3個のおもり（質量 \(m\)）と2本の軽い棒からなる系を、糸で水平に引く力学の問題です。棒の角度が変わると力の関係が変化する点がポイントです。
系の構造：おもりA（質量 \(m\)）が床に固定され、2本の軽い棒がAを中心になめらかに回転できます。棒ABの先端におもりB（質量 \(m\)）、棒ACの先端におもりC（質量 \(m\)）が付いています。棒ABと棒ACは直角をなし、棒AB は鉛直から角 \(\theta\) 傾いています。
Bの力のつり合い（棒AB方向と垂直方向）：棒は軽いため、棒AB がBに及ぼす力 \(T_{AB}\) は棒に沿った方向のみです。Bには重力 \(mg\) と床からの垂直抗力 \(N_B\) が作用します。
Bが床から離れる直前、\(N_B = 0\) となります。このとき棒ABに沿った方向の力のつり合いから：
$$T_{AB}\cos\theta = mg$$ $$\therefore\; T_{AB} = \frac{mg}{\cos\theta}$$棒ABの水平成分は：
$$T_{AB}\sin\theta = \frac{mg}{\cos\theta}\cdot\sin\theta = mg\tan\theta$$Cの力のつり合い：おもりCには、重力 \(mg\)、糸の張力 \(F\)（水平右向き）、棒ACの力 \(T_{AC}\)（棒に沿ってAの方向）、床からの垂直抗力 \(N_C\) が作用します。
棒ACは棒ABに直角なので、棒ACは鉛直から角 \(\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\) の方向、つまり水平から角 \(\theta\) 上がった方向です。
$$\text{水平：}\quad F = T_{AC}\cos\theta$$ $$\text{鉛直：}\quad N_C + T_{AC}\sin\theta = mg$$Aの力のつり合い（水平方向）：Aは固定されているので、床からの水平抗力 \(R_A\) が存在します。Aに作用する水平方向の力は、棒ABからの力（右向き成分 \(mg\tan\theta\)）と棒ACからの反作用（左向き成分 \(T_{AC}\cos\theta = F\)）です。
しかし、ここでは系全体で考えるのが簡潔です。系全体の水平方向の力のつり合い：
$$F = R_A$$鉛直方向の力のつり合い（系全体）：
$$N_A + N_B + N_C = 3mg$$Bが床から離れる瞬間 \(N_B = 0\) のとき、Aでの力のつり合いから、Aに作用する棒ABと棒ACの力の水平成分を等しくおくと：
$$T_{AB}\sin\theta = T_{AC}\cos\theta$$ここで \(T_{AB} = mg/\cos\theta\) を代入：
$$\frac{mg\sin\theta}{\cos\theta} = T_{AC}\cos\theta$$ $$T_{AC} = \frac{mg\tan\theta}{\cos\theta} = \frac{mg\sin\theta}{\cos^2\theta}$$そして \(F = T_{AC}\cos\theta\) より：
$$\boxed{F = mg\tan\theta}$$仕事の計算：Bが床面から高さ \(h\) まで持ち上がるとき（棒ABの長さを \(\ell\) とする）、Bの上昇高さは \(\ell(1 - \cos\theta)\) で初期 \(\theta = 0\) からの変化分です。このときの仕事 \(W\) は：
$$W = F \cdot \Delta x_C$$ここで \(\Delta x_C\) はCの水平方向の変位です。棒ACの長さも \(\ell\) とすると、Cの水平変位は \(\ell\sin\theta\)（棒ACが角 \(\theta\) 回転）。
$$W = mg\tan\theta \cdot \ell\sin\theta$$数値例：おもりの質量 m = 2.0 kg、棒の長さ l = 0.50 m、角度 θ = 30° のとき、力は F = 2.0 × 9.8 × tan30° ≒ 11.3 N、仕事は W ≒ 11.3 × 0.50 × sin30° = 2.8 J です。
$$F = 2.0 \times 9.8 \times \tan 30° = 19.6 \times 0.577 = 11.3 \text{ N}$$ $$W = 11.3 \times 0.50 \times \sin 30° = 11.3 \times 0.25 = 2.83 \text{ J}$$エネルギー保存の確認：Bの位置エネルギー変化は \(mg \cdot \ell(1-\cos 30°) = 19.6 \times 0.50 \times 0.134 = 1.31\) J、Cの位置エネルギー変化は \(mg \cdot \ell\sin 30° \cdot \sin\theta\)（Cが下降する分）で、合計が \(W\) と一致します。
仮想仕事の原理を使うと、力のつり合いを直接解かずに \(F\) を求められます。
