解法の指針

誘電体に埋め込まれた帯電金属板（電荷 $-Q$）と、上下の電極が作るコンデンサー系を考えます。上電極はばねで支えられ、上下に振動できます。

問題の構成

• I-(1)：誘電体に埋め込まれた金属板の電位
• I-(2)：上電極を $z=0$ に移動しスイッチを閉じたときの上電極の電荷
• I-(3)：スイッチを開き外力で移動後、自由にした上電極の $z$ 座標
• I-(4)：その位置での上電極の電位
• II-(1)：スイッチを閉じて充電後、自由にしたときの上電極のつりあい位置 $h_1$
• II-(2)：スイッチを閉じている間の抵抗の発熱量
• II-(3)：おもりを載せて誘電体に衝突させないための条件（おもりの質量）
• II-(4)：1サイクルの抵抗発熱量の合計

I-(1) 金属板の電位

下電極（電荷 $+Q$, 面積 $a^2$）と金属板（電荷 $-Q$）の間には厚さ $d$ の誘電体（誘電率 $\varepsilon$）があります。これは平行板コンデンサーと同じ構造です。

誘電体内の電場：

$$E = \frac{Q}{\varepsilon a^2}$$

ここでガウスの法則より、面積 $a^2$ の平行板間の電場は $E = \sigma / \varepsilon = Q / (\varepsilon a^2)$ です（$\sigma = Q/a^2$ は面電荷密度）。

金属板の電位：下電極を基準（$V=0$）として、電位差は $V = Ed$ より：

$$V_{\text{metal}} = E \cdot d = \frac{Q}{\varepsilon a^2} \cdot d = \frac{Qd}{\varepsilon a^2}$$

補足：上半分の誘電体層について

金属板の上側にも厚さ $d$ の誘電体がありますが、I の初期条件ではスイッチが開いており上電極に電荷がないため、金属板と上電極の間には電場が生じません。したがって金属板の電位は下側の電場のみで決まります。

I-(2) 上電極の電荷

上電極を $z = 0$（誘電体上面に密着）に移動し、スイッチを閉じます。十分長い時間が経過すると電流が $0$ になり、上電極と下電極の電位が等しくなります（両者が導線で接続されているため）。

系の構造：上電極を $z=0$ に置くと、系は2つの直列コンデンサーになります。

• 上側：上電極〜金属板（厚さ $d$, 誘電率 $\varepsilon$）
• 下側：金属板〜下電極（厚さ $d$, 誘電率 $\varepsilon$）

各コンデンサーの容量は：

$$C_1 = C_2 = \frac{\varepsilon a^2}{d}$$

金属板の電荷は $-Q$（固定）。下電極の電荷は $+Q$（固定）。上電極の電荷を $q$ とします。

電荷保存：金属板は導体なので、上面と下面の電荷の和は $-Q$ です。

電位条件：スイッチを閉じた定常状態で $V_{\text{upper}} = V_{\text{lower}} = 0$（接地と同電位）。

下側コンデンサー：下電極（$V=0$）から金属板への電位差は、電荷 $+Q$ による電場で：

$$V_{\text{metal}} = \frac{Qd}{\varepsilon a^2}$$

上側コンデンサー：上電極（$V=0$）から金属板への電位差は、上電極の電荷 $q$ による電場で：

$$V_{\text{metal}} - 0 = \frac{(-q) \cdot d}{\varepsilon a^2}$$

ここで上電極に $q$ があると、金属板上面には $-q$ が誘導され、上側コンデンサーの電場は $(-q)/(\varepsilon a^2)$ となります。金属板の電位は上から見ても下から見ても同じなので：

$$\frac{Qd}{\varepsilon a^2} = \frac{(-q)d}{\varepsilon a^2}$$ $$\therefore\; q = -Q$$

別解：対称性による考察

$z=0$ に上電極を置くと、構造は金属板に対して上下対称です。下電極に $+Q$ があるのと同様に、上電極にも電荷が分配されます。金属板の電位が一致する条件から、対称性より上電極の電荷は $-Q$ となります。つまり金属板の $-Q$ のうち、上下の電極にそれぞれ $+Q$ と $-Q$ が誘導され、上電極は導線を通じて $-Q$ を受け取ります。

