、$S_k$ と $S_1$ の間隔は $(k-1)d$ です。
立式：隣り合うスリット間の光路差は、幾何学的に $d\sin\theta$ です。$S_k$ は $S_1$ から $(k-1)$ スリット分離れているため、光路差は
$$\Delta_\theta = (k-1)\,d\sin\theta$$数値例：d = 2.0×10⁻⁶ m、θ = 15°、k = 3 のとき
Δ = (3−1) × 2.0×10⁻⁶ × sin 15° = 2 × 2.0×10⁻⁶ × 0.259 = 1.04×10⁻⁶ m ≒ 1.0 μm
$S_k$ と $S_1$ の光路差が $(k-1)\,d\sin\theta$ であることは、隣接する各スリットペア $(S_j, S_{j+1})$ の光路差 $d\sin\theta$ を $(k-1)$ 回足し合わせたものと見なせます。
全スリットの回折光が強め合う条件は「隣接する2スリット間の光路差が波長の整数倍」で十分であり、これが成り立てば $k$ 番目のスリットとの光路差 $(k-1)d\sin\theta$ も自動的に波長の整数倍になります。
回折格子の基本は「隣接スリット間の光路差 $d\sin\theta$」。$k$ 番目のスリットとの光路差はこの $(k-1)$ 倍。キャンバスをドラッグして $\theta$ を変えると光路差の変化を確認できます。
明線条件：全スリットの光が強め合う条件は、隣接スリット間の光路差が波長の整数倍：
$$d\sin\theta = m\lambda \quad (m = 0,\, \pm1,\, \pm2,\, \ldots)$$小角近似：$|\theta| \ll 1$ では $\sin\theta \fallingdotseq \theta$ なので、
$$d\,\theta_m = m\lambda$$ $$\theta_m = m\,\frac{\lambda}{d} = m\,\alpha$$したがって $\alpha$ は
$$\boxed{\alpha = \frac{\lambda}{d}}$$数値例：d = 1.0×10⁻⁶ m（格子定数 1000 本/mm 相当）、λ = 5.5×10⁻⁷ m（緑色光）のとき
α = 5.5×10⁻⁷ ÷ 1.0×10⁻⁶ = 0.55 rad ≒ 31.5°
m = 1 の明線は θ₁ = 0.55 rad の方向に現れます。
スリット数 $N$ が大きいほど各明線は鋭いピークになります。これは $N$ 本のスリットからの光が完全に位相が揃うのがごく限られた角度だけだからです。明線の半値幅はおよそ $\Delta\theta \fallingdotseq \lambda / (Nd)$ です。
スライダーで $d/\lambda$ を変化させると、$d$ が小さい（= $d/\lambda$ が小さい）ほど明線の間隔 $\alpha = \lambda/d$ が広がることが確認できます。
回折格子の基本明線条件 $d\sin\theta = m\lambda$ は小角近似で $\theta_m = m\lambda/d$ となり、明線は等間隔に並ぶ。$d$ が小さいほど $\alpha = \lambda/d$ が大きくなり明線間隔は広がる。
論述：明線条件 $d\sin\theta = m\lambda$ を小角近似すると $\theta_m = m\lambda / d$ です。隣り合う明線の角度間隔は
$$\Delta\theta = \theta_{m+1} - \theta_m = \frac{\lambda}{d}$$よって、$d$ が小さいほど $\Delta\theta = \lambda/d$ は大きくなり、明線の間隔が広がります。
物理的な説明：格子定数 $d$ が小さいと、角度 $\theta$ をわずかに変えたときの光路差の変化量 $\Delta(d\sin\theta) \fallingdotseq d\,\Delta\theta$ が小さい。したがって、光路差を $\lambda$ だけ変化させる（＝次の明線に到達する）ために必要な角度変化 $\Delta\theta = \lambda/d$ が大きくなります。
明線条件 $d\sin\theta = m\lambda$ で小角近似すると $\theta_m = m\lambda/d$ となり、明線の角度間隔は $\lambda/d$ である。$d$ が小さいほど $\lambda/d$ が大きくなるため、明線の間隔が広がる。
小角近似を使わない一般の場合、$d\sin\theta = m\lambda$ の両辺を $m$ で微分すると
$$d\cos\theta \cdot \frac{d\theta}{dm} = \lambda$$ $$\frac{d\theta}{dm} = \frac{\lambda}{d\cos\theta}$$$\theta \fallingdotseq 0$ 付近では $\cos\theta \fallingdotseq 1$ なので $d\theta/dm \fallingdotseq \lambda/d$ と一致します。$\theta$ が大きい領域では $\cos\theta < 1$ のため、明線間隔はさらに広がります。
「格子定数が小さい → 明線間隔が広がる」は $\alpha = \lambda/d$ の反比例関係から直接導ける。シミュレーションの左右を比較して、$d$ の大小と明線間隔の対応を直感的に確認しよう。
