本問は、鉛直ばね + 板 + 小球の3段階にわたる力学問題です。ばねを自然長から $d$ だけ縮めた状態から手を放し、板と小球が離れるまで・離れた後の運動を追います。
設定：ばね定数 $k$、質量 $m$ の小球。ばねの上端に質量を無視する板があり、その上に小球。ばねを自然長から $d$ だけ縮めて押さえている。
立式：押さえる力を $F$ とする。小球と板を合わせた系に対するつり合い式を立てると、
$$F + mg = k \cdot d$$左辺：下向きの力（手で押す $F$ ＋ 重力 $mg$）、右辺：ばねの上向きの押し返し力。ただし、ここで $F$ は小球を静止させるために「上から押さえる追加の力」を指し、ばねが縮んでいる状態を維持するための力です。問題設定では「ばねを縮めて押さえている」という状況なので、ばねから受ける力 $kd$ が「ばねからの力」、その一部が重力で消費され、残りが押さえる力。つまり
$$F = k d - m g$$しかし、問題文の設定を単純化して「手で加える力 $F$ が小球だけに作用し、板の質量を無視すれば」、系はばねが縮んだ状態で止まっているので、板を押す力は ばねの弾性力 $kd$ と釣り合う必要があり、$F = kd - mg$ か $F = kd$（重力を外部で別に考える場合）のどちらになるかは設定次第。
本解では「手で加える押し下げ力 $F$」を「外部からの押し下げ力」とし、板と小球を1つの系として考える場合：
$$\text{ばねの力} \; k d = F + m g \quad \Longrightarrow \quad F = k d - m g$$ただし、問題が「小球に加える力」のみを問うていて、重力を別勘定とする場合の答えは $F = kd$。
または系全体で $F = kd - mg$（押さえる外力）
つり合い位置はばねが $\dfrac{mg}{k}$ 縮んだ所。自然長から $d$ 縮めた位置はつり合い位置から $d - \dfrac{mg}{k}$ だけさらに下。つり合い位置を基準にした復元力は $k \cdot (d - \dfrac{mg}{k}) = kd - mg$ で、これが運動方程式における復元力成分になる。
鉛直ばね問題では、「自然長基準」と「つり合い位置基準」のどちらで考えるかで式が違って見える。つり合い位置を基準にすれば、単振動として扱え、振幅と周期が読みやすい。
設定：ばねを自然長から $d$ 縮めた位置で放す。つり合い位置は自然長より $\dfrac{mg}{k}$ 下。小球の位置を $x$（つり合い位置を基準、下向きを正）とすると、運動方程式は、
$$m \ddot{x} = -k x$$これは角振動数 $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$、周期 $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ の単振動。
初期条件：$x(0) = d - \dfrac{mg}{k}$（つり合い位置から下向き）、$\dot x(0) = 0$。解は、
$$x(t) = \left(d - \frac{mg}{k}\right) \cos(\omega t)$$自然長位置は $x = -\dfrac{mg}{k}$。この位置に達する時刻 $t_1$ を求める。
$$-\frac{mg}{k} = \left(d - \frac{mg}{k}\right) \cos(\omega t_1)$$ $$\cos(\omega t_1) = \frac{-mg/k}{d - mg/k}$$$\omega t_1 = \arccos\left(\dfrac{-mg/k}{d - mg/k}\right)$。特に $mg \ll kd$（重力の影響が小さい場合）は簡略化されて $\omega t_1 \fallingdotseq \dfrac{\pi}{2}$、よって、
$$t_1 \fallingdotseq \frac{\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}$$厳密には $t_1 = \dfrac{1}{\omega}\arccos\left(\dfrac{-mg/k}{d - mg/k}\right)$
単振動の周期 $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ は、振幅 $A$ によらず一定。この性質を「等時性」と呼び、ガリレオが振り子で発見した性質と本質的に同じ。
$1/4$ 周期はつり合い位置から最大変位まで（またはその逆）。したがって「縮めた位置→自然長」の時間はつり合い位置を少しだけ上に過ぎる点までの時間なので、厳密には $1/4$ 周期より少し短くなる。
単振動の周期は振幅に依存しない（等時性）。振動の「時間の問題」は、まず $x(t) = A\cos(\omega t)$ の形に書いてから、条件を満たす時刻を $\arccos$ で求めるのが基本。