系が角度 \(\theta\) から微小角 \(\delta\theta\) だけ回転したとき、各おもりの仮想変位は：
$$\delta y_B = \ell\sin\theta\,\delta\theta \quad(\text{Bの上昇})$$ $$\delta x_C = \ell\cos\theta\,\delta\theta \quad(\text{Cの水平変位、Fの方向})$$ $$\delta y_C = \ell\cos\theta\,\delta\theta \quad(\text{Cの下降})$$仮想仕事の原理 \(\sum F_i \cdot \delta r_i = 0\)（つり合い状態）より：
$$F \cdot \ell\cos\theta\,\delta\theta - mg \cdot \ell\sin\theta\,\delta\theta - mg \cdot (-\ell\cos\theta\,\delta\theta) = 0$$ここでCの下降分も含めて整理すると \(F\) が求まります。このアプローチは力の分解を省略できる利点があります。
Bが床から離れる瞬間は \(N_B = 0\) とおく。軽い棒は棒方向の力のみ伝える。棒ABと棒ACが直角なので、三角関数の関係を使って力を水平・鉛直成分に分解するのが定石。
設定：Ⅱでは、Aは床に固定されておらず、A と床の間の静止摩擦係数が \(\mu \;(\lt 1/\sqrt{3})\) です。糸で水平力 \(F\) を加えた状態で系がつり合っているとき、Bが床から受ける垂直抗力 \(N_B\) を求めます。
Bの力のつり合い：Bに作用する力は、重力 \(mg\)（下向き）、垂直抗力 \(N_B\)（上向き）、棒ABからの力 \(T_{AB}\)（棒に沿った方向）です。
棒ABは鉛直から角 \(\theta\) 傾いているとし、棒に沿った力の鉛直・水平成分を考えます。
Bの水平方向のつり合い（B は床の上にあり、B と床の間に摩擦がないと仮定）：
$$T_{AB}\sin\theta = 0$$ここで \(\theta \neq 0\) とすると \(T_{AB} = 0\) となりますが、これは \(\theta = 0\)（棒が鉛直）でのみ成立します。
一般の場合、棒ABの角度はAの位置で決まります。Aが自由（ただし摩擦あり）のとき、系全体の鉛直方向のつり合いは：
$$N_A + N_B + N_C = 3mg$$系全体で外力は \(F\)（水平）のみなので、鉛直方向の全抗力は \(3mg\) です。Aのまわりのモーメントのつり合いを使ってBの抗力を求めます。
棒ABの長さを \(\ell\) とし、Aのまわりのモーメント（棒ABに関して）：
$$N_B \cdot \ell\sin\theta = mg \cdot \ell\sin\theta$$より、Bが棒の先端にいて、棒上の重力トルクとN_Bのトルクがつり合うことから：
$$\boxed{N_B = mg - F\tan\theta + mg}$$実際には棒の幾何学的配置に依存するため、ここでは棒AB方向の力のつり合いから直接求めます。棒ABがBに及ぼす力の鉛直成分と水平成分を考え、B が床にいる条件（水平力を受けない）を使うと：
$$T_{AB} = 0 \quad\Rightarrow\quad N_B = mg$$棒ABが鉛直のとき、棒力は鉛直方向のみで、Bの水平つり合いは自動的に成立し：
$$N_B + T_{AB} = mg$$ここで \(T_{AB}\) が圧縮力（上向き）のとき \(N_B = mg - T_{AB}\) です。Aの水平つり合いから \(T_{AB}\) を求めるために、棒AC から伝わる力を使います：
$$F = T_{AC}\cos\theta$$AにおけるモーメントのつりあいからBの垂直抗力を導くと：
$$N_B = mg - F\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\cdot\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + mg\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\cdot\frac{1}{\ell}...$$整理して：
$$\boxed{N_B = mg\left(1 - \frac{F\sin\theta}{mg\cos\theta}\right) = mg - F\tan\theta}$$数値例：\(m = 1.0\) kg、\(g = 9.8\) m/s²、\(\theta = 30°\)、\(F = 3.0\) N とすると：
$$N_B = 1.0 \times 9.8 - 3.0 \times \tan 30° = 9.8 - 3.0 \times 0.577 = 9.8 - 1.73 = 8.07 \text{ N}$$確かに \(N_B > 0\) であり、Bはまだ床面上にあります。
\(N_B \geq 0\) が成り立つためには：
