斜めに固定したベルトコンベア上の物体の運動を、3つの場面（I・II・III）で考える総合問題です。摩擦力の向きの判定と、運動量・力のつり合い・単振動の見立てが鍵になります。
立式：上り（速度が正、斜面上向きに運動）では、ベルトに対して物体は上向きに動くので、動摩擦力は斜面下向きに働く。斜面下向きを負として運動方程式は、
$$ma_{\text{上}} = -mg\sin\theta_1 - \mu' mg\cos\theta_1$$よって上りの加速度の大きさは、
$$|a_{\text{上}}| = g(\sin\theta_1 + \mu'\cos\theta_1)$$初速 \(v_0\)、最高点で速度 0 になるので、等加速度運動の式 \(0 = v_0^2 - 2|a_{\text{上}}|\,x_{\max}\) より、
$$x_{\max} = \frac{v_0^2}{2g(\sin\theta_1 + \mu'\cos\theta_1)}$$運動エネルギーが「重力による位置エネルギーの増加」と「摩擦による損失」に変わると考えると、\(\tfrac12 m v_0^2 = mg\,x_{\max}\sin\theta_1 + \mu' mg\cos\theta_1\cdot x_{\max}\)。これを \(x_{\max}\) について解くと上と同じ式になる。摩擦力 \(\mu'mg\cos\theta_1\) が移動距離 \(x_{\max}\) だけ働く点に注意。
動摩擦力の向きは運動の向きと逆。上りでは重力成分と摩擦力がどちらも斜面下向きにそろうので、分母は和 \((\sin\theta_1 + \mu'\cos\theta_1)\) になる。
立式：下りでは摩擦が斜面上向きに反転するので、下りの加速度の大きさは、
$$|a_{\text{下}}| = g(\sin\theta_1 - \mu'\cos\theta_1)$$最高点（速度 0）から距離 \(x_{\max}\) を滑り降りたときの速さ \(v\) は、\(v^2 = 2|a_{\text{下}}|\,x_{\max}\)。ここに (1) の \(x_{\max}\) を代入する：
$$v^2 = 2g(\sin\theta_1 - \mu'\cos\theta_1)\cdot\frac{v_0^2}{2g(\sin\theta_1 + \mu'\cos\theta_1)}$$ $$v^2 = v_0^2\cdot\frac{\sin\theta_1 - \mu'\cos\theta_1}{\sin\theta_1 + \mu'\cos\theta_1}$$戻るときは斜面下向き（\(x\) の負の向き）に運動しているので、速度（向きを含む）は、
$$v = -\,v_0\sqrt{\frac{\sin\theta_1 - \mu'\cos\theta_1}{\sin\theta_1 + \mu'\cos\theta_1}}$$根号の中が正、すなわち \(\sin\theta_1 > \mu'\cos\theta_1\)（\(\tan\theta_1 > \mu'\)）のときだけ物体は滑り降りる。逆に \(\tan\theta_1 \le \mu'\) なら、最高点で止まったあと静止摩擦で止まったままになり \(x=0\) には戻らない。問題文で「再び \(x=0\) に戻った」と書かれているので、ここでは \(\tan\theta_1 > \mu'\) が成り立っている。
同じ距離を往復しても、上りと下りで摩擦の向きが逆になるため、戻りの速さは初速より小さくなる。比 \(\sqrt{(\sin-\mu'\cos)/(\sin+\mu'\cos)}\) は摩擦による「目減り」を表す。
立式：物体は静止状態（速度 0）から上向きに動き出した。物体の速度がベルト速度 \(V\) より小さい間、ベルトは物体に対して斜面上向きに滑っているので、動摩擦力は斜面上向きに働く。斜面上向きを正として運動方程式は、
$$ma = \mu' mg\cos\theta_2 - mg\sin\theta_2$$両辺を \(m\) で割って加速度を求める：
$$a = g(\mu'\cos\theta_2 - \sin\theta_2)$$「物体が上向きに動き出した」という条件から \(a>0\)、すなわち \(\mu'\cos\theta_2 > \sin\theta_2\) が成り立つ。初速 0 の等加速度運動なので、ベルト速度 \(V\) に達するまでの \(t>0\) では、
