音源が観測者と壁の間を速さ 20 m/s で壁に向かって運動する状況を考えます。音速は 340 m/s、音源の振動数は 440 Hz です（観測者は静止）。
壁は静止しているので \(v_o = 0\)。音源が速さ \(v_s\) で壁に近づくので、分母は \(V - v_s\) となります。
$$ f_w = \frac{V}{V - v_s} f_0 $$数値を代入します。
$$ f_w = \frac{340}{340 - 20} \times 440 = \frac{340}{320} \times 440 $$ $$ f_w = 1.0625 \times 440 = 467.5 \text{ Hz} $$ドップラー効果の公式 \(f' = \frac{V \pm v_o}{V \mp v_s} f_0\) で、「近づく → 振動数が上がる」と覚えておけば符号を間違えません。
音源が近づく → 分母が小さくなる → 全体が大きくなる → \(V - v_s\)。
観測者が近づく → 分子が大きくなる → 全体が大きくなる → \(V + v_o\)。
壁は「静止した観測者」として扱う。音源が壁に近づくとき \(f_w = \frac{V}{V - v_s}f_0 > f_0\) となり、壁に届く波の振動数は元の音より高くなる。
壁は静止した仮想音源（振動数 \(f_w\)）です。観測者も静止（\(v_o = 0\)）なので：
$$ f_{\text{ref}} = \frac{V}{V} \times f_w = f_w = \frac{V}{V - v_s} f_0 $$数値を代入します。
$$ f_{\text{ref}} = \frac{340}{340 - 20} \times 440 = \frac{340}{320} \times 440 = 467.5 \text{ Hz} $$音源が壁に向かって速さ \(v_s\) で進むとき、壁方向の波長は：
$$ \lambda' = \frac{V - v_s}{f_0} = \frac{340 - 20}{440} = \frac{320}{440} \fallingdotseq 0.7273 \text{ m} $$この波長の音が壁で反射し、そのまま観測者に届きます。反射によって波長は変わらないので：
$$ f_{\text{ref}} = \frac{V}{\lambda'} = \frac{340}{0.7273} = 467.5 \text{ Hz} $$壁での反射では振動数は変わらない。壁を「仮想的な静止音源（振動数 \(f_w\)）」と置き換えれば、反射問題は通常のドップラー効果に帰着する。壁も観測者も静止しているため \(f_{\text{ref}} = f_w\)。
音源は壁に向かう（＝観測者から遠ざかる）ので、分母は \(V + v_s\) となります。
$$ f_d = \frac{V}{V + v_s} f_0 $$数値を代入します。
$$ f_d = \frac{340}{340 + 20} \times 440 = \frac{340}{360} \times 440 $$ $$ f_d = 0.9444\ldots \times 440 \fallingdotseq 415.6 \text{ Hz} $$観測者方向（音源が遠ざかる側）の波長は：
$$ \lambda_d = \frac{V + v_s}{f_0} = \frac{340 + 20}{440} = \frac{360}{440} \fallingdotseq 0.8182 \text{ m} $$よって振動数は：
$$ f_d = \frac{V}{\lambda_d} = \frac{340}{0.8182} \fallingdotseq 415.6 \text{ Hz} $$元の波長 \(\lambda_0 = \frac{340}{440} \fallingdotseq 0.7727\) m より長くなっていることが確認できます。
同一音源でも、壁側（近づく）と観測者側（遠ざかる）で波長が異なる。近づく側は \(\lambda' = \frac{V - v_s}{f_0}\)、遠ざかる側は \(\lambda_d = \frac{V + v_s}{f_0}\)。観測者はこの2つの振動数を同時に受け取る。
観測者は直接音 \(f_d\) と反射音 \(f_{\text{ref}}\) を同時に聞きます。うなりの振動数は：
$$ f_{\text{beat}} = |f_{\text{ref}} - f_d| $$設問(1)(2)より \(f_{\text{ref}} = 467.5\) Hz、設問(3)より \(f_d \fallingdotseq 415.6\) Hz なので：
$$ f_{\text{beat}} = |467.5 - 415.6| = 51.9 \text{ Hz} $$分数で正確に計算すると：
$$ f_{\text{ref}} - f_d = \frac{V}{V - v_s}f_0 - \frac{V}{V + v_s}f_0 = Vf_0 \left(\frac{1}{V - v_s} - \frac{1}{V + v_s}\right) $$ $$ = Vf_0 \cdot \frac{(V + v_s) - (V - v_s)}{(V - v_s)(V + v_s)} = \frac{2Vv_s f_0}{V^2 - v_s^2} $$ $$ = \frac{2 \times 340 \times 20 \times 440}{340^2 - 20^2} = \frac{5{,}984{,}000}{115{,}200} \fallingdotseq 51.9 \text{ 回/s} $$\(v_s = 20\) m/s は音速 \(V = 340\) m/s に比べて小さいので、\(V^2 - v_s^2 \fallingdotseq V^2\) と近似できます：
$$ f_{\text{beat}} \fallingdotseq \frac{2Vv_s f_0}{V^2} = \frac{2v_s f_0}{V} = \frac{2 \times 20 \times 440}{340} \fallingdotseq 51.8 \text{ 回/s} $$誤差は 0.2% 程度で、近似としては十分な精度です。この近似式 \(f_{\text{beat}} \fallingdotseq \frac{2v_s}{V}f_0\) は、壁によるドップラー効果のうなり問題で頻出する便利な公式です。
うなりの合成波は次のように書けます：
$$ y = \sin(2\pi f_d t) + \sin(2\pi f_{\text{ref}} t) = 2\cos\!\left(\pi(f_{\text{ref}} - f_d)t\right)\sin\!\left(\pi(f_{\text{ref}} + f_d)t\right) $$振幅部分 \(2\cos(\pi \Delta f \cdot t)\) が周期的に 0 になるとき「音が消える」ように聞こえ、これが 1 秒あたり \(\Delta f = 51.9\) 回起こります。
うなりの周期は \(T_{\text{beat}} = \frac{1}{51.9} \fallingdotseq 0.0193\) s（約 19.3 ms）です。
壁に向かう音源のうなり公式 \(\displaystyle f_{\text{beat}} = \frac{2Vv_s}{V^2 - v_s^2}f_0\) は頻出パターン。\(v_s \ll V\) なら \(\fallingdotseq \frac{2v_s}{V}f_0\) と近似でき、暗算で見積もれる。スライダーで \(v_s\) を変化させ、うなりの速さとの関係を確認しよう。