設定：格子1は奇数番号スリット $S_1, S_3, S_5, \ldots$ から構成され、スリット間隔は $2d$ です。
立式：格子1の明線条件は、スリット間隔を $2d$ として
$$2d\sin\theta = m'\lambda \quad (m' = 0,\, \pm1,\, \pm2,\, \ldots)$$小角近似 $\sin\theta \fallingdotseq \theta$ を適用すると
$$\theta'_{m'} = m'\,\frac{\lambda}{2d} = m'\,\alpha'$$数値例：d = 1.0×10⁻⁶ m、λ = 5.0×10⁻⁷ m のとき
α = λ/d = 5.0×10⁻⁷ ÷ 1.0×10⁻⁶ = 0.50 rad
α' = λ/(2d) = 5.0×10⁻⁷ ÷ (2 × 1.0×10⁻⁶) = 0.25 rad
格子1の明線間隔は元の格子の半分。元の m = 1 の明線の位置に格子1の m' = 2 の明線が現れます。
格子2のスリット $S_2, S_4, S_6, \ldots$ も間隔 $2d$ なので、格子2単独の明線条件も
$$2d\sin\theta = m'\lambda \quad \Rightarrow \quad \theta'_{m'} = m'\,\frac{\lambda}{2d}$$つまり格子1と格子2は同じ角度位置に明線を持ちます。ただし、ガラス平板による位相差のため、両者を重ねると干渉が生じ、一部の明線が消えたり強まったりします。
スリット間隔が $d \to 2d$ になると、$\alpha' = \lambda/(2d) = \alpha/2$ で明線の数が2倍密になる。元の格子の各明線の「間」にも明線が現れる点に注意。
設定：回折角 $\theta'_c$ の方向を考えます。$S_k$ と $S_1$ の幾何学的な光路差は問1(a)と同じく $(k-1)\,d\sin\theta'_c$ です。しかしガラス平板を通るスリット（奇数番号）は、厚さ $a$ のガラス中を通過することで追加の光路長 $(n-1)a$ を持ちます。
立式：$S_k$ を通る光と $S_1$ を通る光の光路差は、幾何学的な光路差に加えて、ガラスによる光路差を考慮します。
$S_1$（奇数番号）の光路長にはガラスの寄与 $na$ が含まれます。$S_k$ が偶数番号（$k = 2\ell$）のとき、$S_k$ はガラスを通らず厚さ $a$ の部分を空気中で進むため、その光路長は $a$ です。
したがって $S_k$ と $S_1$ の全光路差は
$$\Delta'_\theta = (k-1)\,d\sin\theta'_c - (n-1)a$$ここで $\theta'_c = m'\alpha' = m'\lambda/(2d)$ のとき $\sin\theta'_c \fallingdotseq \theta'_c = m'\lambda/(2d)$ なので
$$\Delta'_\theta = (k-1)\,d \cdot \frac{m'\lambda}{2d} - (n-1)a = \frac{(k-1)\,m'\lambda}{2} - (n-1)a$$数値例：a = 1.0×10⁻⁶ m、n = 1.50、λ = 5.0×10⁻⁷ m、d = 1.0×10⁻⁶ m、k = 2（S₂）、m' = 1 のとき
Δ' = (2−1) × (1 × 5.0×10⁻⁷)/2 − (1.50 − 1) × 1.0×10⁻⁶ = 2.5×10⁻⁷ − 5.0×10⁻⁷ = −2.5×10⁻⁷ m
$\theta'_c = m'\alpha'$ の場合は
$$\Delta'_\theta = \frac{(k-1)\,m'\lambda}{2} - (n-1)a$$屈折率 $n$ の媒質中を幾何学的距離 $a$ 進む光の光路長（optical path length）は $na$ です。これは真空中で波長 $\lambda$ の光が、屈折率 $n$ の媒質中では波長 $\lambda/n$ に短縮されるためです。
幾何学的距離 $a$ の中に含まれる波の数は $a / (\lambda/n) = na / \lambda$ で、真空中なら $a / \lambda$ です。その差 $(n-1)a / \lambda$ 波分だけ位相がずれます。
$$\text{位相差} = \frac{2\pi}{\lambda}(n-1)a$$ガラスを通る光と通らない光の光路差 $(n-1)a$ が、回折格子の幾何学的光路差 $(k-1)d\sin\theta$ に加わる。スライダーで $n$ を変えると光路差がどう変化するか確認できます。
設定：$\theta = 0$ では、すべてのスリットから正面方向に出る光は幾何学的光路差がゼロです。しかし格子1のスリットを通る光はガラスを通過して光路が $(n-1)a$ だけ長くなるため、格子1と格子2の間に位相差が生じます。
強め合い条件：格子1と格子2の光が正面方向で強め合うには、ガラスによる光路差が波長の整数倍：
$$(n-1)a = m\lambda \quad (m = 1,\, 2,\, 3,\, \ldots)$$数値例：n = 1.50、a = 3.0×10⁻⁶ m、λ = 5.0×10⁻⁷ m のとき
m = (n−1)a / λ = 0.50 × 3.0×10⁻⁶ ÷ 5.0×10⁻⁷ = 1.5×10⁻⁶ ÷ 5.0×10⁻⁷ = 3
よって $m = 3$ のとき正確に強め合い。$m = 1, 2, 3$ が求める答えです（正の整数を3つ）。
