大問3：ピストンと液体・気体の熱力学

解法の全体像

断面積 \(S\) の円筒容器内に単原子分子理想気体 Gと、その上に液体が載った軽いピストンがある熱力学の問題です。 加熱→ピストン上昇→液体流出→加熱停止→手で押し戻す、という一連の過程で、圧力・体積・温度・仕事・熱量を整理します。

問題の設定（図1〜4の対応）

図1：ピストンは底から高さ \(H\) のストッパーに支えられて静止。気体 G の圧力 \(p_0\)、温度 \(T_0\)。ピストン上に深さ \(d\) の液体があり、液面には大気圧 \(p_0\) がかかる。容器底に加熱器あり。

図2：加熱により気体の圧力が \(p_1\) になるとピストンが上昇し始める。ピストンが \(h\) だけ上昇したとき、容器上端から液体が流出し始める。

図3：加熱を続け、ピストンがさらに \(d\) だけ上昇して液体がすべて流出した瞬間に加熱器のスイッチを切る。

図4：ピストンをストッパーの位置までゆっくり手で押し込む。容器・ピストンは断熱材なので、この過程は断熱変化。

(ア) ピストン上に注いだ液体の密度

直感的理解
ピストンが動き出す瞬間は、下からの気体の圧力が上からの大気圧と液柱の重さの圧力の合計とちょうどつりあったときです。液柱の圧力は「密度 × 重力加速度 × 深さ」で求められます。

ピストンが動き始めるのは、気体の圧力が「大気圧 \(+\) 液柱の圧力」とつりあったときである。液柱の高さは \(d\)、密度を \(\rho\) とすると、液柱による圧力は \(\rho g d\)。よって \[ p_1 = p_0 + \rho g d \quad \Rightarrow \quad \rho = \frac{p_1 - p_0}{g d} \]

答え：(ア)
\[ \frac{p_1 - p_0}{g d} \]

数値例：\(n = 1.0\) mol の理想気体を温度 \(T = 300\) K、圧力 \(p = 1.0 \times 10^5\) Pa で体積は

\(V = \dfrac{nRT}{p} = \dfrac{1.0 \times 8.3 \times 300}{1.0 \times 10^5} = 0.0249\) m³ ≒ 24.9 L

定積モル比熱 \(C_V = \dfrac{3}{2}R = \dfrac{3}{2} \times 8.3 = 12.5\) J/(mol·K)

具体的な計算：例えば n = 1.0 mol、T = 300 K、p = 1.0 × 10⁵ Pa のとき、V = nRT/p = 1.0 × 8.3 × 300 / (1.0 × 10⁵) = 0.0249 m³ ≒ 24.9 L である。定積モル比熱は Cv = 1.5 × 8.3 = 12.5 J/(mol·K) となる。

Point

ピストンの力のつりあいでは、ピストンが「軽い」（質量無視）ことに注意します。つりあい式は気体圧力 = 大気圧 + 液柱圧力のみとなり、ピストン自身の重さは含まれません。

基本公式の確認

$$ pV = nRT $$

$$ \Delta U = nC_V \Delta T $$

$$ Q = \Delta U + W $$

(イ) 液体が流出し始める直前の気体の温度

直感的理解
加熱は2段階で進みます。まずピストンが動けないので定積変化（圧力上昇のみ）、次にピストンが動き出してからは液柱の高さが変わらないので定圧変化（体積膨張）です。温度は各段階でシャルルの法則・ボイル=シャルルの法則で追跡できます。

ストッパーで止まっている間は体積 \(V_0 = SH\) 一定。加熱で圧力が \(p_0 \to p_1\) になるまで定積。このときの温度を \(T_1\) とすると \(T_1/T_0 = p_1/p_0\) より \(T_1 = T_0 p_1/p_0\)。

その後、ピストンが \(h\) だけ上昇する間は、気体の圧力は \(p_1\) のまま（液面が大気に接したままなので液柱の高さ \(d\) 一定）。つまり定圧 \(p_1\)で体積が \(SH \to S(H+h)\)。流出直前の体積を \(V = S(H+h)\)、温度を \(T\) とすると、 \[ \frac{T}{T_1} = \frac{V}{V_0} = \frac{H+h}{H} \quad \Rightarrow \quad T = T_1 \cdot \frac{H+h}{H} = \frac{T_0 p_1}{p_0} \cdot \frac{H+h}{H} \]

