前期 大問１（力学）

解法の指針

円形ループ内を滑る小物体の運動を扱う問題です。エネルギー保存と円運動の条件を組み合わせます。

問題の構成

全体を貫くポイント

設問(1)

直感的理解
高い位置から滑り降りるほど速くなる。摩擦のない斜面では、位置エネルギーがそのまま運動エネルギーに変わるので、速さは高さのみで決まり、経路によらない。

立式：高さ $h$ の地点から最下点まで、力学的エネルギー保存より、

$$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$

答え：
$$v = \sqrt{2gh}$$

数値例：例えば h = 5.0 m、g = 9.8 m/s² のとき、v = √(2 × 9.8 × 5.0) = √98 = 9.9 m/s です。質量 0.50 kg の小物体なら運動エネルギーは 0.50 × 9.8 × 5.0 = 24.5 J になります。

Point

摩擦のない面では、速さは経路によらず高さの差だけで決まる。これはエネルギー保存の重要な帰結。

設問(2)

直感的理解
ループの頂上で物体が軌道から離れないためには、重力だけで円運動に必要な向心力を賄えなければならない。つまり $mg \geq mv^2/R$ が最低条件。ぎりぎりのとき $N = 0$。

立式：頂上での運動方程式（向心方向）は、

$$mg + N = \frac{mv^2}{R}$$

離れない条件は $N \geq 0$ なので、$v^2 \geq gR$。エネルギー保存と合わせると、

$$mgh = \frac{1}{2}mv_{\text{top}}^2 + mg(2R)$$

$v_{\text{top}}^2 = gR$ を代入すると $h \geq \dfrac{5}{2}R$。

答え：
$$h_{\min} = \frac{5}{2}R$$
補足：$h = 5R/2$ の物理的意味

ループの直径は $2R$ だが、頂上を通過するには $2R$ 以上の高さが必要。余分な $R/2$ は、頂上で最低限の速さ（$v = \sqrt{gR}$）を持つために必要な運動エネルギーに相当する。

Point

「離れない条件」= 垂直抗力 $N \geq 0$。ぎりぎりで $N = 0$ とし、向心力を重力だけで賄う条件を立てる。この手法は円運動の問題で頻出。

設問(3)

直感的理解
摩擦がある場合、力学的エネルギーの一部が熱として失われる。失われるエネルギーは摩擦力と移動距離の積に等しい。

立式：摩擦がある場合のエネルギー保存は、

$$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \mu' mg \cdot L$$

ここで $\mu'$ は動摩擦係数、$L$ はループの全周長（$= 2\pi R$）です。

答え：

摩擦によるエネルギー損失 $= \mu' mg \cdot 2\pi R$

$$v = \sqrt{2g(h - 2R) - 2\mu' g \cdot 2\pi R}$$

Point

摩擦のある問題では「エネルギーの総和は不変」だが「力学的エネルギー」は減少する。失われた分は摩擦熱として系外に出る。