$\theta = 0$ での強め合い条件：$(n-1)a = m\lambda$（$m$ は正の整数）
$m$ の値を3つ：$m = 1,\, 2,\, 3$
$m = 0$ は $(n-1)a = 0$ を意味しますが、$n > 1$、$a > 0$ なので物理的に実現しません。したがって $m = 0$ は除外されます。
問題が「$m$ の値を3つ」と指定しているため、最小の正の整数から順に $m = 1, 2, 3$ と答えます。
$\theta = 0$ では幾何学的光路差がゼロなので、強め合い条件はガラスの光路差 $(n-1)a$ のみで決まる。これが $m\lambda$（$m$ は正の整数）となればよい。
設定：$\theta = \theta'_{m'}$ の方向では、格子1の同一格子内のスリット同士（間隔 $2d$）は既に強め合っています（$m'$ 次の明線）。格子2も同様です。
問題は格子1のスリット（例: $S_1$）と格子2のスリット（例: $S_2$）の間の光路差です。$S_1$ と $S_2$ は距離 $d$ だけ離れており、$S_1$ はガラスを通り、$S_2$ は通りません。
立式：$S_1$ と $S_2$ の光路差は、幾何学的光路差 $d\sin\theta'_{m'}$ とガラスによる光路差 $(n-1)a$ の差です：
$$\text{光路差} = d\sin\theta'_{m'} - (n-1)a$$$\theta'_{m'} = m'\lambda/(2d)$ なので $d\sin\theta'_{m'} \fallingdotseq d \cdot m'\lambda/(2d) = m'\lambda/2$
$$\text{光路差} = \frac{m'\lambda}{2} - (n-1)a$$強め合い条件：この光路差が波長の整数倍のとき強め合う：
$$\frac{m'\lambda}{2} - (n-1)a = m\lambda \quad (m \text{ は整数})$$整理すると：
$$(n-1)a = \left(\frac{m'}{2} - m\right)\lambda$$数値例：(n−1)a / λ = 3.0 の場合（例: n = 1.50, a = 3.0×10⁻⁶ m, λ = 5.0×10⁻⁷ m のとき (0.50 × 3.0×10⁻⁶) ÷ (5.0×10⁻⁷) = 3.0）
$$\frac{m'}{2} - m = 3 \quad \Rightarrow \quad m' = 2m + 6$$$m' \geq 0$ の範囲で $m = -3, -2, -1, 0, 1, \ldots$ に対して $m' = 0, 2, 4, 6, 8, \ldots$（偶数のみ）。
$m$ の値を3つ挙げると：$m = -3,\, -2,\, -1$（もしくは $m = 0,\, 1,\, 2$ など、問題の指定する範囲による）
$\theta = \theta'_{m'}$ での強め合い条件：
$$\frac{m'\lambda}{2} - (n-1)a = m\lambda \quad (m \text{ は整数})$$すなわち $(n-1)a = (m'/2 - m)\lambda$ を満たす整数 $m'$ が存在するとき、その方向で格子1と格子2の光が強め合う。
$m$ の値を3つ：具体的な $a$, $n$, $\lambda$ の値に依存する（上の数値例では $m = -3, -2, -1$）。
波の位相差 $\delta$ で考えると、格子1（$S_1$）と格子2（$S_2$）の位相差は
$$\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\left[d\sin\theta'_{m'} - (n-1)a\right] = \frac{2\pi}{\lambda}\left[\frac{m'\lambda}{2} - (n-1)a\right]$$ $$= m'\pi - \frac{2\pi(n-1)a}{\lambda}$$強め合い条件は $\delta = 2\pi m$（$m$ は整数）なので
$$m'\pi - \frac{2\pi(n-1)a}{\lambda} = 2\pi m$$ $$\frac{m'}{2} - \frac{(n-1)a}{\lambda} = m$$これは光路差で立てた条件と同じ式です。
元の回折格子（間隔 $d$）の $m$ 次明線は $\theta_m = m\lambda/d$ の位置にありました。間隔 $2d$ の格子の $m'$ 次明線は $\theta'_{m'} = m'\lambda/(2d)$ です。
$m'$ が偶数のとき：$\theta'_{m'} = (m'/2) \cdot \lambda/d = \theta_{m'/2}$ で、これは元の格子の明線位置と一致。
$m'$ が奇数のとき：元の格子では明線がなかった「中間」の位置。ここでは格子1と格子2のスリット間のずれ $d$ による位相差 $\pi$（半波長分）が追加されるため、ガラスの条件次第で強め合いにも弱め合いにもなる。
$\theta = \theta'_{m'}$ での条件は「幾何学的光路差 $m'\lambda/2$ とガラスの光路差 $(n-1)a$ の差が整数倍」。$\theta = 0$ の条件（問2(c)）は $m' = 0$ の特殊ケースに対応する。スライダーで $m'$ を変えて各明線での干渉条件を確認しよう。