答え：(イ)
\[ \frac{T_0 p_1 (H+h)}{p_0 H} \]
Point

定積→定圧の2段階変化では、各段階ごとに状態方程式を適用します。定積では \(p/T = \text{一定}\)、定圧では \(V/T = \text{一定}\) を使い、段階的に温度を追跡することが大切です。

(ウ) 液体が流出し始める直前までに G がした仕事

直感的理解
定圧膨張では圧力が一定なので、仕事は単純に「圧力 × 体積変化」で求められます。p-Vグラフ上では長方形の面積に相当します。

ピストンが \(h\) 上昇する間は圧力 \(p_1\) 一定の等圧過程。気体がした仕事は \[ W = p_1 \cdot \Delta V = p_1 \cdot S h \]

答え：(ウ)
\[ p_1 S h \]
Point

等圧過程の仕事 \(W = p\Delta V\) は最も基本的な形です。p-Vグラフの面積が仕事に対応するという考え方は、等圧以外の過程にも一般化できる重要な視点です。

p-V グラフ（解答図 III-A）の概形

直感的理解
p-Vグラフは「縦→横→右下がり」の3区間に分かれます。液体が流出する③の区間では、液柱の高さが線形に減るため圧力もVに対して線形に減少し、直線になります。グラフの下の面積が気体のした仕事の総量です。

したがって、グラフの概形は「縦線分 → 水平線分 → 右下がりの直線」を一筆でつないだ形である。

Point

p-Vグラフの概形を正しく描くには、各過程で「何が一定か」を見極めることが重要です。定積なら縦線、定圧なら横線、圧力が体積に対して線形変化なら直線として描きます。

(エ) 液体が流出し始めてから全て流出し終わるまでに G がした仕事

直感的理解
圧力が線形に変化する過程の仕事は、p-Vグラフで台形の面積になります。これは「平均圧力 × 体積変化」と同じで、積分 \(\int p\,dV\) を直接計算した結果とも一致します。

p-V グラフにおいて、気体がした仕事 \(W\) は、その過程の曲線と V 軸で囲まれた面積に等しい（\(W = \int p\,\mathrm{d}V\)）。液体流出中の過程（③）は、\(V = S(H+h)\) から \(S(H+h+d)\) まで、\(p\) が \(p_1\) から \(p_0\) まで直線的に減少するので、グラフ上では右上 \((S(H+h),\,p_1)\) と左下 \((S(H+h+d),\,p_0)\) を結ぶ直線である。

この直線と V 軸で囲まれた図形は台形になる（上記 p-V 図の青い部分）。台形の「上底」は \(p_1\)、「下底」は \(p_0\)、「高さ」は体積の変化量 \(S(H+h+d) - S(H+h) = Sd\) である。よって面積は \[ W = \frac{(\text{上底}) + (\text{下底})}{2} \times (\text{高さ}) = \frac{p_1 + p_0}{2} \times Sd \]

答え：(エ)
\[ \frac{(p_1 + p_0) S d}{2} \]
補足：積分による導出

ピストン上昇量 \(x\)（\(0 \leq x \leq d\)）に対して \(p = p_1 - \frac{p_1-p_0}{d}x\)、\(\mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x\) なので \(W = \int_0^d p\,S\,\mathrm{d}x = S\int_0^d \bigl( p_1 - \frac{p_1-p_0}{d}x \bigr)\,\mathrm{d}x = \frac{(p_1+p_0)Sd}{2}\) となり、台形の面積と一致する。

Point

圧力が体積に対して線形に変化する場合、仕事は台形（または三角形）の面積で求められます。「平均圧力 × 体積変化」という公式は、積分計算の代わりに使える便利な方法です。

(オ) 加熱器のスイッチを入れてから切るまでの内部エネルギー増加

直感的理解
単原子分子理想気体では内部エネルギーは \(U = \frac{3}{2}pV\) と書けます。スイッチを切った直後は液体が全て流出しており圧力が \(p_0\) に戻っているため、初期と最終の \(pV\) の差から直接内部エネルギー変化が計算できます。

