レンズの公式（薄肉レンズの結像公式）：
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$ここで $a$ は物体距離（物体からレンズまで）、$b$ は像距離（レンズからスクリーンまで）、$f$ は焦点距離です。
本問では $a = D$、$f = d$ なので：
$$\frac{1}{D} + \frac{1}{b} = \frac{1}{d}$$$b$ について解くと：
$$\frac{1}{b} = \frac{1}{d} - \frac{1}{D} = \frac{D - d}{Dd}$$ $$b = \frac{Dd}{D - d} = \frac{d}{1 - d/D}$$$D \gg d$ のとき $d/D \fallingdotseq 0$ なので：
$$b \fallingdotseq \frac{d}{1 - 0} = d$$つまり、物体が十分遠い場合、像はレンズの焦点面（レンズから距離 $d$）に結びます。スクリーンを焦点距離の位置に置けば鮮明な像が得られます。
$a \to \infty$ の極限では $1/a \to 0$ なので、レンズの式は $1/b = 1/f$ すなわち $b = f$ となります。これはカメラのピント合わせの基本原理です。遠景を撮影するときは、撮像素子（フィルム/センサー）を焦点距離の位置に置きます。近距離の物体を撮影するとき（マクロ撮影）は $b > f$ にする必要があり、レンズを前に繰り出します。
$D \gg f$ のとき像距離 $b \fallingdotseq f$。これは「平行光線はレンズの焦点に集まる」という焦点の定義そのものに対応する。入試ではこの近似をスムーズに使えることが求められる。
像の倍率：レンズの横倍率は
$$m = \frac{b}{a} = \frac{b}{D}$$$D \gg d$ のとき $b \fallingdotseq d$ なので、像の高さ $h$ は：
$$h = H \cdot m = H \cdot \frac{d}{D} = \frac{Hd}{D}$$選択肢の (ア) と (イ) を判定します。
(ア) 像の高さ：
十分遠方の物体 A から発せられた光のうち、レンズ L₁ の中央を通る光は直進します。スクリーン S 上の像の高さは：
$$h = \frac{Hd}{D}$$(イ) 像を大きくするには：
$h = Hd/D$ より、$D$ は物体の距離で変えられないとすると、$d$（焦点距離）を長くすれば像は大きくなります。
遠くの物体を大きく写すには焦点距離の長いレンズが必要です。しかし焦点距離が長いとレンズからセンサーまでの距離（フランジバック）も長くなり、カメラ本体が巨大化します。これを解決するのが望遠レンズ（テレフォトレンズ）で、凸レンズ＋凹レンズの組み合わせにより、物理的な全長より長い実効焦点距離を実現します。Part II で詳しく扱います。
遠方物体の像の大きさは焦点距離に比例する（$h = Hf/D$）。これがカメラレンズの焦点距離を「画角」と結びつける基本関係。焦点距離50mmは「標準レンズ」、200mmは「望遠レンズ」と呼ばれる。
図 3-2 の構成：凸レンズ L₂（焦点距離 $5d$）と凹レンズ L₃ の間隔は $4d$。L₃ からスクリーン S までの距離は $3d$。全長は $5d$ です（通常、焦点距離 $5d$ のレンズ単体ではスクリーンまで $5d$ 必要）。
L₃ の焦点距離を求める：
光軸に平行で高さ $w$ の光線が L₂ に入射します。L₂（焦点距離 $5d$）を通過後、焦点 P₁ に向かいます。L₂ から P₁ までの距離は $5d$（焦点距離）ですが、L₂ と L₃ の間隔は $4d$ なので、P₁ は L₃ の右側 $5d - 4d = d$ の位置、つまり L₃ から右に $d$ の位置にあります。
しかし問題文を見ると、P₁ は L₂ の焦点で、光線は L₂ を通過後 P₁ に向かう途中で L₃ を通ります。L₃ の効果で光線は発散し、スクリーン S 上の P₂ に到達します。
L₃ を通過する前の光線は、L₂ の焦点 P₁ に向かっています。L₃ にとって、P₁ は虚像位置（L₃ の右側、つまり光が来る方向と同じ側）です。
L₃ に入射する光線の「物体位置」は P₁ で、L₃ から P₁ までの距離は $d$（右側）。凹レンズでは、光が向かう先にある点は虚物体なので $a = -d$（凹レンズの符号規約）。