I-(3) 上電極のつりあい位置

スイッチを開いた後、上電極には電荷 $-Q$ が保存されたまま（孤立導体）。上電極を外力でゆっくり移動させ、自由にして静止した位置を求めます。

上電極に働く力のつりあい：

上電極が位置 $z$ にあるとき、上電極と金属板の間には2つの層があります：

• 厚さ $d$ の誘電体（金属板上面〜誘電体上面）、誘電率 $\varepsilon$
• 厚さ $z$ の真空層、誘電率 $\varepsilon_0$

上電極の電荷 $-Q$ と金属板上面の電荷（$+Q$, 誘導電荷）の間の電場による引力を考えます。

ここで重要なのは、上電極の電荷は $-Q$ で固定されていて、金属板の電荷 $-Q$ のうち上面に $+Q$、下面に $-2Q$ が分配される…という複雑な電荷分布を考える必要があります。

しかし本問のポイントは、初期条件（I-(1)でスイッチが開、上電極に電荷なし）のつりあい位置 $z = h_0$ と、I-(2)で電荷 $-Q$ を得た後のつりあい位置の比較です。

力のつりあい：

初期状態（電荷なし）でのつりあい：ばね力 = 重力

$$k(z_0 - h_0) = mg$$

ここで $z_0$ はばねの自然長に対応する位置です。

電荷 $-Q$ を持つ状態では、上電極と誘電体内の金属板の間に引力（下向き）が加わります。上電極と下電極の間の合成コンデンサーの静電エネルギー $U(z)$ の $z$ 微分が静電力を与えます。

合成容量は誘電体層（厚さ $d$, 容量 $C_d = \varepsilon a^2/d$）と真空層（厚さ $z$, 容量 $C_v = \varepsilon_0 a^2/z$）の直列なので：

$$\frac{1}{C(z)} = \frac{1}{C_d} + \frac{1}{C_v} = \frac{d}{\varepsilon a^2} + \frac{z}{\varepsilon_0 a^2}$$

上電極の電荷 $-Q$ が保存されるので、静電エネルギーは：

$$U = \frac{Q^2}{2C(z)} = \frac{Q^2}{2a^2}\left(\frac{d}{\varepsilon} + \frac{z}{\varepsilon_0}\right)$$

静電力（上電極に働く $z$ 方向の力）は：

$$F_e = -\frac{dU}{dz} = -\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 a^2}$$

これは $z$ によらない一定の引力（下向き）です。力のつりあいは：

$$k(z_0 - z) = mg + \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 a^2}$$

初期つりあい $k(z_0 - h_0) = mg$ を引くと：

$$k(h_0 - z) = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 a^2}$$ $$\therefore\; z = h_0 - \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 a^2 k}$$

補足：静電力が z によらない理由

電荷一定（$Q$ 固定）のコンデンサーで極板間隔を変えると、エネルギーは $U = Q^2/(2C)$ です。直列合成容量の逆数が $z$ に関して線形なので、$U$ も $z$ に関して線形となり、$dU/dz$ は定数になります。これは「電荷が一定の平行板コンデンサーでは極板間の引力が間隔によらない」という有名な結果です。

I-(4) 上電極の電位

上電極の位置を $z$（I-(3)で求めた値）とします。上電極の電荷は $-Q$（保存）。下電極から上電極まで電位を積算します。

下側誘電体層（下電極〜金属板、厚さ $d$）：電荷 $+Q$ による電場で

$$V_{\text{metal}} - V_{\text{lower}} = \frac{Qd}{\varepsilon a^2}$$

上側誘電体層（金属板〜誘電体上面、厚さ $d$）：金属板上面の電荷を考慮

金属板の全電荷は $-Q$。下面の電荷を $q_b$、上面の電荷を $q_t$ とすると $q_b + q_t = -Q$。

下面の電荷は下電極 $+Q$ と対面し、$q_b = -Q$（下側の電場から決定）。よって $q_t = 0$。

しかし上電極に $-Q$ があるので、金属板上面には $+Q$ が誘導されるはず…これを再検討します。

正確には、上電極の $-Q$ と金属板の間の電場を使います。上側の誘電体と真空層を直列コンデンサーとして扱い、電荷 $-Q$ が蓄えられているので：

$$V_{\text{upper}} - V_{\text{metal}} = -Q \cdot \left(\frac{d}{\varepsilon a^2} + \frac{z}{\varepsilon_0 a^2}\right)$$

したがって上電極の電位は：

$$V_{\text{upper}} = V_{\text{metal}} + V_{\text{upper}} - V_{\text{metal}}$$ $$= \frac{Qd}{\varepsilon a^2} - Q\left(\frac{d}{\varepsilon a^2} + \frac{z}{\varepsilon_0 a^2}\right)$$ $$= \frac{Qd}{\varepsilon a^2} - \frac{Qd}{\varepsilon a^2} - \frac{Qz}{\varepsilon_0 a^2}$$ $$= -\frac{Qz}{\varepsilon_0 a^2}$$

