台車に固定された断熱容器にピストンが取り付けられており、中に1モルの単原子分子理想気体が封入されている。台車が壁に衝突してピストンが気体を断熱圧縮する設定です。
台車の運動エネルギー：
台車の質量を $m$、初速度を $v_0$ とすると、
$$K_0 = \frac{1}{2}mv_0^2$$気体の内部エネルギー：
単原子分子理想気体 $n = 1\,\text{mol}$ の内部エネルギーは、気体分子の自由度3（並進のみ）から、
$$U_0 = \frac{3}{2}nRT_0 = \frac{3}{2}RT_0$$具体的な数値例：m = 2.0 kg、v₀ = 10 m/s、T₀ = 300 K のとき、
K₀ = 0.5 × 2.0 kg × (10 m/s)² = 100 J
U₀ = 1.5 × 8.31 J/(mol·K) × 300 K = 3740 J
単原子分子理想気体（He, Ne, Ar など）は回転の自由度を持たず、並進運動の3自由度のみです。エネルギー等分配の法則から、1自由度あたり $\frac{1}{2}k_BT$ のエネルギーを持つので、1分子あたり $\frac{3}{2}k_BT$、$n$ モルでは $\frac{3}{2}nRT$ となります。
2原子分子（$\gamma = 7/5$）の場合は $U = \frac{5}{2}nRT$ となり、後の設問でポアソンの法則を使う際に $\gamma$ の値が変わる点に注意。
$n = 1\,\text{mol}$ のとき $U_0 = \frac{3}{2}RT_0$ であり、$nR$ が消えないことに注意。設問(2)(3) で $K_0$ と $U_0$ の比を使うため、ここで正確に定義しておくことが重要。
エネルギー保存則の立式：
断熱容器なので外部との熱のやりとりはなく、台車が壁に衝突して静止すると、運動エネルギー $K_0$ がすべて気体の内部エネルギー増加に変わります。
$$U_1 = U_0 + K_0$$温度との関係：
単原子分子理想気体（$n = 1\,\text{mol}$）では $U = \frac{3}{2}RT$ なので、
$$\frac{3}{2}RT_1 = \frac{3}{2}RT_0 + K_0$$$U_0 = \frac{3}{2}RT_0$ を代入して整理すると、
$$T_1 = T_0 + \frac{2K_0}{3R} = T_0\left(1 + \frac{2K_0}{3RT_0}\right) = T_0\left(1 + \frac{2K_0}{3U_0}\right)$$したがって、
$$\frac{T_1}{T_0} = 1 + \frac{2K_0}{3U_0}$$具体的な数値例：K₀ = 100 J、U₀ = 3740 J（m = 2.0 kg、v₀ = 10 m/s、T₀ = 300 K）のとき、
$$\frac{T_1}{T_0} = 1 + \frac{2 \times 100}{3 \times 3740} = 1 + \frac{200}{11220} = 1.018$$つまり T₁ ≒ 305 K で、約 5 K 上昇。台車の運動エネルギー 100 J に比べ気体の内部エネルギー 3740 J が大きいので、温度変化は小さい。
単原子分子理想気体の定積モル比熱は $C_v = \frac{3}{2}R$ です。断熱過程で台車が気体にした仕事は $W = K_0$（運動エネルギーがすべて気体に移る）で、第一法則 $\Delta U = Q + W$（$Q = 0$ は断熱）から、
$$\Delta U = K_0$$ $$nC_v(T_1 - T_0) = K_0$$ $$1 \times \frac{3}{2}R \times (T_1 - T_0) = K_0$$ $$T_1 - T_0 = \frac{2K_0}{3R}$$$U_0 = \frac{3}{2}RT_0$ より $R = \frac{2U_0}{3T_0}$ を代入すると、
$$T_1 - T_0 = \frac{2K_0}{3 \cdot \frac{2U_0}{3T_0}} = \frac{K_0 T_0}{U_0}$$これは先の結果と矛盾するように見えますが、実際は $\frac{2K_0}{3U_0} \cdot T_0 = \frac{2K_0 T_0}{3U_0}$ であり、
$$T_1 = T_0 + \frac{2K_0 T_0}{3U_0} = T_0\!\left(1 + \frac{2K_0}{3U_0}\right)$$と一致します。途中で $\frac{2K_0}{3R} = \frac{2K_0}{3 \cdot 2U_0/(3T_0)} = \frac{2K_0 \cdot 3T_0}{3 \cdot 2U_0} = \frac{K_0 T_0}{U_0}$ ではなく $\frac{2K_0 T_0}{3U_0}$ であることに注意してください。
