解法の指針

天井に吊られた断面積 $S$ のシリンダー内に、ばね（ばね定数 $k$、自然長で ピストン位置 $H$）付きピストンがあり、下部に理想気体が $n$ モル閉じ込められている。底面に加熱・冷却装置あり、外部は大気圧 $p_0$。ピストンの変位・気体の圧力・温度・熱・仕事・内部エネルギーを追う熱力学総合問題。

つかむべき物理

• ピストンの力のつり合い：$p S = p_0 S + m g + F_\text{spring}$（ばねの力は変位で変わる）
• 定圧変化の仕事：$W = p \cdot \Delta V$；定積変化では $W = 0$
• 熱力学第一法則：$Q = \Delta U + W$
• 理想気体の内部エネルギー：単原子 $U = \tfrac{3}{2} n R T$
• ばねの弾性エネルギー：$U_\text{spring} = \tfrac{1}{2} k y^2$

空欄①：初期状態でのピストンの力のつり合い

立式：初期状態でばねが自然長 $\Rightarrow$ ばねの力ゼロ。ピストン（質量 $m$、断面積 $S$）の鉛直方向の力のつり合い（上向きを正、気体がピストンを上に押す構成）：

$$p_0 \cdot S - \text{(外気圧による下向きの力)} - m g = 0$$

外側（上側）からの大気の押す力は $p_\text{atm} \cdot S$。問題文での「外気圧」との比較を考えると、初期の気体圧力は：

$$p_0 = p_\text{atm} + \frac{m g}{S}$$

本問の設定では「$p_0 = $ 大気圧」と定義されているため、ピストンの重さを考慮した気体の実際の圧力は大気圧 + $mg/S$。答えとして問われている「初期の気体圧力」はこの表式。

空欄②③④：加熱でピストンが $y_1$ 上昇。気体のした仕事 $W$、吸収した熱 $Q$、内部エネルギー変化 $\Delta U$

(i) ばねを縮めるのに必要な仕事

ばねの自然長から $y_1$ だけ縮めるのに要するエネルギー（ばねに蓄えられる弾性エネルギー）：

$$U_\text{spring} = \frac{1}{2} k y_1^2$$

(ii) 加熱過程で気体のした仕事 $W$

ピストンにかかる力は深さ方向で変化（ばねの力が距離に比例）。ピストンを $y$ だけ上昇させたときの気体の圧力：

$$p(y) = p_0 + \frac{m g}{S} + \frac{k y}{S}$$

気体がピストンを $dy$ だけ押したときの仕事 $dW = p(y) \cdot S \cdot dy$。$0 \to y_1$ で積分：

$$W = \int_0^{y_1} \left( p_0 + \frac{m g}{S} + \frac{k y}{S}\right) S \, dy = \left(p_0 S + m g\right) y_1 + \tfrac{1}{2} k y_1^2$$

(iii) 内部エネルギー変化 $\Delta U$（単原子理想気体とする）

$$\Delta U = \tfrac{3}{2} n R (T_1 - T_0)$$

(iv) 吸収した熱量 $Q$

熱力学第一法則 $Q = \Delta U + W$：

$$Q = \tfrac{3}{2} n R (T_1 - T_0) + (p_0 S + m g) y_1 + \tfrac{1}{2} k y_1^2$$

補足：$p$-$V$ 図での仕事

$p$-$V$ 図上では、ばね付きの場合は直線的に $p$ が変化し、$W$ は台形の面積として読める：
$p_0, p_1 = p_0 + k y_1/S$ の間で線形変化、$\Delta V = S y_1$：

$$W = \frac{p_0 + p_1}{2} \cdot \Delta V = \left(p_0 + \frac{k y_1}{2 S}\right) S y_1 = p_0 S y_1 + \tfrac{1}{2} k y_1^2$$

これは上の積分結果と一致。

空欄⑤⑥⑦：液体流入後の状態

⑤ 状態2 での気体の圧力 $p_1$

液体流入後、ピストンがばねを縮めた状態で静止しているとする（変位 $y_2$）。ピストンにかかる力のつり合い：

$$p_1 S = p_0 S + m g + k y_2$$ $$p_1 = p_0 + \frac{m g}{S} + \frac{k y_2}{S}$$

⑥ ピストンをゆっくり $dp$ 変位させるのに気体がする仕事

この過程は状態1（ピストン位置 $y_1$）から状態2（位置 $y_2$）への準静的変化。ばね力は $ky$ で線形、気体圧 $p(y)$ も線形：

$$W_{1\to 2} = \int_{y_1}^{y_2} p(y) \cdot S \, dy = (p_0 S + m g)(y_2 - y_1) + \tfrac{1}{2} k (y_2^2 - y_1^2)$$

⑦ 最終状態でのピストン位置 $y$

$y_2$ は力のつり合いと液体の質量 $M$ から決まる。液体の圧力寄与を無視する近似では、液体重量 $M g$ だけ下向きに追加される：

$$p_1 S = p_0 S + m g + M g + k y_2$$ $$y_2 = \frac{(p_1 - p_0) S - (m + M) g}{k}$$

補足：液体流入の熱力学的扱い

液体は非圧縮性と仮定すれば体積一定、ピストン位置の変化 $\Delta y = y_2 - y_1$ がそのまま気体の体積変化 $\Delta V = S \Delta y$。液体の温度変化は無視（または液体も同じ温度）。

気体のした仕事 $W$ はピストンの変位で書ける：$W = \int p \, dV$。ばね付きの系では $p(V)$ が直線なので、$p$-$V$ 図上の台形面積。

