一辺 $L$ の正方形を 6 枚合わせた立方体（ユニット $S$）。各面には磁場発生装置を取り付け、正方形内部に一様な磁場を発生できる。質量 $m$、電荷 $+q$ の粒子 A をユニット $S_1$ の上面から入射し、S内部の円弧運動により反対側の面から出る。複数ユニットを連結し粒子の通過経路を制御する。
立式：右手の法則で $\vec v \times \vec B$ の向きを決定。$\vec v$（下向き、$-\hat y$）、$\vec B$（紙面の裏向き、$-\hat z$）：
$$\vec v \times \vec B = (-\hat y) \times (-\hat z) = \hat y \times \hat z = \hat x \text{（右向き）}$$正電荷なので $\vec F = q(\vec v \times \vec B)$ は右向き $\Rightarrow$ 粒子は初期位置から右へ曲がり、半円を描いて $S_1$ の右面から出る。
ローレンツ力は $\vec v$ にも $\vec B$ にも垂直 $\Rightarrow$ 仕事をしない $\Rightarrow$ 速さ一定 $\Rightarrow$ 等速円運動。右手の法則で回転方向を確定する。
立式：ローレンツ力が向心力：
$$q v B = \frac{m v^2}{r}$$ $$r = \frac{m v}{q B}$$幾何条件：半円で対面に出るには $r = L/2$（直径 $= L$）。よって：
$$\frac{m v}{q B} = \frac{L}{2}$$ $$v = \frac{q B L}{2 m}$$具体的な数値で代入する：$q = 1.6 \times 10^{-19}$ C（電子の電荷）、$B = 0.10$ T、$L = 0.020$ m、$m = 9.1 \times 10^{-31}$ kg（電子の質量）：
$$v = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 0.10 \times 0.020}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} = \frac{3.2 \times 10^{-22}}{1.82 \times 10^{-30}} \fallingdotseq 1.76 \times 10^8 \text{ m/s}$$この値は光速 $c = 3.0 \times 10^8$ m/s の約 $0.59$ 倍。相対論的効果が無視できない速さとなっている。
より低速の例：$B = 1.0$ T、$L = 0.020$ m で同様に計算すると：
$$v = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 0.020}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} = 1.76 \times 10^9 \text{ m/s}$$これは光速を超えるので物理的に不可能 → このような条件では実際には $r < L/2$（より小さい半径）となる必要があり、$v$ は別の値に設定される。
円運動の半径 $r = mv/(qB)$。この式はすべての磁場中荷電粒子問題の基礎。実際の装置では $v$ と $B$ の両方を調整してユニットサイズに合わせる。
立式：円運動の周期：
$$T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi m}{q B}$$半周期（半円を描くのに要する時間）：
$$t = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{q B}$$電子（$m = 9.1\times 10^{-31}$ kg、$q = 1.6\times 10^{-19}$ C）が $B = 0.10$ T の磁場中を運動するときの半周期：
$$t = \frac{\pi \times 9.1\times 10^{-31}}{1.6\times 10^{-19} \times 0.10} = \frac{2.86 \times 10^{-30}}{1.6 \times 10^{-20}} \fallingdotseq 1.79 \times 10^{-10} \text{ s}$$つまり $0.179$ ns（ナノ秒）で半円を描く。これは非常に短時間で、高周波電子機器のスケール。
$T = 2\pi m/(qB)$ は速さ $v$ に依存しない。どんな速さで入射しても、同じ磁場なら周期（従って半周期）は同じ。これがサイクロトロン加速器の原理。
サイクロトロン周期 $T = 2\pi m/(qB)$。$v$ に依らない！速くなるほど半径が大きくなるため、周期は同じ。
立式：各ユニット内で半円 $\Rightarrow$ 時間 $\pi m/(qB)$。6 ユニット連続通過すれば：
$$t_\text{total} = 6 \cdot \frac{\pi m}{q B} = \frac{6 \pi m}{q B}$$ユニットごとに同じ磁束密度 $B$ なら半周期 $\pi m/(qB)$ が共通。何ユニットでも単純にその倍数になる。
$S_1$ の磁場と逆向き（表 → 裏）にすれば、粒子は $S_2$ 内で $S_1$ と逆回転 $\Rightarrow$ 上方向に半円 $\Rightarrow$ $S_3$ に接続される。
磁場の向きを反転すると回転方向が反転。連続した半円で S 字型の経路を作るには、各ユニットで磁場の向きを交互に反転する。
粒子 A、B とも同じ $qBL/(2m)$ の速さで入射したとき、$S_3$ を通過した後の速さ：
$$v_\text{A,after S3} = v_\text{A,initial} = \frac{q B L}{2 m}$$粒子 B は質量 $2m$ なので同じ速さでも半径 $r_B = 2m \cdot v/(qB) = L$。この半径では $S_3$ の一辺全体を直径とする円なので、1/4 円を描いて別の面から出る。結果として通過後の速さは同じ（ローレンツ力は仕事しない）。
