曲率半径 $R$ の平凸ガラスレンズ（屈折率 $n_1$）を平面ガラス（屈折率 $n_1$）の上に置き、間に空気層（屈折率 1）を挟む標準配置（図1）。上方から単色光（波長 $\lambda$）を入射し、反射光で同心円状の干渉縞（ニュートンリング）を観察する。
さらに問2では、2 つの平凸レンズ（曲率半径 $R_1$、$R_2$）を凸面同士で点 $O$ で接触させた別配置（図3）でのニュートンリングを考察する。
球面の曲率中心 $O$ から球面上の点までの距離は $R$ 一定。$O$ から $r$ 水平・$R-d$ 垂直の点が接触点から距離 $r$ の位置にあるとき：
$$R^2 = r^2 + (R - d)^2 = r^2 + R^2 - 2Rd + d^2$$$d \ll R$ で $d^2$ を無視：
$$2Rd = r^2 \ \Rightarrow\ d = \frac{r^2}{2R}$$$r/R \lesssim 0.1$ 程度なら誤差 1% 以内。ニュートンリングの観察範囲（数 mm）では $R$ が 1 m 程度あるので十分に成立する。
問1(2) 光路差: レンズ底面（空気→ガラス）反射は位相反転なし、平面ガラス上面（空気→ガラス）反射は位相反転あり。実効的な光路差は
$$\Delta = 2d + \frac{\lambda}{2}$$問1(3) 明環の条件: $\Delta = k \lambda$ のとき強め合う：
$$2d + \frac{\lambda}{2} = k\lambda \ \Rightarrow\ 2d = \left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda$$問1(4) 明環の半径: $d = r_k^2/(2R)$ を代入：
$$\frac{r_k^2}{R} = \left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda$$ $$r_k = \sqrt{\left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda R}$$暗環は $\Delta = (k + 1/2)\lambda$、つまり $2d = k\lambda$。$k = 0$ で中心が暗環に入る。
暗環の半径：$r_k^{(dark)} = \sqrt{k\lambda R}$、$k = 0, 1, 2, \ldots$
光路差: 液体中の光路長は実際の距離の $n_2$ 倍なので
$$\Delta' = 2 n_2 d + \frac{\lambda}{2}$$（位相反転条件は空気の場合と同じ：$n_1 > n_2$ のレンズ→液体で位相反転、液体→平面ガラス($n_1$)では位相反転なし。合計 1 回の反転）。
明環条件:
$$2 n_2 d + \frac{\lambda}{2} = k\lambda \ \Rightarrow\ 2 n_2 d = \left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda$$$d = r_k'^2 / (2R)$ を代入：
$$\frac{n_2 r_k'^2}{R} = \left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda$$ $$r_k' = \sqrt{\frac{(k - 1/2)\lambda R}{n_2}} = \frac{1}{\sqrt{n_2}} \sqrt{(k - 1/2)\lambda R}$$空気の場合と比較すると半径が $1/\sqrt{n_2}$ 倍に縮む。
問題文の「$n_2 > n_1$」という条件を注意深く読む必要がある。この場合:
結局 1 回の反転で、空気の場合と同じ構造。したがって公式は上の通り。
ギャップ（空気層の厚さ）$d$: 2 つの球面それぞれの沈み込みの和：
$$d = d_1 + d_2 = \frac{r^2}{2R_1} + \frac{r^2}{2R_2} = \frac{r^2}{2} \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$$合成曲率を $1/R_{\rm eq} = 1/R_1 + 1/R_2$ と定義すると
$$d = \frac{r^2}{2 R_{\rm eq}},\quad \frac{1}{R_{\rm eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2},\quad R_{\rm eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$つまり 曲率半径 $R_{\rm eq}$ の単一レンズ＋平面ガラスの系と同じになる。
明環条件: 位相反転の考察は同じ（両レンズの屈折率が同じなら、上レンズ底面で位相反転なし、下レンズ上面で位相反転あり、片方だけ反転）：
$$2d = \left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda$$$d = r^2/(2 R_{\rm eq})$ を代入：
$$\frac{r_k^2}{R_{\rm eq}} = \left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda$$ $$r_k = \sqrt{\left(k - \frac{1}{2}\right) \lambda R_{\rm eq}} = \sqrt{\left(k - \frac{1}{2}\right) \lambda \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}}$$両方同じ曲率半径なら $R_{\rm eq} = R/2$。環の半径は単一レンズ＋平面ガラスの場合の $1/\sqrt{2}$ 倍。これは「平面を凸レンズに置き換えると、沈み込みが倍になる分、ギャップが倍、干渉環が内側に詰まる」と理解できる。
公式集:
| 配置 | $d$ | $r_k$ (k 番目 明環) |
|---|---|---|
| レンズ+平面ガラス（空気） | $\dfrac{r^2}{2R}$ | $\sqrt{(k-1/2)\lambda R}$ |
| レンズ+平面ガラス（液体 $n_2$） | $\dfrac{r^2}{2R}$ | $\sqrt{(k-1/2)\lambda R/n_2}$ |
| 2 レンズ（$R_1, R_2$） | $\dfrac{r^2}{2}\!\left(\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}\right)$ | $\sqrt{(k-1/2)\lambda \dfrac{R_1 R_2}{R_1+R_2}}$ |
カメラレンズ・眼鏡の表面には屈折率 1.38 程度の薄膜（MgF₂ など）が蒸着されている。厚さを $\lambda/4$ に調整すると、表面と裏面からの反射光がちょうど打ち消し合い、反射が大幅に減る。ニュートンリングと同じ原理の「意図的な消光」応用。
応用例と測定方法:
| 測定対象 | 方法 |
|---|---|
| レンズの曲率半径 $R$ | 既知波長 $\lambda$ の単色光を使い、$r_k = \sqrt{(k-1/2)\lambda R}$ から $R$ を求める |
| 光の波長 $\lambda$ | 既知曲率 $R$ のレンズを使って、同様に $\lambda$ を求める |
| 液体の屈折率 $n_2$ | 空気ケースと液体ケースの環半径の比 $r/r'$ を測定して $n_2 = (r/r')^2$ |
| レンズ面の品質検査 | 環が円形でないなら、レンズ面が球面からずれている（研磨誤差の可視化） |
波長の測定精度: 中心から $k = 10$ 程度までの環が見えれば、$r_k$ を測って $\lambda$ を 0.1% の精度で決められる。これは干渉の原理上、波長に対して半径が高感度だから（半波長違うだけで明暗が入れ替わる）。
実験での注意点:
典型値: $R = 1.0$ m、$\lambda = 550$ nm $= 5.5\times 10^{-7}$ m。
単レンズ＋平面ガラス（空気）:
$$r_k = \sqrt{(k - 1/2) \lambda R}$$液体（水、$n_2 = 1.33$）ケース:
$$r_k' = \frac{1}{\sqrt{n_2}} \sqrt{(k - 1/2)\lambda R} = \frac{r_k}{\sqrt{1.33}} = 0.867 \, r_k$$2 レンズ（$R_1 = 0.50$ m、$R_2 = 1.0$ m）:
$$R_{\rm eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{0.50 \times 1.0}{1.5} = 0.333\ {\rm m}$$ $$r_k = \sqrt{(k - 1/2) \lambda R_{\rm eq}} = r_k^{(R=1)} \times \sqrt{\frac{0.333}{1.0}}$$2 レンズ配置では、合成曲率半径が単レンズより小さくなるため、環も内側に詰まる。