I-(3)の結果 $z = h_0 - \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 a^2 k}$ を代入すると：

$$V_{\text{upper}} = -\frac{Q}{\varepsilon_0 a^2}\left(h_0 - \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 a^2 k}\right)$$

補足：電位の符号の物理的意味

上電極の電位が負になるのは直感的に理解できます。上電極は $-Q$ に帯電しており、接地された下電極から離れた位置にあるため、電位は負です。真空層の厚さ $z$ が大きいほど電位の絶対値は大きくなります。

II-(1) つりあい位置 $h_1$

Part II の Fig 2-3 の手順を追跡します。

(ア) 上電極を $z=0$ に移動してスイッチを閉じる → 十分時間経過後、上電極の電荷が一定に → (イ) 上方に加速度運動開始 → (ウ) $z = h_1$ で上昇速度 $0$ になり固定。

図 2-3(エ)で上電極の電荷量が $\frac{Q}{10}$ に減少したとあります。スイッチを閉じて $z=0$ で充電した後、上電極は電荷 $-\frac{9Q}{10}$ を持ちます（$-Q$ ではなく）。

I-(3)と同様に、電荷 $q = -\frac{9Q}{10}$ での静電力は：

$$F_e = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 a^2} = \frac{81Q^2}{200\varepsilon_0 a^2}$$

ただし問題文を精査すると、上電極の電荷は一定値 $\frac{Q}{10}$ の部分が残り、$h_1$ はこの電荷でのつりあい位置です。

力のつりあい：初期（電荷なし）の $h_0$ からのずれは静電力分で：

$$k(h_0 - h_1) = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 a^2}$$ $$h_1 = h_0 - \frac{q^2}{2\varepsilon_0 a^2 k}$$

II-(2) 抵抗の発熱量

スイッチを閉じている間（(ア)→(イ)→(ウ)の過程）、上電極の電荷は変化し、電流が抵抗を流れて発熱します。

エネルギー保存則より、系全体のエネルギー変化の総和が $0$ です：

$$\Delta E_{\text{ばね}} + \Delta E_{\text{重力}} + \Delta E_{\text{静電}} + J = 0$$

ここで $J$ は抵抗の発熱量です。各エネルギー変化は $h_0$, $h_1$, $k$ を用いて $Q$, $\varepsilon_0$, $a$ で表されます。

スイッチを閉じている間に上電極が $z = 0$ から $z = h_1$ まで移動し、電荷が変化するので、詳細な計算にはこの過程の初期・終状態のエネルギーを比較します。

II-(3) おもりの質量

上電極（電荷 $-Q$、質量 $m$）に質量 $M$ のおもりを載せます。新しいつりあい位置は：

$$k(z_0 - z') = (m + M)g + \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 a^2}$$

おもりを突然載せると、上電極は単振動の最下点まで降下します。つりあい位置からの振幅は、エネルギー保存より初期変位に等しいので、最下点 $z_{\min}$ は：

$$z_{\min} = 2z' - h_1$$

ここで $h_1$ はおもりを載せる前のつりあい位置。衝突しない条件は $z_{\min} > 0$：

$$2z' - h_1 > 0$$

$z'$ を $M$ で表して整理すると、$M$ の上限が得られます。

II-(4) 1サイクルの抵抗発熱量

1サイクルは以下の過程で構成されます：

1. (ア)→(イ): $z=0$ でスイッチ閉、充電 → 発熱 $J_1$
2. (イ)→(ウ): スイッチ開、上電極上昇
3. (ウ)→(エ): おもりを載せてスイッチ閉 → 発熱
4. (エ)→(オ): 上電極下降、おもり除去
5. (オ)→(カ): スイッチ閉、放電 → 発熱 $J_2$
6. (カ)→(ア): 初期状態に復帰

1サイクルの合計発熱量は $h_0$, $h_1$, $k$ を用いて：

$$J_{\text{total}} = J_1 + J_2$$

各過程でエネルギー保存則を適用し、力学的エネルギーの変化と静電エネルギーの変化の差分として求めます。

1サイクルを通じて系は初期状態に戻るので、ばね・重力ポテンシャルの変化は $0$。したがって合計発熱量は、外部からおもりの上下動で注入されたエネルギー（おもりの重力ポテンシャルの変化）に等しくなります。

補足：振動発電の効率について

振動発電（エレクトレット方式）では、外部振動のエネルギーが静電容量の変化を通じて電気エネルギーに変換されます。1サイクルあたりの発電量は $\Delta C$ と電荷 $Q$ に依存します。実際のエレクトレット振動発電機は MEMS（微小電気機械システム）として実用化されており、数十 $\mu$W 程度の出力で IoT センサーなどの電源として使われています。