全体のまとめ：熱力学の基本4過程

過程別の性質

単原子理想気体（$C_V = \tfrac{3}{2}R$, $C_p = \tfrac{5}{2}R$, $\gamma = 5/3$）：

$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{過程} & W & Q & \Delta U \\ \hline \text{定積} & 0 & \tfrac{3}{2}nR\Delta T & \tfrac{3}{2}nR\Delta T \\ \hline \text{定圧} & p\Delta V & \tfrac{5}{2}nR\Delta T & \tfrac{3}{2}nR\Delta T \\ \hline \text{等温} & nRT\ln(V_2/V_1) & W & 0 \\ \hline \text{断熱} & -\Delta U & 0 & \tfrac{3}{2}nR\Delta T \\ \hline \text{ばね付き} & p_\text{avg}\Delta V + \tfrac{1}{2}k\Delta y^2 & \Delta U + W & \tfrac{3}{2}nR\Delta T \\ \hline \end{array}$$

ばね付きピストン系のエネルギー保存

3 つのエネルギー貯蔵庫（気体の内部エネ、ばねの弾性エネ、外部環境）の間で変換：

$$Q_\text{入力} = \Delta U_\text{気体} + \Delta U_\text{ばね} + W_\text{外部}$$

ここで $W_\text{外部}$ は気体が大気圧に対してした仕事、$\Delta U_\text{ばね} = \tfrac{1}{2} k y_1^2 - 0 = \tfrac{1}{2} k y_1^2$（自然長基準）。

$p$-$V$ 図での仕事の読み方

ばね付きピストンでは、圧力がピストン位置（＝体積）の1次関数となる：

$$p(V) = p_0 + \frac{m g + k (V - V_0)/S}{S}$$

この直線は $(V_0, p_0 + mg/S)$ を通り、傾き $k/S^2$。$p$-$V$ 図上で変化前後の2点を結ぶ直線の下側の台形面積が、気体のした仕事 $W$。

気体の仕事・外部への仕事・ばねへの仕事

気体がした仕事 $W_\text{gas}$ の内訳：

1. 大気圧への仕事：$p_\text{atm} \cdot S \cdot y_1 = p_\text{atm} \Delta V$（大気を押し出す）
2. ピストンの重力ポテンシャル増加：$m g y_1$
3. ばねの弾性ポテンシャル：$\tfrac{1}{2} k y_1^2$

合計：$W_\text{gas} = (p_\text{atm} S + m g) y_1 + \tfrac{1}{2} k y_1^2$。

比熱 $C_p$ の補正（ばね付き）

通常の定圧過程では $C_p = \tfrac{5}{2} R$（単原子）だが、ばね付きでは「実効的な定圧」がないため、直接 $C_p$ は使えない。熱量は第一法則で計算する：

$$Q = \Delta U + W_\text{gas} = \tfrac{3}{2} n R \Delta T + (p_\text{atm} S + m g) y_1 + \tfrac{1}{2} k y_1^2$$

補足：状態方程式で $y_1$ と $\Delta T$ を関連付ける

初期状態 $p_0, V_0 = S H, T_0$、終状態 $p_1 = p_0 + k y_1/S, V_1 = S(H + y_1), T_1$。状態方程式：

$$\frac{p_0 V_0}{T_0} = \frac{p_1 V_1}{T_1}$$ $$T_1 = T_0 \cdot \frac{p_1 V_1}{p_0 V_0} = T_0 \cdot \frac{(p_0 + k y_1/S)(H + y_1)}{p_0 H}$$

展開すると：

$$T_1 - T_0 = T_0 \left(\frac{y_1}{H} + \frac{k y_1 (H + y_1)}{p_0 S H}\right)$$

$y_1$ が $H$ に比べて小さいなら近似 $\Delta T \approx T_0 (y_1/H + k y_1/(p_0 S))$。

ばね・気体の連成振動

もしヒーターを止めた後、ピストンが外力なしで自由振動するなら、気体の弾性とばねの弾性で連成振動する。気体の「有効ばね定数」$k_\text{gas}$ は等温変化なら $p_0 S^2 / V_0$、断熱変化なら $\gamma p_0 S^2 / V_0$（音速の公式の由来）。

全体の角振動数：

$$\omega = \sqrt{\frac{k + k_\text{gas}}{m}}$$

気体のばね定数はピストンを押し戻す力の変化率。圧縮すると圧力上昇で押し戻されるため、ばねと同様に作用する。

圧力勾配と静水圧

液体を入れた容器では、深さによる圧力勾配（静水圧）も考慮する必要がある。深さ $h$ での追加圧力：

$$p_\text{liquid}(h) = \rho g h$$

本問で液体が流入した場合、液体柱の高さ分だけピストンに追加圧力がかかる。ただし問題の近似では液体柱を薄いとみなし、単に質量 $M$ の重りとして扱う。

音速と気体の断熱弾性

気体中の音波は、空気の断熱圧縮・膨張として伝わる（周波数が高いので熱交換の時間がない）。音速：

$$c = \sqrt{\gamma p/\rho} = \sqrt{\gamma R T/M}$$

常温の空気（$\gamma = 1.4, T = 298$ K, $M = 0.029$ kg/mol）で $c \approx 343$ m/s。温度 $T$ に比例して音速が変わる（$\sqrt T$ 則）ため、冬場は音速が遅くなる。

気体の仕事と $p$-$V$ 図の面積

気体の行う仕事 $W = \int p \, dV$ は $p$-$V$ 図上の「経路の下の面積」。ただし経路によって異なる（経路依存＝熱力学的可逆性の違い）：

• 同じ始点・終点でも経路 $A$（上の経路）と経路 $B$（下の経路）で仕事が違う
• 閉サイクルでは一周の仕事 $W = \oint p \, dV$ が有限 $\to$ 熱機関の原理

時計回りに一周すれば正の仕事（熱機関）、反時計回りなら負の仕事（冷蔵庫・ヒートポンプ）。