ドップラー効果の公式導出と、反射壁を用いたうなりの問題です。音源・観測者・反射壁が動く場合の振動数変化を体系的に求めます。

全体を貫くポイント

直感的理解

救急車が近づいてくるとサイレンの音が高く聞こえる。これは音源が波を「押し縮める」ことで、観測者が受け取る波の間隔が短くなる（波長が短くなる＝振動数が上がる）ため。

導出：音速を $v$、音源の速さを $v_s$（観測者に近づく向きを正）とすると、音源前方の波長は、

$$\lambda' = \frac{v - v_s}{f}$$

観測者が受け取る振動数は、

$$f' = \frac{v}{\lambda'} = \frac{v}{v - v_s} f$$

答え：
$$f' = \frac{v}{v - v_s} f$$

$v_s > 0$（近づく）のとき $f' > f$（高音に聞こえる）

数値例：振動数 $f = 440$ Hz、波の速さ $V = 340$ m/s のとき、波長は

$\lambda = \dfrac{V}{f} = \dfrac{340}{440} = 0.773$ m ≒ 77 cm

弦の長さ $L = 0.85$ m の基本振動では $\lambda_1 = 2L = 2 \times 0.85 = 1.70$ m

Point

音源が動くとき変化するのは波長。観測者が動くとき変化するのは相対的な波の速さ。この違いを明確に区別すること。

直感的理解

壁で反射した音と、直接聞こえる音の振動数がわずかに異なるとき、「うなり」が生じる。うなりの回数は2つの音の振動数差に等しい。

考え方：壁に反射した音は、壁を仮想音源として考えます。直接音の振動数 $f_1$ と反射音の振動数 $f_2$ の差がうなりの回数です。

$$\text{うなりの回数} = |f_1 - f_2|$$

答え：

1秒間のうなりの回数 $= |f_1 - f_2|$ 回

Point

壁での反射を考える場合、壁は「静止した観測者」として音を受け取り、「静止した音源」として反射音を出す。このため反射音にもドップラー効果が二重に適用される。

直感的理解

音源も観測者も動く場合は、まず音源の運動で波長が変化し、次に観測者の運動で受け取る振動数が変わる。2段階で考えるのがポイント。

一般公式：音源が速さ $v_s$ で観測者に近づき、観測者が速さ $v_o$ で音源に近づく場合、

$$f' = \frac{v + v_o}{v - v_s} f$$

答え：
$$f' = \frac{v + v_o}{v - v_s} f$$

近づく向きを正にとる。遠ざかる場合は符号が逆（分子の $+$ → $-$、分母の $-$ → $+$）。

補足：符号の覚え方

「近づくと高くなる」→ 分子が大きくなる or 分母が小さくなる → 振動数が増加。観測者が近づくなら分子に $+v_o$、音源が近づくなら分母に $-v_s$。

Point

ドップラー効果の公式では「近づく → 振動数増加、遠ざかる → 振動数減少」を確認する。符号を間違えないよう、結果が物理的に妥当か必ず検算すること。

前期 大問３（波動）

前期大問３（波動）