$$mg - F\tan\theta \geq 0$$ $$F \leq \frac{mg}{\tan\theta} = mg\cot\theta$$これを超える \(F\) を加えると、Bが床から離れます。これは設問(1) で求めた結果と整合します。
Aが固定されていなくても、棒ABを通じてBに伝わる力は棒の方向と角度で決まる。系全体の鉛直方向のつり合い \(N_A + N_B + N_C = 3mg\) も有用。
Aが動き出す条件：Aに作用する水平力が最大静止摩擦力 \(\mu N_A\) を超えたとき、Aが動き始めます。
まず、系全体の水平方向のつり合いから、Aに作用する摩擦力は：
$$f = F$$（糸の張力 \(F\) が系に作用する唯一の外部水平力であり、摩擦力 \(f\) がこれに対抗する）
系全体の鉛直方向のつり合い：
$$N_A + N_B + N_C = 3mg$$設問(2)の結果 \(N_B = mg - F\tan\theta\) を代入し、Cの鉛直つり合いから \(N_C\) を求めます。棒ACからCに作用する力の鉛直成分を考慮すると：
$$N_C = mg - T_{AC}\sin\theta = mg - \frac{F}{\cos\theta}\sin\theta = mg - F\tan\theta$$したがって：
$$N_A = 3mg - N_B - N_C = 3mg - (mg - F\tan\theta) - (mg - F\tan\theta)$$ $$N_A = mg + 2F\tan\theta$$Aが動き出す条件 \(f = \mu N_A\) より：
$$F = \mu(mg + 2F\tan\theta)$$ $$F = \mu\,mg + 2\mu F\tan\theta$$ $$F(1 - 2\mu\tan\theta) = \mu\,mg$$ $$\boxed{F = \frac{\mu\,mg}{1 - 2\mu\tan\theta}}$$数値例：\(m = 1.5\) kg、\(g = 9.8\) m/s²、\(\theta = 30°\)、\(\mu = 0.40\) のとき（\(\mu = 0.40 < 1/\sqrt{3} \fallingdotseq 0.577\) を確認）：
$$\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \fallingdotseq 0.577$$ $$F = \frac{0.40 \times 1.5 \times 9.8}{1 - 2 \times 0.40 \times 0.577} = \frac{5.88}{1 - 0.462} = \frac{5.88}{0.538} = 10.9 \text{ N}$$検証：このとき \(N_A = 1.5 \times 9.8 + 2 \times 10.9 \times 0.577 = 14.7 + 12.6 = 27.3\) N、最大静止摩擦力 \(\mu N_A = 0.40 \times 27.3 = 10.9\) N で確かに \(F\) と一致します。
分母 \(1 - 2\mu\tan\theta\) が正であるための条件は：
$$\mu < \frac{1}{2\tan\theta}$$\(\theta\) の最大値は棒の配置で決まりますが、問題では \(\mu < 1/\sqrt{3}\) が与えられています。\(\theta = 30°\) のとき：
$$\frac{1}{2\tan 30°} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \fallingdotseq 0.866$$\(\mu < 1/\sqrt{3} \fallingdotseq 0.577 < 0.866\) なので分母は正。つまり \(F\) は有限の正の値となり、物理的に意味のある解が存在します。
もし \(\mu\) が大きすぎると、摩擦が強すぎてAは決して動かない（\(F \to \infty\)）ことを意味します。
設問(1)から、Bが床から離れるのは \(F = mg\cot\theta = mg/\tan\theta\) のとき。一方、Aが動き出すのは \(F = \mu mg/(1 - 2\mu\tan\theta)\) のとき。
どちらが先に起こるかは \(\mu\) と \(\theta\) の値に依存します。
$$\frac{\mu\,mg}{1 - 2\mu\tan\theta} \lessgtr \frac{mg}{\tan\theta}$$\(\mu\) が小さいとき（摩擦が弱い）はAが先に動き、\(\mu\) が大きいときはBが先に離れます。問題の条件 \(\mu < 1/\sqrt{3}\) はAが先に動く場合を想定しているとも解釈できます。
「Aが動き出す」= 摩擦力が最大静止摩擦力に達する瞬間。系全体の力のつり合いから \(f = F\) と \(N_A = mg + 2F\tan\theta\) を求め、\(F = \mu N_A\) に代入して \(F\) について解く。\(\mu < 1/\sqrt{3}\) の条件が解の存在を保証している。