分離条件：板から小球への垂直抗力 $N = 0$ になる瞬間。小球の運動方程式は $m \ddot y = N - mg$。$N = 0$ のとき、小球は重力加速度だけで運動する（$\ddot y = -g$）。この条件が板の加速度と一致する瞬間、すなわちばねが自然長に戻った瞬間。
分離位置の速度：エネルギー保存則より、
$$\frac{1}{2} k d^2 - (板と小球の位置 E の変化) = \frac{1}{2}(M + m) v^2 + (重力での PE 変化)$$板の質量を無視（$M = 0$）し、自然長位置を基準にすると、位置変化は $d$ なので、
$$\frac{1}{2} k d^2 - m g d = \frac{1}{2} m v^2$$ $$v^2 = \frac{k d^2}{m} - 2 g d \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{\frac{k d^2}{m} - 2 g d}$$重力の影響が小さい場合（$gd \ll kd^2/m$）：
$$v \fallingdotseq d \sqrt{\frac{k}{m}}$$厳密には $v = \sqrt{\dfrac{kd^2}{m} - 2gd}$
単振動 $x = A\cos(\omega t)$ では、速度の最大値は $v_{\max} = A \omega$。振幅 $A = d$、$\omega = \sqrt{k/m}$ なので、
$$v_{\max} = d \sqrt{\frac{k}{m}}$$自然長位置はつり合い位置からわずかに上の位置（振動の中央に近い）で、ここでの速度は最大に近い。
板の上の物体が分離する条件は垂直抗力 N = 0。これを力学的に解釈すると「板の加速度が重力加速度 $-g$ を超えて下向きになる瞬間」に分離が始まる。ばね問題では自然長位置（引き伸ばされ始める瞬間）で分離する典型。
分離後の板の運動方程式：板のみ残ると、ばねからの復元力 $-kx$ と重力 $-Mg$ がはたらく。つり合い位置（自然長より $\dfrac{Mg}{k}$ 下）を基準にすれば、
$$M \ddot x = -k x$$これは単振動。
角振動数・振動数・周期：
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}, \quad T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}, \quad f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}$$板の質量が小球と同じ $m$ であれば、$f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$。
数値例（確認）：$k = 40$ N/m、$M = 0.10$ kg とすると、
$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{40}{0.10}} = \frac{\sqrt{400}}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} \fallingdotseq 3.18 \text{ Hz}$$$(1/2)kx^2$ のポテンシャルで運動するハーモニック振動子。質量 $M$ と復元力定数 $k$ の系の固有振動数はどんな座標系でも $\omega = \sqrt{k/M}$。これを知っていれば、運動方程式を立てるまでもなく瞬時に答えが出る。
ばね振動の振動数は質量に反比例（の平方根）。軽いほど速く振動する。これはブランコ・振り子にも共通する直感で、「軽いおもりは素早く振動、重いおもりはゆっくり」と覚えておく。
| 概念 | 公式 | ポイント |
|---|---|---|
| つり合い位置 | 自然長より $\dfrac{mg}{k}$ 下 | 単振動の中心になる |
| 角振動数 | $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ | 振幅によらず一定 |
| 最大速度 | $v_{\max} = A \omega$ | つり合い位置で最大 |
| 分離条件 | $N = 0$（板の抗力） | 自然長位置で分離 |
| 分離後の小球 | 自由投射 | 重力のみ作用 |
| 分離後の板 | ばねと単独で振動 | $f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{M}}$ |
繋がる概念：単振動の周期は重力場の強さと無関係（ばね定数と質量だけで決まる）。宇宙空間でもばねは同じ周期で振動する。一方、振り子の周期は重力 $g$ に依存する。このコントラストが大事。