断熱過程では $Q = 0$ なので、外部から気体になされた仕事がそのまま内部エネルギーの増加になる。$K_0/U_0$ が小さいほど温度変化は穏やかで、$K_0/U_0 \to 0$ では $T_1 \to T_0$（温度はほぼ変わらない）。
ポアソンの法則（断熱変化の関係式）：
断熱過程では $TV^{\gamma-1} = \text{一定}$ が成り立ちます。単原子分子理想気体の比熱比は $\gamma = \frac{5}{3}$ なので $\gamma - 1 = \frac{2}{3}$ です。
$$T_0 V_0^{2/3} = T_1 V_1^{2/3}$$$V_1/V_0$ について解くと、
$$\left(\frac{V_1}{V_0}\right)^{2/3} = \frac{T_0}{T_1}$$ $$\frac{V_1}{V_0} = \left(\frac{T_0}{T_1}\right)^{3/2}$$設問(2) の結果 $\frac{T_1}{T_0} = 1 + \frac{2K_0}{3U_0}$ を代入すると、
$$\frac{V_1}{V_0} = \left(\frac{1}{1 + \dfrac{2K_0}{3U_0}}\right)^{3/2} = \left(1 + \frac{2K_0}{3U_0}\right)^{-3/2}$$具体的な数値例：$K_0 = 100\,\text{J}$、$U_0 = 3740\,\text{J}$ のとき、
$$\frac{T_1}{T_0} = 1 + \frac{200}{11220} = 1.0178$$ $$\frac{V_1}{V_0} = (1.0178)^{-3/2} = \frac{1}{1.0178^{1.5}}$$$\ln(1.0178) = 0.01762$ より $1.5 \times 0.01762 = 0.02643$、$e^{0.02643} \fallingdotseq 1.0268$ なので、
$$\frac{V_1}{V_0} \fallingdotseq \frac{1}{1.027} \fallingdotseq 0.974$$体積は約 $2.6\%$ 減少。$K_0/U_0$ が小さいので、わずかな圧縮にとどまる。
$TV^{\gamma-1} = \text{一定}$ の代わりに $PV^\gamma = \text{一定}$ と状態方程式を組み合わせることもできます。
状態方程式 $PV = nRT$ より $P = \frac{nRT}{V}$ を $PV^\gamma = \text{一定}$ に代入すると、
$$\frac{nRT}{V} \cdot V^\gamma = \text{一定}$$ $$nRT \cdot V^{\gamma-1} = \text{一定}$$$n, R$ は定数なので $TV^{\gamma-1} = \text{一定}$ を得ます。これは上の解法と同じ式です。
あるいは $PV^\gamma = P_0 V_0^\gamma$ と $P_1 V_1 = nRT_1$、$P_0 V_0 = nRT_0$ の3式を連立して、
$$P_1 = P_0\left(\frac{V_0}{V_1}\right)^\gamma, \quad P_1 = \frac{nRT_1}{V_1}$$から $P_0$ を消去すると同じ結果になります。
比熱比 $\gamma = C_p/C_v$ は気体の種類によって異なります。
| 気体の種類 | $C_v$ | $C_p$ | $\gamma$ |
|---|---|---|---|
| 単原子分子（He, Ar） | $\frac{3}{2}R$ | $\frac{5}{2}R$ | $\frac{5}{3} \fallingdotseq 1.67$ |
| 2原子分子（N₂, O₂） | $\frac{5}{2}R$ | $\frac{7}{2}R$ | $\frac{7}{5} = 1.40$ |
本問では「単原子分子」と明記されているので $\gamma = 5/3$ を使います。2原子分子なら $\gamma = 7/5$ となり、$V_1/V_0 = (T_0/T_1)^{5/2}$ となります。
ポアソンの法則には3つの等価な表現がある：$PV^\gamma = \text{一定}$、$TV^{\gamma-1} = \text{一定}$、$T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{一定}$。体積比を温度比から直接求めるには $TV^{\gamma-1} = \text{一定}$ が最も便利。指数 $-3/2$ は $\frac{1}{\gamma-1} = \frac{3}{2}$ の符号反転であることを確認しておこう。