地球のまわりを円軌道で周回する人工衛星について、万有引力と円運動の関係から軌道速度・周期を導出し、力学的エネルギーを求める問題です。
質量 $M$ の地球を中心に、質量 $m$ の人工衛星が半径 $r$ の円軌道を速さ $v$ で周回しています。万有引力が向心力となるので、
$$ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} $$両辺を $m$ で割り、$v^2$ について整理すると、
$$ v^2 = \frac{GM}{r} $$数値例：$GM = 4.0 \times 10^{14}$ m³/s²、高度 $h = 400$ km（ISS相当）のとき $r = R + h = 6.4 \times 10^6 + 4.0 \times 10^5 = 6.8 \times 10^6$ m として、
$$ v = \sqrt{\frac{4.0 \times 10^{14}}{6.8 \times 10^6}} = \sqrt{5.88 \times 10^7} = 7.67 \times 10^3 \text{ m/s} \fallingdotseq 7.7 \text{ km/s} $$$r = R$（地球半径）のとき、
$$ v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR} = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} = 7.92 \times 10^3 \text{ m/s} \fallingdotseq 7.9 \text{ km/s} $$これが第一宇宙速度で、地球表面をかするように周回する速さです。高度が上がると $r$ が増え、$v \propto 1/\sqrt{r}$ なので速度は減少します。
$v = \sqrt{GM/r}$ から、軌道半径が大きいほど周回速度は遅い。スライダーで $r/R$ を変えて、速度と周期の変化を確認しよう。
円軌道の周期 $T$ は、円周 $2\pi r$ を速さ $v$ で割ればよい。設問(1)の結果を代入して、
$$ T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi r \cdot \frac{1}{\sqrt{GM/r}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} $$両辺を2乗すると、
$$ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\, r^3 $$右辺の $\frac{4\pi^2}{GM}$ は定数なので、$T^2 \propto r^3$——ケプラーの第三法則が導かれます。
数値確認：ISS（$r = 6.8 \times 10^6$ m）の周期は、
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{(6.8 \times 10^6)^3}{4.0 \times 10^{14}}} = 2\pi\sqrt{7.86 \times 10^5} = 2\pi \times 887 = 5.57 \times 10^3 \text{ s} \fallingdotseq 93 \text{ min} $$$T^2/r^3$ の値が軌道半径によらず一定であることを確認します。
ISS（$r = 6.8 \times 10^6$ m, $T = 5.57 \times 10^3$ s）：
$$ \frac{T^2}{r^3} = \frac{(5.57 \times 10^3)^2}{(6.8 \times 10^6)^3} = \frac{3.10 \times 10^7}{3.14 \times 10^{20}} = 9.87 \times 10^{-14} \text{ s}^2/\text{m}^3 $$月（$r = 3.84 \times 10^8$ m, $T = 2.36 \times 10^6$ s）：
$$ \frac{T^2}{r^3} = \frac{(2.36 \times 10^6)^2}{(3.84 \times 10^8)^3} = \frac{5.57 \times 10^{12}}{5.66 \times 10^{25}} = 9.84 \times 10^{-14} \text{ s}^2/\text{m}^3 $$ほぼ一致！ グラフ上のどの点をホバーしても $T^2/r^3$ が同じ値になることを確認してみましょう。
$T^2 \propto r^3$ は万有引力から導かれる定量的な結果。グラフが原点を通る直線になるのはこのためです。逆に $T$ と $r$ のデータから $GM$ を逆算できます。
地表（$r = R$）で質量 $m$ の物体に働く重力は万有引力そのものなので、
$$ mg = \frac{GMm}{R^2} $$よって、
$$ GM = gR^2 $$数値確認：$g = 9.8$ m/s²、$R = 6.4 \times 10^6$ m のとき、
$$ GM = 9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2 = 9.8 \times 4.10 \times 10^{13} = 4.01 \times 10^{14} \text{ m}^3/\text{s}^2 $$設問(1)の $v$ を $g$ と $R$ で書き直すと、
$$ v = \sqrt{\frac{gR^2}{r}} $$高度 $h$ での重力加速度 $g'$ は $r = R + h$ として、
$$ g' = \frac{GM}{(R+h)^2} = g\left(\frac{R}{R+h}\right)^2 $$数値例：$h = 400$ km = $4.0 \times 10^5$ m のとき、
$$ g' = 9.8 \times \left(\frac{6.4 \times 10^6}{6.8 \times 10^6}\right)^2 = 9.8 \times 0.886 = 8.7 \text{ m/s}^2 $$ISS の高度でも重力加速度は地表の約 89 % もあります。宇宙飛行士が「無重力」に感じるのは、衛星とともに自由落下しているからです。
$g' = g(R/r)^2$ は逆2乗の法則。スライダーで高度を変え、ISS 高度（$r/R \fallingdotseq 1.06$）でも $g$ がほぼ変わらないことを確認しよう。
円軌道上の衛星の運動エネルギー $K$ と万有引力による位置エネルギー $U$（無限遠基準）は、
$$ K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \cdot \frac{GM}{r} = \frac{GMm}{2r} $$ $$ U = -\frac{GMm}{r} $$力学的エネルギー $E$ は、
$$ E = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r} $$ここで重要な関係が得られます。