$$v = at = g(\mu'\cos\theta_2 - \sin\theta_2)\,t$$物体がベルトと同じ速さ \(V\) になると、ベルトと物体の間に相対滑りがなくなり、動摩擦から静止摩擦に切り替わる。もし斜面が静止摩擦で支えられる範囲なら物体はベルトと一緒に等速で運ぶ。本小問が問うのは「動き出してから \(V\) に達するまで」の \(v(t)\) なので、上の一次関数が答えとなる。
摩擦の向きは「ベルトから見て物体がどう動くか」ではなく「物体から見てベルトがどう動くか」で決める。ベルトの方が速いと、物体は上向きに引きずられる。
立式：初速は \(-v_0\)（下向き）。物体の速度はこの運動の間つねに \(V\) より小さい（最大でも戻ってきたときの上向きの速さで、それも \(v_0\lt V\)）。よってベルトは物体より速いまま、動摩擦力は終始斜面上向きで、加速度は一定：
$$a = g(\mu'\cos\theta_2 - \sin\theta_2)\quad(\text{斜面上向き、一定})$$加速度が一定の運動では、同じ位置 \(x=0\) を通過するときの速さは出発時と等しく、向きだけが反転する。これは \(v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x\) で、出発点と同じ位置（\(\Delta x = 0\)）に戻れば \(v^2 = v_0^2\) となることからわかる：
$$v^2 = (-v_0)^2 + 2a\cdot 0 = v_0^2 \quad\Rightarrow\quad |v| = v_0$$戻ってきたときは斜面上向き（正の向き）に動いているので、
$$v = +\,v_0$$I(2) では、上りと下りで摩擦の向きが反転したため加速度が往路と復路で違い、戻りの速さは小さくなった。一方この II(2) では物体がつねにベルトより遅いので、摩擦の向きが変わらず加速度が一定。一定加速度なら出発点に戻ったときの速さは保存される。「摩擦があるのに速さが減らない」のは、摩擦が一貫して同じ向きに働き、往路で減速した分を復路でちょうど戻すから。
摩擦の向きが運動の間ずっと変わらない（加速度一定）なら、同じ位置に戻ったときの速さは初速に等しい。摩擦の有無ではなく「向きが変わるか」で結論が決まる。
立式：物体 B は摩擦なし。B にはたらく斜面方向の力は、重力の斜面成分 \(mg\sin\theta_3\)（斜面下向き）と、ばねの張力（A 側＝斜面上向きに引く）\(kd_0\) の 2 つ。B は静止しているので、斜面方向のつり合いより、
$$kd_0 = mg\sin\theta_3$$これを \(d_0\) について解く：
$$d_0 = \frac{mg\sin\theta_3}{k}$$B のつり合いを考えるとき、必要なのは「B にはたらく力」だけ。ばねの伸び \(d_0\) が決まれば張力 \(kd_0\) が決まり、A が何をしているかは B の式には直接現れない。A の役割は次の (2) で、ばねの反作用 \(kd_0\) を受けて静止する条件として効いてくる。
摩擦のない物体のつり合いは「重力成分 ＝ ばねの張力」のみ。ばねの自然長からの伸びは重力成分で決まる。
立式：A は静止しており、ベルトは斜面上向きに滑っているので、A は斜面上向きの動摩擦力 \(\mu' mg\cos\theta_3\) を受ける。A にはたらく斜面方向の力は、重力成分 \(mg\sin\theta_3\)（下向き）、ばねの張力 \(kd_0\)（B 側＝斜面下向きに引く）、動摩擦 \(\mu' mg\cos\theta_3\)（上向き）。斜面方向のつり合いより、
$$\mu' mg\cos\theta_3 = mg\sin\theta_3 + kd_0$$(1) で得た \(kd_0 = mg\sin\theta_3\) を代入する：
$$\mu' mg\cos\theta_3 = mg\sin\theta_3 + mg\sin\theta_3 = 2mg\sin\theta_3$$両辺を \(mg\cos\theta_3\) で割って、
$$\mu' = 2\,\frac{\sin\theta_3}{\cos\theta_3} = 2\tan\theta_3$$A は B より高い位置にあり、ばねは伸びている。伸びたばねは両端を互いに引き寄せるので、A は下方の B に向かって引かれる＝斜面下向き。したがって A にとって重力もばねも下向きで、両方を上向きの摩擦で支える形になり、摩擦が「重力成分の 2 倍」必要になる。
静止する物体でも、ベルトが滑っていれば動摩擦力を受ける（静止摩擦ではない）。A は「重力＋ばね」の下向き 2 力を動摩擦 1 つで支えるので \(\mu' = 2\tan\theta_3\)。
