なめらかな水平面上を糸でつながれて運動する2つの小球の問題です。 重心運動と相対運動を分けて考えることがポイントです。
$ F = ma $
$ v = v_0 + at $
$ K = \frac{1}{2}mv^2 $
重心の定義より、GはABを \(m_2 : m_1\) に内分する点です。 したがって、GからAまでの距離 \(r_1\) は、 $$ r_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2} L $$
系に外力がないため運動量保存則より、 $$ m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \vec{v_2} = -\frac{m_1}{m_2}\vec{v_1} $$
系に外力が働かないので、重心には合力ゼロ。よって等速直線運動。
内力（糸の張力）は運動量を変えない。\(m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = \vec{0}\) は「重心まわりの運動量の和がゼロ」を意味し、これが等速円運動（2球が常に反対方向に動く）の根拠。
図2の状態で \(\vec{v_A} = \vec{0}\), \(\vec{v_B} = (0, v_0)\) なので、 $$ \vec{v_G} = \frac{m_1 \cdot \vec{0} + m_2 (0, v_0)}{m_1+m_2} = \left( 0,\; \frac{m_2 v_0}{m_1+m_2} \right) $$
Bの回転半径 \(r_2 = \frac{m_1 L}{m_1+m_2}\)、相対速さ \(v_2 = \frac{m_1 v_0}{m_1+m_2}\) より、 $$ \omega = \frac{v_2}{r_2} = \frac{v_0}{L} $$
Aの向心力 ＝ 張力 \(T\) より、 $$ T = m_1 r_1 \omega^2 = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} \frac{v_0^2}{L} $$
$$ K_{\text{rel}} = \frac{1}{2}\omega^2 (m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2) = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} v_0^2 $$
\(\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\) は換算質量。2体問題では頻出の量で、向心力・運動エネルギーの式がシンプルになる。
手順：初期の \(\vec{GA}\) の偏角 \(\pi\) から反時計回りに回転して偏角 \(\frac{\pi}{4}\) に達するまでの回転角を求めます。
2回転（\(4\pi\)）の後、\(\pi \to 2\pi + \frac{\pi}{4}\) なので追加回転は \(\frac{5\pi}{4}\)。総回転角：
\(a = r_1\) として、Gの位置 \((a,\; a\omega t) = (a,\; \frac{21\pi}{4}a)\)、\(\vec{GA} = (a\cos\frac{\pi}{4},\; a\sin\frac{\pi}{4})\) より、
\(\vec{r_A} = \vec{r_G} + \vec{GA}\) のベクトル和。初期位相 \(\pi\) を忘れると回転角の計算が狂う。「図から読み取る → 初期位相を確認 → 回転数＋残りの角度」の3ステップで確実に。
エネルギー保存則 \(K_i + U_i = K_f + U_f\) を用いても同じ結果が得られる。運動方程式を積分する方法と比較すると、経路によらずスカラー量で扱える利点がある。