L₃ からスクリーン（像）までの距離は $b$。L₃ の焦点距離を $f_3$（凹レンズなので $f_3 < 0$）とすると：
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f_3}$$ここで $a = -d$（虚物体、L₃の右側に P₁ がある）。像位置はスクリーン S で、L₃ の左側（実像側）に $3d$ なので $b = -3d$（実像が光源と同じ側にできる…）。
符号を整理します。光は右から左に進みます。
虚物体の場合 $a < 0$。レンズの公式で $a = -d$ とすると：
$$\frac{1}{-d} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f_3}$$スクリーンは L₃ の左側（光の進行方向）に $3d$：$b = 3d$（ただし問題の設定ではスクリーンに実像を結ぶので要確認）。
しかしここでは幾何学的に解くのが明快です。
幾何学的解法：
光軸に平行な高さ $w$ の光線が L₂ に入り、L₂ の焦点 P₁ に向かいます。L₂ と L₃ の距離は $4d$、L₂ から P₁ までは $5d$ なので、L₃ は P₁ の手前 $d$ にあります。
L₃ を通過する直前の光線の高さ：光線は L₂ で高さ $w$ から始まり、$5d$ 先の P₁（軸上）に向かうので、$4d$ 進んだ L₃ での高さは：
$$h_{L_3} = w \cdot \frac{5d - 4d}{5d} = \frac{w}{5}$$L₃ を通過後、光線はスクリーン S（L₃ から $3d$ 左）で光軸上の P₂ に到達すると仮定すると（光軸を通る光線は光軸に向かう）：
凹レンズ L₃ は、P₁ に向かう収束光を発散させて、スクリーン上のある位置 P₂ に向けます。
角度 $\alpha$：
P₁ での光線と光軸のなす角度は：
$$\tan\alpha = \frac{w}{5d}$$（高さ $w$ で入射した光が $5d$ の距離で軸に到達するので。ただし L₃ の屈折で実際には P₁ は通過しませんが、角度は L₂ の焦点距離から決まります。）
正確には、L₂ に入射する平行光線は屈折後、焦点 P₁ に向かいます。この光線が光軸となす角度は：
$$\tan\alpha = \frac{w}{5d}$$L₃ の焦点距離：
凹レンズの薄肉レンズの公式を適用します。L₃ に入射する光線は P₁（L₃ から距離 $d$）に収束しようとしています。これは L₃ にとって「虚物体」（$s_1 = -d$）です。L₃ を通過後、光線はスクリーン S（L₃ から距離 $3d$）に実像を結ぶので $s_2 = -3d$（凹レンズの向こう側）。
凹レンズの公式（光の進行方向を正、物体が光源側にない場合）：
$$\frac{1}{f_3} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{-3d} - \frac{1}{-d} = -\frac{1}{3d} + \frac{1}{d} = \frac{2}{3d}$$うーん、これだと凸レンズになってしまいます。符号を再検討します。
問題の図と設定を素直に読むと、L₃ は凹レンズです。$f_3 = -\frac{3d}{2}$（負の焦点距離）とすると辻褄が合います。
薄肉レンズの組み合わせの合成焦点距離は：
$$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_3} - \frac{t}{f_1 f_3}$$ここで $t = 4d$（レンズ間隔）、$f_1 = 5d$。合成系の背面焦点距離（レンズ L₃ からスクリーンまで）が $3d$ であることから $f_3$ を求めることもできます。
凹レンズは収束光を発散させる。収束光の「焦点」がレンズの向こう側にある場合、虚物体として扱う。凹レンズの焦点距離は負で、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ の $f < 0$ として使う。
L₂ + L₃ の組み合わせを、L₃ の位置に置いた単一凸レンズで置き換えることを考えます。
角度 $\alpha$ で光軸となす光線が P₁ を通過してスクリーン上の同じ点に到達するには、この等価レンズは高さ $w$ で入射した平行光を角度 $\alpha$ で屈折させる必要があります。