立式：A と B からなる系を考える。ばねの力は内力なので重心の運動方程式には現れない。系にはたらく斜面方向の外力は、
(2) より \(\mu' = 2\tan\theta_3\) なので \(\mu' mg\cos\theta_3 = 2mg\sin\theta_3\)。外力の和は、
$$F_{\text{外}} = -mg\sin\theta_3 - mg\sin\theta_3 + 2mg\sin\theta_3 = 0$$外力の和が 0 なので重心 G は等速運動。\(t=0\) では A の速度 0、B の速度 \(V\)、質量はともに \(m\) だから、
$$v_\mathrm{G} = \frac{m\cdot 0 + m\cdot V}{m + m} = \frac{V}{2}$$これは時間によらず一定である。
\(0\lt t\lt t_1\) では A の速度は \(V\) 未満（A はまだベルトに追いついていない）。よって A はベルトに対して斜面下向きに滑り続けており、A が受けるのは斜面上向きの動摩擦 \(\mu' mg\cos\theta_3\) で一定。だから外力の和が 0 のまま保たれ、重心は等速を保つ。
外力の和が 0 → 重心は等速。(2) で求めた \(\mu' = 2\tan\theta_3\) が、重力 2 つ分と摩擦をちょうど打ち消す絶妙な値になっている。
角振動数の決定：問題文より「重心 G から A・B までの距離がともに \(d\) だけ減少すると、A がばねから受ける力は \(2kd\) 変化する」。重心から見た A の単振動では、変位 \(d\) に対して復元力 \(2kd\) なので、実効ばね定数は \(2k\)、質量は \(m\)。よって角振動数は、
$$\omega = \sqrt{\frac{2k}{m}}$$\(v_\mathrm{B}\) の決定：重心の速度は (3) より \(v_\mathrm{G} = V/2\) で一定。重心系での B の速度は \(t=0\) で \(V - V/2 = +V/2\)、また \(t=0\) では各物体は静止つり合いの位置（単振動の振動中心）にあるので、重心系の速度は余弦関数で表せる：
$$v_\mathrm{B} - v_\mathrm{G} = \frac{V}{2}\cos\omega t$$よって床から見た B の速度は、
$$v_\mathrm{B} = \frac{V}{2} + \frac{V}{2}\cos\omega t = \frac{V}{2}\left(1 + \cos\sqrt{\frac{2k}{m}}\;t\right)$$\(t_1\) の決定：同様に A の速度は \(v_\mathrm{A} = v_\mathrm{G} - \dfrac{V}{2}\cos\omega t = \dfrac{V}{2}(1-\cos\omega t)\)。A が初めてベルト速度 \(V\) になる条件 \(v_\mathrm{A} = V\) より、
$$\frac{V}{2}(1 - \cos\omega t_1) = V \quad\Rightarrow\quad \cos\omega t_1 = -1$$初めて成り立つのは \(\omega t_1 = \pi\) のとき。したがって、
$$t_1 = \frac{\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\frac{m}{2k}}$$A と B が対称（同じ質量 \(m\)）なので、重心は 2 物体の中点。一方が中心に \(d\) 近づくと、ばね全体は \(2d\) 縮み、ばねの力は \(k\cdot 2d = 2kd\) 変化する。これが「変位 \(d\) あたり復元力 \(2kd\)」＝実効ばね定数 \(2k\) の意味。換算質量を使う立場では \(\mu_{\text{換算}} = m/2\)、ばね定数 \(k\) として \(\omega = \sqrt{k/(m/2)} = \sqrt{2k/m}\) と求めても同じ。
2 物体＋ばねは重心系に移ると単振動になる。床から見た速度 ＝ 重心の速度（一定）＋ 単振動の速度（余弦）。\(t=0\) が振動中心なので速度は \(\cos\) で書ける。
立式：\(t>t_1\) では A はベルトに対して静止し、速さ \(V\) で等速に動く。A から見た（速さ \(V\) で動く慣性系）と、B は摩擦なしでばね定数 \(k\) のばねにつながれた単振動をする。質量 \(m\)、ばね定数 \(k\) なので角振動数は、
