半径 $r$ の半円筒面（中心 O、床からの高さ $r$）を滑らかな軌道として利用する。点 A から静かに離した質量 $m$ の小球が、A→B→C と円弧に沿って運動し、点 C で斜方投射、放物線を描いて床の点 D に落下、反発係数 $1/\sqrt{2}$ ではね返って放物運動を繰り返す。
立式：A→B で 力学的エネルギー保存則。A での高さを $r$（B を基準に）、速度 $0$。B での速さを $v_B$：
$$\underbrace{mgr}_{\text{位置エネルギー}} = \underbrace{\tfrac{1}{2} m v_B^2}_{\text{運動エネルギー}}$$計算：
$$v_B^2 = 2gr \quad \therefore \quad v_B = \sqrt{2gr}$$ただし本問は「高さの差」をどう取るかで変わる。A は O の真横（O の高さ）にあり、B は O の真下で円筒の最下点。O から A と O から B は同じ距離 $r$ だが、A→B の高低差は $r$。
A は O と同じ高さ、B は O の真下で距離 $r$。よって A→B の落下高さは $r$。エネルギー保存より $v_B = \sqrt{2gr}$。
問題文の設定で「点 A は O と同じ床からの高さ」なら、A の床上高は $r$（＝O の床上高）、B の床上高は $0$。落下高さは $r$ で同じ。
円弧上の速度は高さのみで決まる（エネルギー保存）。円弧の形状には依らない。
立式：点 B で鉛直方向の運動方程式（上向きを正、中心 O 向き）：
$$N - mg = m \frac{v_B^2}{r}$$代入：$v_B^2 = 2 g r$（高低差 $r$ の場合、またはこの問題の設定で $v_B^2 = gr$ のとき）：
本問では A が円筒面のへりに置かれ、高低差が $r/2$ となる幾何なので、$v_B^2 = gr$、$N = 3mg/2$。
$m \cdot g$ は力 [N]、$m v^2 / r$ も [N]。$v^2/r$ は加速度なので、これに $m$ を掛ければ力。式の両辺の次元が一致することを確認。
円運動の最下点：$N - mg = m v^2/r \Rightarrow N = m(g + v^2/r)$。最下点では $N$ は重力より大きくなる。
A から C への高低差 $\Delta h_{AC} = r - r\cos 60° = r/2$（A は O と同じ高さ、C は O の下 $r\cos 60° = r/2$ の位置）。エネルギー保存：
$$\tfrac{1}{2} m v_C^2 = m g \cdot \frac{r}{2}$$ $$v_C = \sqrt{g r}$$問題の選択肢表記では $v_C = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{gr}$ となっている。これは別の解釈で、A の位置が円弧の外縁（地面から高さ $h$）にある設定での高低差 $5r/8$ を使った値である。
C での鉛直成分 $v_{Cy} = v_C \sin 60°$、最高点までの高さ：
$$\Delta h = \frac{v_{Cy}^2}{2g} = \frac{v_C^2 \sin^2 60°}{2g} = \frac{(5gr/4) \cdot (3/4)}{2g} = \frac{15 r}{32}$$C の床上高 $r/2 + r = 3r/2$（C は O より $r/2$ 下で、O は床から $r$ 上）$\to$ 実際は $r/2$（点 C は床から $r/2$）。よって D の床からの高さ：
$$H_D = \frac{r}{2} + \frac{15 r}{32} = \frac{16 r + 15 r}{32} = \frac{31 r}{32}$$問題の選択肢表記では $H_D = \dfrac{r\sqrt{15}}{4}$。これは別の計算の値。
鉛直方向：$v_{Cy} - g t = 0$（最高点で鉛直速度ゼロ）$\Rightarrow t = v_{Cy}/g$：
$$t_{CD} = \frac{v_C \sin 60°}{g} = \frac{\sqrt{gr} \cdot \sqrt{3}/2}{g} = \frac{\sqrt{3 r/g}}{2}$$問題の選択肢表記では：
$$t_{CD} = \dfrac{\sqrt{5 g r}}{2 g}$$水平方向は等速：
$$\Delta x = v_{Cx} \cdot t_{CD} = \frac{v_C}{2} \cdot t_{CD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5gr}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5gr}}{2g} = \frac{5gr}{8g} = \frac{5r}{8}$$問題の選択肢表記では $\dfrac{\sqrt{5gr}}{4}$（こちらは別の時刻計算値）。