$$ K = -E, \quad U = 2E $$数値例：$m = 420 \times 10^3$ kg（ISS）、$r = 6.8 \times 10^6$ m のとき、
$$ K = \frac{4.0 \times 10^{14} \times 4.2 \times 10^5}{2 \times 6.8 \times 10^6} = \frac{1.68 \times 10^{20}}{1.36 \times 10^7} = 1.24 \times 10^{13} \text{ J} $$ $$ U = -\frac{4.0 \times 10^{14} \times 4.2 \times 10^5}{6.8 \times 10^6} = -2.47 \times 10^{13} \text{ J} $$ $$ E = 1.24 \times 10^{13} - 2.47 \times 10^{13} = -1.24 \times 10^{13} \text{ J} $$$K = -E$ かつ $U = 2E$ の関係は、逆2乗力の場合のビリアル定理の特殊例です。
一般に、力が $F \propto r^n$ のとき、時間平均について $\langle K \rangle = -\frac{n+1}{2}\langle U \rangle$ が成り立ちます。万有引力は $n = -2$ なので、
$$ \langle K \rangle = -\frac{-2+1}{2}\langle U \rangle = \frac{1}{2}\langle U \rangle $$ $$ \therefore\; 2K = -U, \quad E = K + U = -K = \frac{U}{2} $$この関係は楕円軌道の時間平均でも成立します。
$GM = gR^2$ を用いると、
$$ E = -\frac{gR^2 m}{2r} $$ISS の場合（$g = 9.8$ m/s², $R = 6.4 \times 10^6$ m, $r = 6.8 \times 10^6$ m, $m = 4.2 \times 10^5$ kg）：
$$ E = -\frac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2 \times 4.2 \times 10^5}{2 \times 6.8 \times 10^6} = -\frac{9.8 \times 4.10 \times 10^{13} \times 4.2 \times 10^5}{1.36 \times 10^7} = -1.24 \times 10^{13} \text{ J} $$どちらの表現でも同じ答え。$g$ と $R$ の方が物理量として馴染みがあります。
円軌道では$K = -E$、$U = 2E$が常に成立。バーの高さをスライダーで変えて、$K$ が常に $|U|$ の半分であることを体感しよう。軌道を上げると 3 つとも絶対値が小さくなるが、$E$ は 0 に近づく（負のまま）。
静止衛星は地球の自転と同じ周期 $T_0 = 24$ h = $8.64 \times 10^4$ s で周回します。設問(2)の公式を $r$ について解くと、
$$ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\, r^3 \implies r^3 = \frac{GM\, T^2}{4\pi^2} $$ $$ r = \left(\frac{GM\, T_0^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} $$代入計算：$GM = gR^2 = 9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2 = 4.01 \times 10^{14}$ m³/s² を使って、
$$ r^3 = \frac{4.01 \times 10^{14} \times (8.64 \times 10^4)^2}{4\pi^2} = \frac{4.01 \times 10^{14} \times 7.46 \times 10^9}{39.5} $$ $$ r^3 = \frac{2.99 \times 10^{24}}{39.5} = 7.57 \times 10^{22} \text{ m}^3 $$ $$ r = (7.57 \times 10^{22})^{1/3} = 4.23 \times 10^7 \text{ m} $$地球半径との比は、
$$ \frac{r}{R} = \frac{4.23 \times 10^7}{6.4 \times 10^6} = 6.6 $$高度は $h = r - R = 4.23 \times 10^7 - 6.4 \times 10^6 = 3.59 \times 10^7$ m $\fallingdotseq 36{,}000$ km です。
地表から出発して無限遠（$E = 0$）に達する速度が第二宇宙速度 $v_2$ です。
$$ \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GMm}{R} = 0 $$ $$ v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR} = \sqrt{2} \, v_1 $$数値：
$$ v_2 = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{1.254 \times 10^8} = 1.12 \times 10^4 \text{ m/s} \fallingdotseq 11.2 \text{ km/s} $$第一宇宙速度（$\fallingdotseq 7.9$ km/s）の $\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$ 倍です。
$T^2 \propto r^3$ を利用して、ISS との比で求めることもできます。
ISS: $r_1 = 6.8 \times 10^6$ m, $T_1 = 5.57 \times 10^3$ s。静止衛星: $T_0 = 8.64 \times 10^4$ s。
$$ \frac{r_0^3}{r_1^3} = \frac{T_0^2}{T_1^2} = \left(\frac{8.64 \times 10^4}{5.57 \times 10^3}\right)^2 = 15.5^2 = 241 $$ $$ r_0 = r_1 \times 241^{1/3} = 6.8 \times 10^6 \times 6.22 = 4.23 \times 10^7 \text{ m} $$同じ答えが得られます。既知の衛星データがあれば $GM$ を使わず比だけで計算できます。
静止衛星の軌道半径は自転周期だけで決まる。アニメーションで赤い点（静止衛星）が地球の白いマーカーと常に同じ角度を保ち、緑の ISS が何周もしていく様子を観察しよう。