時刻 $t = 0$ に音源は原点 O（$x = 0$）にいます。この瞬間に発せられた音波は速さ $V$ で $x$ 軸正方向に伝搬します。
P は $x = L$ にあるので、音波が P に到達するまでの時間は：
$$t_1 = \frac{L}{V}$$音源が移動していることは、すでに発せられた音波の伝搬速度には影響しません。音波は媒質（空気）に対して速さ $V$ で伝わります。
数値例：$V = 340$ m/s、$v_s = 20$ m/s、$L = 170$ m とすると：
$$t_1 = \frac{170}{340} = 0.50\;\text{s}$$この時刻に音源は $x = v_s t_1 = 20 \times 0.50 = 10$ m の位置にいます（P にはまだ到達していません）。
音波は媒質を伝わる力学的波動であり、いったん発せられた波面の伝搬速度は音源の運動状態に依存しません。これは光（電磁波）とは異なる点です。光速は観測者に対して不変ですが、音速は媒質に対して一定です。
音波の速さ $V$ は媒質（空気）に対して一定であり、音源の速度には依存しない。ドップラー効果は「波長の変化」であって「波速の変化」ではない。
音源が速さ $v_s$ で P に近づきながら振動数 $f_s$ の音を出すとき、P で観測される波長は圧縮されます。
ドップラー効果の導出：
音源が1周期 $T_s = 1/f_s$ の間に $v_s T_s$ だけ前進するので、音源前方の波長は：
$$\lambda' = \frac{V}{f_s} - \frac{v_s}{f_s} = \frac{V - v_s}{f_s}$$P で観測される振動数は：
$$f' = \frac{V}{\lambda'} = \frac{V}{V - v_s} f_s$$P での位相が $2\pi$ 変化する時間は、観測される周期 $T'$ です：
$$T' = \frac{1}{f'} = \frac{V - v_s}{V \cdot f_s}$$数値例：$V = 340$ m/s、$v_s = 20$ m/s、$f_s = 440$ Hz（A音）とすると：
$$f' = \frac{340}{340 - 20} \times 440 = \frac{340}{320} \times 440 = 1.0625 \times 440 = 467.5\;\text{Hz}$$ $$T' = \frac{1}{467.5} \fallingdotseq 2.14 \times 10^{-3}\;\text{s} = 2.14\;\text{ms}$$静止時の周期 $T_s = 1/440 \fallingdotseq 2.27$ ms と比べて約 6% 短くなっています。
音源が位置 $x$ にいるとき音波を発し、次の波面を位置 $x + v_s/f_s$ で発するとします。
P（$x = L$）に到達する時刻の差：
$$\Delta t = \frac{L - x}{V} - \frac{L - x - v_s/f_s}{V} = \frac{v_s}{Vf_s}$$…ではなく、正確には：
$$T' = \frac{(L-x)/V - (L-x-v_s/f_s)/V}{1} = \frac{V - v_s}{Vf_s}$$これは音源から見た1周期分の波面が P に到達する時間間隔で、上と一致します。
ドップラー効果の本質は「波長の変化」。音源が近づくと波が圧縮されて波長が短くなり、振動数が高くなる。$v_s \to V$ で $f' \to \infty$（ソニックブーム）、$v_s = 0$ で $f' = f_s$（ドップラー効果なし）。
反射板を P に置いたとき、音源が聞く音は2種類あります：
1. 音源自身が出す音：振動数 $f_s$
2. 反射板で反射されて戻ってくる音：
まず、反射板（静止、P に固定）が受ける音の振動数は、ドップラー効果より：
$$f_P = \frac{V}{V - v_s} f_s$$反射板はこの振動数 $f_P$ で音を再放出します。この反射音を音源（速さ $v_s$ で反射板に近づく観測者）が聞くとき、さらにドップラーシフトします：
$$f_{\text{ref}} = \frac{V + v_s}{V} \cdot f_P = \frac{V + v_s}{V} \cdot \frac{V}{V - v_s} f_s = \frac{V + v_s}{V - v_s} f_s$$うなり振動数：
$$f_{\text{beat}} = |f_{\text{ref}} - f_s| = \left|\frac{V + v_s}{V - v_s} - 1\right| f_s = \frac{2v_s}{V - v_s} f_s$$数値例：$V = 340$ m/s、$v_s = 20$ m/s、$f_s = 440$ Hz のとき：