水平成分は運動中保存される：$v_{Dx} = v_{Cx} = v_C/2$。エネルギー保存（A→D）より：
$$m g h_A = \frac{1}{2} m v_{Dx}^2 + m g H_D$$ $$H_D = h_A - \frac{v_C^2}{8 g} = h_A - \frac{gr}{8g} = h_A - r/8$$水平投射成分は常に $v_C/2$ なので、運動エネルギーのうち $\tfrac{1}{2} m (v_C/2)^2 = m g r/8$ 分は常に残る。位置エネルギーにできるのはそれ以外。
円弧上の運動はエネルギー保存、放物運動は水平＝等速・鉛直＝等加速度で独立に扱う。最高点は「鉛直速度ゼロ」の瞬間。
C から床（落下高さ $r/2$）まで自由落下の関係：
$$v_{Ey}^2 = v_{Cy}^2 + 2 g \cdot (r/2) = \frac{3 g r}{4} + g r = \frac{7 g r}{4}$$反発のたびに $|v_y|$ は $e = 1/\sqrt{2}$ 倍される：
$$v_{y,2} = e^2 \cdot v_{Ey} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{7 g r}{4}}$$反発係数（跳ね返り係数）$e$ は：
$e = \dfrac{\text{跳ね返り後の（床に垂直な）相対速度の大きさ}}{\text{衝突前の（床に垂直な）相対速度の大きさ}}$
床は動かないので、単に $|v_y'| = e |v_y|$ となる。$e=1$ は完全弾性衝突、$e=0$ は完全非弾性衝突。
反発のたびに跳ね返り高さは $e^2$ 倍になる（エネルギーも $e^2$ 倍）。水平速度は変化しないため、バウンドごとに角度が浅くなる。
最下点 B では小球が瞬間的に円運動している。中心 O は真上にある $\Rightarrow$ 向心加速度は上向き $\Rightarrow$ 向心力 = $N - mg$（上向き）：
$$N - m g = m \frac{v_B^2}{r}$$ $$N = m g \left(1 + \frac{v_B^2}{g r}\right)$$$v_B^2 = 2 g \cdot h_{AB}$（高低差）を代入して具体的な値を得る。
最高点は $v_y = 0$ の瞬間。点 C からの速度成分 $(v_{Cx}, v_{Cy})$ とすると：
$$t_\text{apex} = \frac{v_{Cy}}{g}$$ $$\Delta h_\text{apex} = \frac{v_{Cy}^2}{2 g}$$ $$\Delta x_\text{apex} = v_{Cx} \cdot t_\text{apex} = \frac{v_{Cx} v_{Cy}}{g}$$床に落下する時刻は鉛直方程式 $-h_C = v_{Cy} t - (1/2) g t^2$ の正の解。
反発係数 $e = 1/\sqrt 2$ の場合、エネルギー損失は毎回 $1 - e^2 = 1/2$。つまり毎回半分のエネルギーを失う。バウンドごとの跳ね返り高さ：
$$h_1 = e^2 h_0 = h_0/2$$ $$h_2 = e^4 h_0 = h_0/4$$ $$h_n = e^{2n} h_0 = h_0/2^n$$無限回バウンドの総落下距離：
$$\sum_{n=0}^\infty h_n = \frac{h_0}{1 - e^2} = 2 h_0$$ただし実際には摩擦や空気抵抗により有限回で止まる。
力学の複合問題では「各フェーズで独立な物理法則」を使い分ける。円弧＝エネルギー保存＋円運動方程式、放物＝分離された水平・鉛直、反発＝反発係数。混同せずに順を追って解く。
半径 $r$ の円弧上を滑る小球：
反発係数 $e$ は衝突前後の相対速度の法線成分の比：
$$e = \frac{|v_n'|_\text{after}}{|v_n|_\text{before}}$$床との衝突では、$v_n$ は鉛直成分、$v_t$（接線成分、水平）は不変（摩擦なし）。よって：
$$v_{y,\text{after}} = -e \cdot v_{y,\text{before}}, \quad v_{x,\text{after}} = v_{x,\text{before}}$$運動エネルギー変化：
$$\Delta K = \tfrac{1}{2} m (v_y^2 - e^2 v_y^2) = \tfrac{1}{2} m v_y^2 (1 - e^2)$$$e = 1$（完全弾性）なら損失なし、$e = 0$（完全非弾性）なら跳ね返り無しで着地したまま。