地面に固定された 30° の斜面（水平から 30°）があり、その斜面上の点に質量 $m$ の球を高さ $2h$ から自由落下させて衝突させる（図1）。衝突後、球は斜面に対して対称な方向に跳ね返り（反発係数を考慮）、放物運動で地面に到達する。
設問(1) 衝突直前の速さ: 高さ $2h$ から自由落下なので、エネルギー保存則（$mg(2h) = \tfrac{1}{2}mV^2$）から：
$$\frac{1}{2}mV^2 = 2mgh \ \Rightarrow\ V^2 = 4gh \ \Rightarrow\ V = 2\sqrt{gh}$$設問(2) 速度分解: 斜面は水平から $30°$ 傾いているので、斜面の法線方向は鉛直から $30°$ 傾く。球の速度（鉛直下向き）を斜面の法線方向と斜面方向に分解：
| 成分 | 向き | 大きさ |
|---|---|---|
| 法線方向（斜面に垂直） | 斜面に押し込む向き | $V \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2} V$ |
| 接線方向（斜面に平行） | 斜面に沿って下る向き | $V \sin 30° = \dfrac{V}{2}$ |
具体的に：法線成分 $\tfrac{\sqrt{3}}{2} V = \sqrt{3}\sqrt{gh} = \sqrt{3gh}$、接線成分 $\tfrac{1}{2} V = \sqrt{gh}$。
斜面の法線方向に $\hat n$、斜面方向に $\hat s$ を取ると、鉛直下向き $-\hat y$ は
$$-\hat y = -\cos 30° \, \hat n + \sin 30° \, \hat s$$速度 $V(-\hat y) = -V\cos 30° \hat n + V\sin 30° \hat s$。法線成分（斜面への押し込み）$V\cos 30°$、接線成分（斜面下り）$V\sin 30°$ となり一致。
設問(3) 反発係数の定義: 斜面法線方向のみに作用する：
$$e = \frac{|v_\perp'|}{V \cos 30°}$$ここで $v_\perp'$ は衝突後の法線方向成分（向きは反転）。これが反発係数の定義。
設問(4) エネルギー変化の大きさ: 衝突後の速度成分は、法線 $e V\cos 30°$、接線 $V \sin 30°$。衝突後の運動エネルギー：
$$K' = \frac{1}{2}m\!\left[(eV\cos 30°)^2 + (V\sin 30°)^2\right]$$衝突前の運動エネルギー $K = \tfrac{1}{2}mV^2 = \tfrac{1}{2}mV^2(\cos^2 30° + \sin^2 30°)$。差を取ると：
$$\Delta E = K - K' = \frac{1}{2}mV^2 \cos^2 30° (1 - e^2)$$$\cos^2 30° = 3/4$ なので
$$\Delta E = \frac{3}{8} m V^2 (1 - e^2) = \frac{3}{8} m \cdot 4gh \cdot (1 - e^2) = \frac{3}{2} mgh (1 - e^2)$$設問(5) 跳ね返り角度 $\theta$: 衝突後の速度ベクトル（法線 $eV\cos 30°$、接線 $V \sin 30°$）が法線方向となす角度 $\theta$。$\tan\theta$ は接線成分÷法線成分：
$$\tan\theta = \frac{V \sin 30°}{e V \cos 30°} = \frac{\tan 30°}{e} = \frac{1}{e\sqrt{3}}$$衝突での散逸エネルギーは法線方向の運動エネルギーのみ。接線方向は摩擦なしなので保存。
$$\Delta E_\perp = \frac{1}{2}m (V\cos 30°)^2 (1 - e^2),\quad \Delta E_\parallel = 0$$$e = 1$ なら $\Delta E = 0$（完全弾性）、$e = 0$ なら法線成分が 0 で球は斜面上を滑るだけ（$\Delta E = \tfrac{3}{8}mV^2$ 失う）。
連立: (5) の結果 $\tan\theta = \dfrac{1}{e\sqrt{3}}$ に $\tan\theta = \sqrt{3}$ を代入：
$$\sqrt{3} = \frac{1}{e\sqrt{3}} \ \Rightarrow\ e\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \ \Rightarrow\ e = \frac{1}{3}$$$\tan\theta = \sqrt{3}$ より $\theta = 60°$。
$V = 2\sqrt{gh}$、$e = 1/3$ で衝突後の成分を計算：
