3大問構成。第Ⅰ問は惑星の円運動と分裂（ケプラーの法則・万有引力・力学的エネルギー保存）、第Ⅱ問は導体と半導体の抵抗・ホール効果、第Ⅲ問は弦の振動と気柱の共鳴。マーク式なので解答群から選ぶ形式。
マーク式では選択肢の中から正解を選ぶ。計算結果を選択肢と照合する際、符号・次元に注意。
質量 \(m_0\) の惑星が質量 \(M\) の太陽のまわりを半径 \(R_0\) で円運動する。向心力が万有引力で与えられる。速度・周期・エネルギーを基本公式から導く。
[1] 向心力の大きさ：万有引力が向心力を提供する。
$$ F = \frac{Gm_0M}{R_0^2} $$向き（中心向き）を負とすると \(-\frac{Gm_0M}{R_0^2}\)。→ 解答群⑦
[2] 速さ \(v_0\)：向心力 = 万有引力より
$$ \frac{m_0 v_0^2}{R_0} = \frac{Gm_0M}{R_0^2} \implies v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R_0}} $$→ 解答群⑨
[3] 位置エネルギー：
$$ U = -\frac{Gm_0M}{R_0} $$→ 解答群⑤。周期は \(T = 2\pi R_0 / v_0\) の関係、\(2\pi R_0 = v_0 \cdot T\) を代入。
[4] 力学的エネルギー \(E\)：
$$ E = \frac{1}{2}m_0 v_0^2 + U = \frac{Gm_0M}{2R_0} - \frac{Gm_0M}{R_0} = -\frac{Gm_0M}{2R_0} $$[1] ⑦ \(-Gm_0M/R_0^2\)、[2] ⑨ \(\sqrt{GM/R_0}\)
[3] ⑤ \(-Gm_0M/R_0\)、[4] \(-Gm_0M/(2R_0)\)
円軌道の力学的エネルギーは常に負。\(E = -\frac{Gm_0M}{2R_0}\) は暗記推奨の重要結果。
円運動中の惑星が点Pで2つに分裂する。運動量保存から分裂後の各片の速度が決まり、ケプラーの法則と力学的エネルギー保存から新しい軌道を求める。
[5]〜[6]：分裂比 \(R_A : R_B = 1 : 2\) のとき、ケプラー第3法則より周期の比：
$$ \frac{T_A^2}{T_B^2} = \frac{R_A^3}{R_B^3} $$\(R_A/R_B = 1/2\) なので \(T_A/T_B = (1/2)^{3/2} = 1/(2\sqrt{2})\)。→ [5] は ② の 1/2。
[7]〜[10]：分裂時の運動量保存とエネルギー保存から、各片の速度と新しい軌道半径を求める。
$$ m_0 v_0 = m_1 v_1 + m_2 v_2 $$分裂は分離軸と逆方向に起こるので、\(v_1, v_2\) の方向は軌道接線方向。
分裂後、速い方の破片は遠日点が大きくなり（外側の軌道）、遅い方は近日点が小さくなる（内側の軌道）。分裂点では両方の破片が同じ位置にあるので、分裂点は一方にとっては近日点、他方にとっては遠日点になる。
惑星の分裂問題では、分裂点での運動量保存 + 各破片の力学的エネルギー保存の2つを連立させる。
直方体の導体/半導体に電流を流したとき、抵抗率の違い、電位差の向き、磁場中でのホール効果（ローレンツ力による電荷の偏り）を考える。
[11]：導体の抵抗率 \(\rho_1\) と半導体の抵抗率 \(\rho_2\) の大小関係。一般に導体 < 半導体：
$$ \rho_1 < \rho_2 $$→ 解答群①
[12]〜[16]：直方体の抵抗。電流方向の長さ \(a\)、断面積 \(b \times c\) のとき：
$$ R = \rho \frac{a}{bc} $$電位差 \(V_A - V_C\)、電流密度 \(J = I/(bc)\)、電場 \(E = \rho J\) を計算。
[17]〜[20]：磁場 \(B\) 中でのホール効果。電流の向きと磁場の向きからローレンツ力の向きを決定し、ホール電圧を求める。
$$ F = qv_dB $$定常状態ではローレンツ力と電場力が釣り合い：
$$ qE_H = qv_dB \implies V_H = v_d B c = \frac{IB}{aqn} $$[11] ① \(\rho_1 < \rho_2\)
[12]〜[16] 抵抗の公式と電場の向き
[17]〜[20] ホール電圧と等電位線の形状
ホール効果はキャリアの符号（正孔か電子か）を判定できる。\(p\) 型半導体ではホール電圧が \(n\) 型と逆向きになる。磁場センサー（ホール素子）として広く使われている。
ホール効果：ローレンツ力で電荷が偏る → 電場が生じる → 定常状態で \(qE_H = qv_dB\)。キャリア密度 \(n\) が求まる。
線密度 \(\rho\) [kg/m] の弦に張力を加え、正弦波を送る。波の式 \(y = A\sin(kx - \omega t)\) の形から波長・振動数・速さを読み取り、反射波との干渉パターンを求める。
[21]：正弦波の波長 \(\lambda\) は波の式から読み取る。
$$ y = A\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}x - \frac{2\pi}{T}t\right) $$[22]〜[24]：時刻 \(t = 0\) での波形、\(t = 0.5T\) での波形、\(t = 1.75T\) での波形をグラフから選択。
波の式 \(y = A\sin(kx - \omega t)\) から \(k = 2\pi/\lambda\)、\(\omega = 2\pi/T\)、速さ \(v = \omega/k = \lambda/T\)。
弦の振動で発生した音が管（気柱）と共鳴する。温度が変わると音速が変わり、共鳴条件が変化する。弦の長さを調節して共鳴を回復させる。
[25]〜[26]：弦を伝わる波の速さと基本振動の振動数。
弦の速さ：\(v = \sqrt{T/\rho}\)（\(T\) は張力、\(\rho\) は線密度）
$$ v = \sqrt{\frac{T}{\rho}} $$基本振動：弦の長さ \(L\) が半波長 → \(\lambda = 2L\) → \(f = v/(2L)\)
[27]〜[28]：気柱の共鳴。気温 6.0°C で音速 \(V = 331.5 + 0.6 \times 6 = 335.1\) m/s。開口端から管の長さと共鳴条件から基本振動数を求め、弦の振動数と一致する条件を探す。
[29]：気温が変化したとき、音速が変わるため共鳴条件がずれる。弦の長さを調節して共鳴を回復させる。音速の変化率は：
$$ \frac{\Delta V}{V} = \frac{0.6 \Delta T}{V} $$弦の振動数を変えるには \(f = \frac{v}{2L}\) から \(L\) を調節する。
[25]〜[26] 弦の波の速さと基本振動の振動数を計算
[27]〜[28] 気柱の共鳴次数を決定
[29] 温度変化に対する弦の長さ調節量
空気中の音速は近似的に \(V \fallingdotseq 331.5 + 0.6t\) [m/s]（\(t\) は摂氏温度）。これは気体分子の平均速度が \(\sqrt{T}\) に比例することから導かれる。1°Cの変化で約0.6 m/s、すなわち約0.2%の変化。
共鳴条件：弦の振動数 = 気柱の固有振動数。温度が変わると音速が変わり、気柱の固有振動数が変わるため、弦の長さで調節する。