等価レンズの焦点距離を $f_{\text{eq}}$ とすると、平行光線が焦点に集まる条件：
$$\tan\alpha = \frac{w}{f_{\text{eq}}}$$I-(3)で求めた $\tan\alpha = \frac{w}{5d}$ を代入すると：
$$\frac{w}{f_{\text{eq}}} = \frac{w}{5d}$$…これだと $f_{\text{eq}} = 5d$ となり、L₂ と同じです。しかし、光線が L₃ の位置から始まることを考慮すると、L₃ に入射する時の光線高さは $w/5$ であることが重要です。
等価レンズは L₃ の位置に置かれ、高さ $w/5$ で入射する光線をスクリーン（距離 $3d$）上の光軸に集めます：
$$\tan\alpha' = \frac{w/5}{3d} = \frac{w}{15d}$$等価レンズの焦点距離 $f_{\text{eq}}$ は、光軸に平行な光線（高さ $w/5$）を焦点に集める距離なので：
$$f_{\text{eq}} = 3d \cdot \frac{w/5}{w/5} = 3d$$ただし、実際には等価レンズは遠方物体の光を P₁ と同じ効果で結像させるので、全体の合成焦点距離として：
$$\frac{1}{f_{\text{eq}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_3} - \frac{t}{f_1 f_3}$$$f_1 = 5d$, $f_3 = -3d/2$, $t = 4d$ として：
$$\frac{1}{f_{\text{eq}}} = \frac{1}{5d} - \frac{2}{3d} - \frac{4d}{5d \cdot (-3d/2)} = \frac{1}{5d} - \frac{2}{3d} + \frac{8}{15d}$$ $$= \frac{3}{15d} - \frac{10}{15d} + \frac{8}{15d} = \frac{1}{15d}$$ $$f_{\text{eq}} = 15d$$距離 $t$ だけ離れた2枚の薄肉レンズの合成焦点距離は：
$$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{t}{f_1 f_2}$$これは、各レンズの屈折を行列（レイトレース行列）で表して掛け合わせることで導出できます：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1/f_2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1/f_1 & 1 \end{pmatrix}$$この結果の (2,1) 成分が $-1/f$ を与えます。
望遠レンズの実効焦点距離 $f_{\text{eq}} = 15d$ は、レンズ系の物理的全長 $5d$ より大幅に長い。これが望遠レンズの核心：短い筒で長い焦点距離（= 大きな像）を実現する。
望遠レンズ（凸レンズ＋凹レンズの組み合わせ）の利点は以下の通りです：
1. 全長の短縮：
単一凸レンズで焦点距離 $15d$ を実現すると、レンズからスクリーン（撮像素子）までの距離は約 $15d$ 必要です。望遠レンズ構成では、凹レンズが収束光を発散させることで、同じ実効焦点距離を全長 $5d$（$= 15d/3$）で実現できます。
2. 像の大きさは同等：
遠方物体の像の高さは $h = H \cdot f_{\text{eq}} / D = H \cdot 15d / D$ であり、単一レンズと望遠レンズで同じ大きさの像が得られます。
実際のカメラ用望遠レンズは、より多くのレンズ群（10枚以上）で構成されますが、基本原理は同じです。前群の凸レンズで光を集め、後群の凹レンズ（テレコンバータ）で光路を発散させることで、物理的な全長より長い実効焦点距離を実現しています。これを「テレフォト比」（= 物理的全長 / 実効焦点距離）と呼び、望遠レンズでは 0.6〜0.8 程度です。本問では $5d/15d = 1/3 \fallingdotseq 0.33$ と非常に効率的な設計です。
望遠レンズの本質は「凹レンズによる発散効果で光路を折りたたむ」こと。実効焦点距離 $f_{\text{eq}}$ は凸レンズ単体の焦点距離 $f_1$ より長くなるが、全長は $f_1$ より短い。この「全長 < $f_{\text{eq}}$」がテレフォトレンズの定義条件。