速度の大きさ $v' = \sqrt{(\tfrac{1}{3}gh) + gh} = \sqrt{\tfrac{4gh}{3}} = \tfrac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{gh}$
設問(8) 最高点の高さ: 衝突後の速度ベクトルを水平成分 $v_x$、鉛直上向き成分 $v_y$ に分解する。斜面法線は水平から $60°$ 上向き（斜面が $30°$ なので法線は $30°$ 鉛直から傾く）。
衝突後の速度成分（斜面法線方向に $eV\cos 30°$、斜面接線方向に $V\sin 30°$）を水平・鉛直に戻す：
$$v_x = e V \cos 30° \sin 30° + V \sin 30° \cos 30°$$ $$v_y = e V \cos 30° \cos 30° - V \sin 30° \sin 30°$$整理：$v_x = V \sin 30° \cos 30° (1 + e) = \dfrac{\sqrt{3}}{4} V (1+e)$
$v_y = V (\cos^2 30° \cdot e - \sin^2 30°) = V(\tfrac{3e}{4} - \tfrac{1}{4}) = \dfrac{V}{4}(3e - 1)$
$e = 1/3$ のとき $v_y = \dfrac{V}{4}(1 - 1) = 0$——ちょうど水平飛行！
したがって衝突直後は水平投射となる。衝突地点の地面からの高さを $h_0 = h$（衝突点は地面から高さ $h$、$2h$ 落下したから）とすると、最高点はそのまま：
$$h_{\max} = h_0 = h$$（衝突直後の鉛直速度が 0 なので、最高点は衝突地点と同じ）。
設問(9)(10) 再衝突しない条件: 衝突後、球は水平方向 $v_x = \dfrac{\sqrt{3}}{4} V (1+e) = \dfrac{\sqrt{3}}{4} V \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} V$ で飛ぶ。鉛直初速 0 の水平投射。
水平投射では $y = h - \tfrac{1}{2}g t^2$、$x = v_x t$。地面到達 $t_f = \sqrt{2h/g}$。
地面到達地点（衝突地点を $x = 0$ として水平距離）：
$$x_f = v_x t_f = \frac{\sqrt{3}}{3} V \sqrt{\frac{2h}{g}}$$$V = 2\sqrt{gh}$ を代入：
$$x_f = \frac{2\sqrt{3}}{3} \sqrt{gh} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} h$$衝突地点から水平に $x_f$ だけ離れた地点に着地する。斜面の左端から衝突点までの水平距離を $d_0$、斜面の全体長に注意して、斜面に再衝突しないためには、放物線が斜面より上にある必要がある。
問題文の「V の 2 倍の速さで衝突」のケース: $V \to 2V$ なので $v_x \to 2v_x$、$x_f \to 2x_f$。斜面の全体長に応じて再衝突判定する。
一般に $v_y = \tfrac{V}{4}(3e - 1)$ なので $e > 1/3$ なら上向き（最高点は衝突地点より高くなる）、$e < 1/3$ なら下向き（すぐ落下）。$e = 1/3$ が境界。
最高点高さ $h_{\max} = h + v_y^2/(2g) = h + \tfrac{V^2}{32 g}(3e-1)^2$。$V^2 = 4gh$ なので $h_{\max} = h + \tfrac{h}{8}(3e-1)^2$。
公式集:
| 量 | 式 |
|---|---|
| 衝突直前の速さ | $V = \sqrt{4gh} = 2\sqrt{gh}$ |
| 法線成分（入射） | $V\cos\alpha$（$\alpha$ = 斜面傾角 = 30°） |
| 接線成分（入射・出射とも同じ） | $V\sin\alpha$ |
| 法線成分（出射） | $eV\cos\alpha$ |
| 跳ね返り角（法線から） | $\tan\theta = \dfrac{\tan\alpha}{e}$ |
| 水平成分（出射、地面座標） | $v_x = V\sin\alpha\cos\alpha(1+e)$ |
| 鉛直成分（出射、地面座標、上向き正） | $v_y = V(e\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)$ |
| エネルギー散逸量 | $\Delta E = \tfrac{1}{2}mV^2\cos^2\alpha(1-e^2)$ |
バスケのドリブル、テニスラケット、ビリヤードのキューなど、球が斜面・面に衝突して跳ね返る場面は物理の基本例。反発係数 $e$ は球と面の素材・状態で決まる（硬球なら 0.9、柔球なら 0.5 程度）。
プロスポーツの用具規定では、ゴルフボールのフェース反発係数に上限が設けられている（COR = 0.83 以下）。