解法の指針

ニュートンリングに関する問題です。平凸レンズをガラス板の上に置き、単色光を照射したときに現れる同心円状の干渉縞（ニュートンリング）の半径を求めます。真空中と液体中での干渉パターンの比較から屈折率を決定します。

問題の構成

• 設問(1)：透明固体の表面での光の反射と干渉の基本 — 固定端反射と自由端反射 [ア]~[オ]
• 設問(2)：ニュートンリングの暗環・明環の半径の導出、真空中と液体中の比較から屈折率を決定 [カ]~[ケ]

設問(1)　光の反射と干渉の基本

透明固体（屈折率 \(n > 1\)）の面に光が入射するとき、反射光の位相変化を考えます。

固定端反射（位相 \(\pi\) ずれ）：

光が屈折率の小さい媒質から大きい媒質に向かって反射するとき [ア]：

$$ \text{空気}(n=1) \to \text{ガラス}(n>1) : \text{固定端反射（位相}\pi\text{ずれ）} $$

自由端反射（位相変化なし）：

光が屈折率の大きい媒質から小さい媒質に向かって反射するとき [イ]：

$$ \text{ガラス}(n>1) \to \text{空気}(n=1) : \text{自由端反射（位相変化なし）} $$

透明固体の上面と下面で反射した2つの光が干渉します。固体の厚さを \(d\)、屈折率を \(n\) とすると、光路差は：

$$ \Delta = 2nd + \frac{\lambda}{2} \quad [\text{ウ}] $$

上面反射（空気→固体）は固定端反射で \(\frac{\lambda}{2}\) の位相ずれ、下面反射（固体→空気）は自由端反射で位相変化なし。よって片方だけ \(\frac{\lambda}{2}\) のずれが生じます。

強め合いの条件（明線）：

$$ 2nd + \frac{\lambda}{2} = m\lambda \quad (m = 1, 2, 3, \ldots) \quad [\text{エ}] $$ $$ 2nd = \left(m - \frac{1}{2}\right)\lambda $$

弱め合いの条件（暗線）：

$$ 2nd + \frac{\lambda}{2} = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots) \quad [\text{オ}] $$ $$ 2nd = m\lambda $$

補足：位相ずれがどちらに生じるかの判定法

反射の位相ずれは「密な壁で反射 = 固定端」と覚えます。具体的には：

• 入射側の屈折率 < 反射側の屈折率 → 固定端反射（位相 \(\pi\)）
• 入射側の屈折率 > 反射側の屈折率 → 自由端反射（位相変化なし）

薄膜干渉では上面と下面の2回の反射を考えます。2回とも同じタイプなら位相差は \(0\) か \(2\pi\)（相殺）、異なるタイプなら \(\frac{\lambda}{2}\) の光路差が加わります。

ニュートンリングでは：上面（空気→ガラス）＝固定端、下面（ガラス→空気）＝自由端。異なるタイプなので \(\frac{\lambda}{2}\) を加えます。

設問(2)　ニュートンリングの半径と屈折率の決定

曲率半径 \(R\) の平凸レンズを平面ガラス板の上に置き、上方から波長 \(\lambda\) の単色光を照射します。レンズ下面とガラス板上面の間の空気層の厚さ \(d\) は、中心からの距離 \(r\) に対して以下の関係を満たします。

幾何学的関係（\(r \ll R\) の近似）：

レンズの球面の半径 \(R\) と、中心からの距離 \(r\) での空気層の厚さ \(d\) の関係は：

$$ R^2 = r^2 + (R - d)^2 = r^2 + R^2 - 2Rd + d^2 $$

\(d \ll R\) なので \(d^2\) を無視すると：

$$ r^2 = 2Rd \quad \Longrightarrow \quad d = \frac{r^2}{2R} \quad [\text{カ}] $$

暗環の条件（真空中）：

レンズ下面での反射（ガラス→空気）は自由端反射、ガラス板上面での反射（空気→ガラス）は固定端反射。片方だけ位相が \(\pi\) ずれるので、光路差に \(\frac{\lambda}{2}\) が加わります。

弱め合い（暗環）の条件：

$$ 2d + \frac{\lambda}{2} = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots) $$ $$ 2d = m\lambda $$

\(d = \frac{r^2}{2R}\) を代入すると：

$$ \frac{r_m^2}{R} = m\lambda $$ $$ \boxed{r_m = \sqrt{mR\lambda}} \quad [\text{キ}] $$

ここで \(m = 1, 2, 3, \ldots\) が \(m\) 番目の暗環の半径です。中心（\(m = 0\)）も暗点になります。

明環の条件：

$$ 2d = \left(m - \frac{1}{2}\right)\lambda $$ $$ r_m' = \sqrt{\frac{(2m-1)R\lambda}{2}} \quad (m = 1, 2, 3, \ldots) $$

液体で満たした場合：

隙間を屈折率 \(n\) の液体で満たすと、光路差が \(2nd\) になります。暗環の条件は：

$$ 2nd = m\lambda $$ $$ r_m' = \sqrt{\frac{mR\lambda}{n}} \quad [\text{ク}] $$

真空中の \(m\) 番目の暗環と液体中の \(m'\) 番目の暗環の半径を比較します。真空中の暗環の半径を \(r_m\)、液体中を \(r_m'\) とすると：

$$ r_m = \sqrt{mR\lambda}, \quad r_m' = \sqrt{\frac{m'R\lambda}{n}} $$

同じ位置 \(r_m = r_m'\) で暗環が一致する条件：

$$ mR\lambda = \frac{m'R\lambda}{n} \quad \Longrightarrow \quad n = \frac{m'}{m} $$

例えば、真空中の \(m\) 番目の暗環と液体中の \(m'\) 番目の暗環が一致すれば：

$$ \boxed{n = \frac{m'}{m}} \quad [\text{ケ}] $$

あるいは、真空中と液体中の同じ番号の暗環半径の比から：

$$ \frac{r_m'^2}{r_m^2} = \frac{1}{n} \quad \Longrightarrow \quad n = \frac{r_m^2}{r_m'^2} $$

別解：明環の半径と暗環の半径の中間

明環と暗環の半径を比較すると：

$$ r_m^{\text{dark}} = \sqrt{mR\lambda}, \quad r_m^{\text{bright}} = \sqrt{\left(m-\frac{1}{2}\right)R\lambda} $$

明環は隣り合う暗環の「ちょうど中間」ではなく、わずかに内側に寄っています。これは \(r \propto \sqrt{m}\) の非線形性によるものです。

数値例（\(R = 2.0\) m, \(\lambda = 550\) nm）：

$$ r_1^{\text{dark}} = \sqrt{1 \times 2.0 \times 550 \times 10^{-9}} = \sqrt{1.10 \times 10^{-6}} = 1.05 \times 10^{-3} \text{ m} = 1.05 \text{ mm} $$ $$ r_5^{\text{dark}} = \sqrt{5 \times 1.10 \times 10^{-6}} = 2.35 \text{ mm} $$

外側の環ほど間隔が狭くなる（\(r \propto \sqrt{m}\)）のがニュートンリングの特徴です。

補足：中心が暗点になる理由

中心では空気層の厚さ \(d = 0\) です。光路差は：

$$ \Delta = 2 \times 0 + \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{2} $$

これは弱め合いの条件（\(\frac{\lambda}{2}\) の奇数倍）に一致するので、中心は必ず暗点になります。

これは薄膜干渉の位相ずれが片方の面だけで起こるため、厚さゼロでも完全に打ち消し合うことを意味します。