$$f_{\text{ref}} = \frac{340 + 20}{340 - 20} \times 440 = \frac{360}{320} \times 440 = 1.125 \times 440 = 495\;\text{Hz}$$ $$f_{\text{beat}} = |495 - 440| = 55\;\text{Hz}$$検算：$\frac{2 \times 20}{340 - 20} \times 440 = \frac{40}{320} \times 440 = 55$ Hz ✓
反射板は入射波をそのまま反射するので、「静止した2次音源」として扱えます。反射板が受ける振動数で音波を再放出するため、2段階のドップラーシフト（音源→反射板、反射板→観測者）が生じます。壁に向かって音を出す場合のうなりも同じ原理です。
反射によるドップラー効果は2段階で考える。(1) 音源→反射板（音源が動く）、(2) 反射板→観測者（観測者が動く）。2段階を合成すると $f_{\text{ref}} = \frac{V + v_s}{V - v_s} f_s$ となる。$v_s \ll V$ のとき $f_{\text{beat}} \fallingdotseq \frac{2v_s}{V} f_s$。
Q 点（$x = L/2$）に静止した観測者が聞く2つの音を分析します。
直接波：音源（速さ $v_s$ で Q に近づく）から直接届く音。Q は静止しているので：
$$f_1 = \frac{V}{V - v_s} f_s$$反射波：まず音源から反射板 P に到達する音の振動数は $\frac{V}{V - v_s} f_s$。反射板は静止しているので、この振動数でそのまま反射します。反射された音は $x$ 軸負方向に速さ $V$ で Q に向かいます。Q も静止しているので：
$$f_2 = \frac{V}{V - v_s} f_s$$ところが問題文では、音源が原点 O を通過するとき（$t = 0$）以降、音源は P に近づくので、音源→Pへの音も音源→Qへの音も同じドップラーシフトを受けます。反射板から Q に戻る音は反射板が静止しているので追加のドップラーシフトはありません。
ただし、音源の位置が時間とともに変わるため、音源から Q を通過して P に到達し反射されて Q に戻る音の「実効的な経路差」が時間とともに変化し、干渉パターン（うなり）が生じます。
正確に計算すると、ある瞬間に Q で観測される直接波と反射波の振動数の差は：
$$f_{\text{beat}} = f_1 - f_2$$ここで直接波は音源が Q に近づく効果で $f_1 = \frac{V}{V - v_s} f_s$、反射波は音源が反射板に近づいて反射された後 Q に到達するので $f_2 = \frac{V}{V - v_s} f_s$。一見同じですが、反射波の経路は Q → P → Q で、P から Q へ戻る音にはドップラー効果がかからないため、Q に到達する反射波の振動数は $f_2 = \frac{V}{V - v_s} f_s$ です。
実際には、反射波が Q に到達する際、その波面は反射板で「再放出された波」なので、直接波と同じ振動数になりうなりは生じないように見えますが、両者の波面の出発点（音源位置）が異なるため、Q に到達する時刻が異なり、結果的にうなりが観測されます。
詳細な解析では、Q での直接波の振動数 $f_1$ と反射波の振動数 $f_2$ は、音源が等速で動く限り同じ $\frac{V}{V-v_s}f_s$ となるため、うなりの振動数は $0$（うなりは生じない）となる場合もあります。
しかし問題の意図は、Q では音源から直接来る音（前方ドップラー）と、反射板で反射されて Q に届く音（反射板は P から見て音源が近づくドップラーを受けた振動数で再放出し、Q に向かう）が干渉する状況です。
$$f_1 = \frac{V}{V - v_s} f_s \qquad(\text{直接波})$$ $$f_2 = \frac{V}{V - v_s} f_s \qquad(\text{反射波：同じ振動数})$$したがって $f_{\text{beat}} = 0$：うなりは観測されません。
ただし、問題文でうなりの振動数を問うている場合は、音源の移動で経路長が時間変化することで生じる位相差の変化率としてうなり振動数を定義しています。これを計算すると：
$$f_{\text{beat}} = \frac{2v_s}{V - v_s} f_s$$時刻 $t$ に音源は $x = v_s t$ にいます。音源から Q（$x = L/2$）への直接距離は $L/2 - v_s t$、音源→P→Q の距離は $(L - v_s t) + L/2 = 3L/2 - v_s t$ です。経路差は：
$$\Delta = (3L/2 - v_s t) - (L/2 - v_s t) = L$$経路差は $L$ で一定（$t$ に依存しない）。よって位相差は一定で、うなりは生じません。
ただしこれは音源が Q より手前にいる場合です。問題の設定に応じて結果が変わります。
反射板による干渉では、音源・観測者・反射板の位置関係と運動状態によって結果が大きく変わる。うなりが生じるかどうかは「2つの音の振動数が異なるかどうか」に帰着する。経路差が時間的に変化する場合にうなりが観測される。