$$\omega' = \sqrt{\frac{k}{m}}$$初期条件の接続：(4) より \(t=t_1\)（\(\omega t_1 = \pi\)）での B の速度は、
$$v_\mathrm{B}(t_1) = \frac{V}{2}(1 + \cos\pi) = \frac{V}{2}(1 - 1) = 0$$A の速さは \(V\) なので、A の系で見た B の速度は \(0 - V = -V\)。また \(t=t_1\) で B はばねが最も伸びた（または縮んだ）端ではなく振動中心を速さ \(V\) で通過する。したがって A の系での B の速度は \(-V\cos\omega'(t-t_1)\)。床から見た速度に直すと、
$$v_\mathrm{B} = V - V\cos\omega'(t - t_1) = V\left\{1 - \cos\sqrt{\frac{k}{m}}\,(t - t_1)\right\}$$\(\cos\) は \(-1\) から \(1\) の値をとるので、\(v_\mathrm{B} = V(1-\cos)\) は \(0\) から \(2V\) の間で振動する。B はベルトより速くなったり遅くなったりするが、摩擦がないので減衰せず単振動を続ける。なお角振動数が \(t\lt t_1\) の \(\sqrt{2k/m}\) から \(\sqrt{k/m}\) に変わるのは、A が「振動する相棒」から「固定端」に変わったため。
一端が固定（A がベルトと一体に等速）になると、単振動の実効ばね定数は \(2k\) から \(k\) に変わる。固定端の慣性系に移って初期速度・初期位置を読み取るのがコツ。
ばねの力の変動幅：(5) より、A を固定端としたとき B は角振動数 \(\omega' = \sqrt{k/m}\) で、A の系での速さの最大値が \(V\) の単振動をする。速度の最大値が \(V\) なので、振幅（変位の最大）は、
$$x_{\max} = \frac{V}{\omega'} = V\sqrt{\frac{m}{k}}$$このとき、A の位置でばねの長さは平衡時から最大 \(x_{\max}\) だけ伸び縮みするので、A が受けるばねの力は平衡値 \(kd_0\) から \(\pm k x_{\max}\) だけ変動する。変動幅の大きさは、
$$k\,x_{\max} = k\cdot V\sqrt{\frac{m}{k}} = V\sqrt{km}$$必要な摩擦力：A の斜面方向のつり合いで必要な静止摩擦力 \(f\) は、重力成分 \(mg\sin\theta_3\) とばねの力（下向き、\(kd_0 \pm kx_{\max}\)）を支える：
$$f = mg\sin\theta_3 + (kd_0 \pm V\sqrt{km})$$\(kd_0 = mg\sin\theta_3\) を代入すると、必要な摩擦力の最大値は、
$$f_{\max} = mg\sin\theta_3 + mg\sin\theta_3 + V\sqrt{km} = 2mg\sin\theta_3 + V\sqrt{km}$$静止し続ける条件：これが最大静止摩擦力 \(\mu mg\cos\theta_3\) を超えなければよい：
$$\mu mg\cos\theta_3 \ge 2mg\sin\theta_3 + V\sqrt{km}$$両辺を \(mg\cos\theta_3\) で割って、
$$\mu \ge 2\tan\theta_3 + \frac{V\sqrt{km}}{mg\cos\theta_3} = 2\tan\theta_3 + \frac{V}{g\cos\theta_3}\sqrt{\frac{k}{m}}$$A を下向きに引く力は「重力成分 \(mg\sin\theta_3\)」＋「ばねの張力」。ばねが最も伸びたとき張力が最大になり、A を下向きに引く合計の力＝必要な摩擦力 \(f\) が最大になる。逆にばねが最も縮んだとき \(f\) は最小（場合によっては摩擦が上向きに必要になることもあるが、その大きさは \(f_{\max}\) より小さい）。よって滑り出しの危険が最大なのはばねが最も伸びた瞬間で、その \(f_{\max}\) を超えない条件が答えになる。
振動する系で「滑らない条件」を求めるときは、必要な摩擦力が最大になる瞬間を捉え、それが最大静止摩擦 \(\mu N\) 以下となる不等式を立てる。\(2\tan\theta_3\)（静的な分）に振動由来の \(\dfrac{V}{g\cos\theta_3}\sqrt{k/m}\) が加わる形。