単原子分子理想気体では \(U = \frac{3}{2} n R T = \frac{3}{2} p V\)（\(pV = nRT\) より）。初期は \(p_0,\, V_0 = SH\)、スイッチを切った直後は液体がすべて流出しているので気体の圧力は \(p_0\)、体積は \(V = S(H+h+d)\)。

したがって \[ \Delta U = \frac{3}{2} p_0 \cdot S(H+h+d) - \frac{3}{2} p_0 \cdot S H = \frac{3}{2} p_0 S (h + d) \]

答え：(オ)
\[ \frac{3}{2} p_0 S (h + d) \]
Point

内部エネルギーの変化は途中の過程によらず、初期状態と最終状態だけで決まります（状態量）。\(U = \frac{3}{2}pV\) を使えば、温度を求めなくても \(pV\) の値から直接計算できます。

(カ) 加熱器が G に与えた熱量

直感的理解
熱力学第一法則は「加えた熱 = 内部エネルギー増加 + 外にした仕事」というエネルギー保存則です。ここでは既に求めた ΔU と W の合計を足し上げるだけです。
Q（熱量）
加熱器から
=
ΔU（内部エネルギー）
温度上昇分
+
W（仕事）
ピストンを押す
Gas G
Q = ΔU + W

第一法則 \(Q = \Delta U + W\) を用いる。\(W\) は気体がした仕事の合計で、(ウ) \(+\) (エ) である。 \[ W_{\text{全}} = p_1 S h + \frac{(p_1 + p_0) S d}{2} \] だから \[ Q = \Delta U + W_{\text{全}} = \frac{3}{2} p_0 S (h + d) + p_1 S h + \frac{(p_1 + p_0) S d}{2} \]

答え：(カ)
\[ \frac{3}{2} p_0 S (h + d) + p_1 S h + \frac{(p_1 + p_0) S d}{2} \]
Point

熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W\) では、途中で過程が変わっても全体を通じた ΔU と W の合計が使えます。W は各過程の仕事を足し合わせ、ΔU は状態量なので初期と最終の差だけで計算します。

(キ) ピストンをストッパーまで押し込んだ後の気体の温度

直感的理解
断熱圧縮では外からした仕事がすべて内部エネルギーの増加（温度上昇）に使われます。体積比の 5/3 乗で温度が上がるのは、単原子分子理想気体の比熱比 γ = 5/3 に由来します。

スイッチを切った直後：\(p = p_0\)、\(V = S(H+h+d)\)、温度は \(T_0 \cdot \frac{H+h+d}{H}\)（\(pV/T\) が一定より）。

その後、ピストンをゆっくりストッパーまで押し込む。容器は断熱材なので断熱過程。単原子分子理想気体の断熱変化では \(p V^{5/3} = \text{一定}\) を用いる。

押し込む前：\(p_1 = p_0\)、\(V_1 = S(H+h+d)\)。
押し込んだ後：\(V_2 = SH\)。\(p_2\) は \(p_2 V_2^{5/3} = p_1 V_1^{5/3}\) より \[ p_2 = p_0 \left( \frac{H+h+d}{H} \right)^{5/3} \] 状態方程式 \(pV = nRT\) と断熱の関係から、温度比は \[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{p_1 V_1} = \left( \frac{H+h+d}{H} \right)^{5/3} \cdot \frac{H}{H+h+d} = \left( \frac{H+h+d}{H} \right)^{2/3} \] 押し込む前の温度 \(T_1 = T_0 \frac{H+h+d}{H}\) なので、 \[ T_2 = T_0 \cdot \frac{H+h+d}{H} \cdot \left( \frac{H+h+d}{H} \right)^{2/3} = T_0 \left( \frac{H+h+d}{H} \right)^{5/3} \]

答え：(キ)
\[ T_0 \left( \frac{H+h+d}{H} \right)^{5/3} \]
Point

断熱過程では \(pV^\gamma = \text{一定}\) と \(TV^{\gamma-1} = \text{一定}\) の2つの関係式が使えます。単原子分子では \(\gamma = 5/3\) です。最終温度を求めるには、\(pV = nRT\) と組み合わせて温度比を体積比のべき乗で表すのが定石です。