ローレンツ力は常に速度と直交 $\Rightarrow$ 仕事ゼロ $\Rightarrow$ 運動エネルギー不変 $\Rightarrow$ 速さ不変。ただし軌道は質量に比例して変わる。
粒子が前回と同じ経路（半円で同じ面から出る）をたどるには、$r = L/2$ が維持される必要があり、$B$ は不変。
$$B_{S3}^{(2)} = B_0$$問題によっては 2 回目に粒子が異なる速さで入射することがある。その場合、半径が保たれるには $B$ を調整する必要がある：$B' = B \cdot (v'/v)$。速さが 2 倍なら $B$ も 2 倍。
磁場中の円運動半径は $r = mv/(qB)$。同じ経路なら $mv/(qB)$ が一定 $\Rightarrow$ 速さと磁束密度の比が一定。
磁場 $\vec B$ 中を速度 $\vec v$ で運動する電荷 $q$ の粒子に働くローレンツ力：
$$\vec F = q \vec v \times \vec B$$$\vec v \perp \vec B$ のとき、力の大きさ $F = qvB$、方向は $\vec v$ にも $\vec B$ にも垂直 $\Rightarrow$ 等速円運動。
周期 $T$ は速さに依らない $\to$ サイクロトロン周波数 $\omega_c = qB/m$ は粒子の種類と磁場で決まる。
サイクロトロン加速器：磁場中で粒子を半円を描かせ、毎半周ごとに加速電場で加速する。周期が速さに依らないため、同じ周波数の交流電圧で加速できる。
限界：粒子が光速に近づくと相対論的質量増加で周期が伸び、同期しなくなる。シンクロサイクロトロン・シンクロトロンはこれを補正した加速器。
磁気閉じ込め：核融合炉では高温プラズマを磁場で円運動させて閉じ込める（トカマク型）。
磁場中の荷電粒子：$r=mv/(qB)$（半径は速さ・質量に比例）、$T=2\pi m/(qB)$（周期は速さに依存しない）。右手の法則で向きを決める。
磁束密度 $\vec B$（$z$ 方向）、速度 $\vec v = (v_x, v_y, 0)$ の粒子のローレンツ力：
$$\vec F = q\vec v \times \vec B = q(v_x \hat x + v_y \hat y) \times B \hat z = -q v_x B \hat y + q v_y B \hat x$$ $$= qB(v_y, -v_x, 0)$$運動方程式：
$$m \ddot x = q B \dot y$$ $$m \ddot y = -q B \dot x$$角振動数 $\omega = qB/m$ として、複素表記 $w = x + iy$ で：
$$\ddot w = -i \omega \dot w \Rightarrow w(t) = w_0 + \frac{v_0}{i\omega}(1 - e^{-i\omega t})$$これは半径 $r = v_0/\omega = mv_0/(qB)$ の等速円運動。
粒子の軌道を時間反転（逆再生）すると、速度が反転 $\vec v \to -\vec v$。ローレンツ力 $\vec F = q\vec v \times \vec B$ も反転する。つまり粒子は同じ軌道を逆向きに辿る。
一方、磁場を反転 $\vec B \to -\vec B$ しても $\vec F$ が反転するので、粒子は回転方向を反転して同じ半径の円を描く。これを利用して、ユニットを連結した装置内で粒子の経路を設計する。
異なる質量の粒子を同じ速さで磁場中に入射すると、半径 $r = mv/(qB)$ が質量に比例する $\Rightarrow$ 粒子が軌道を描いて落ちる場所が異なる。
これを利用して、同位体の分離や未知粒子の質量測定に使われる（ラザフォード散乱、質量分析計）。$B$ を既知にすれば、$r$ を測ることで $m/q$ を決定できる。
ユニット $S$ の上面から粒子が入射する場合、ユニット内で半円を描くには、半径 $r$ が一辺 $L$ の半分（$L/2$）に等しい必要がある。他の場合：
粒子が特定の経路をたどるには、速さと磁場の強さを $r = L/2$ となるように調整する。連続したユニットを通過させるには、各ユニットで $r = L/2$ を満たしつつ、磁場の向きで回転方向を制御する。
上面中央に入射した粒子（下向き速度 $v$、磁場が紙面裏向き $B$、正電荷 $q$）の円運動の中心は、ローレンツ力の方向にある。$\vec F = q \vec v \times \vec B$ で、$\vec v = -v \hat y$, $\vec B = -B \hat z$：
$$\vec F = q (-v \hat y) \times (-B \hat z) = q v B (\hat y \times \hat z) = q v B \hat x$$つまり右向き $\Rightarrow$ 円の中心は入射点の右 $L/2$ にある $\Rightarrow$ 半円を描いて右面の中央から出る。
磁場だけでなく電場も存在する場合、粒子は以下の複合運動をする：
$$m \frac{d\vec v}{dt} = q (\vec E + \vec v \times \vec B)$$$\vec E$ と $\vec B$ が直交する場合（速度選別器）：$\vec E / |\vec B| = v$ の速度の粒子は直進する（電場と磁場の力がつり合う）。これを利用して特定の速度の粒子だけを取り出せる（質量分析器の入射部）。
サイクロトロン加速器では、2 枚の D 字型電極（ディーズ）間に交流電場を掛け、粒子が半周するたびに加速する。加速電圧 $V$ で、$n$ 回の半周を経た粒子の運動エネルギー：
$$K_n = n \cdot q V$$粒子の速さ $v = \sqrt{2K/m} = \sqrt{2nqV/m}$、半径 $r = mv/(qB) = \sqrt{2nmV/(qB^2)}$。だんだん大きな螺旋を描きながら加速される。
磁場中を流れる電流には、流れる方向と垂直方向にもローレンツ力が働き、電荷が蓄積して電場を生む。これをホール効果という。ホール係数 $R_H = 1/(nq)$（$n$：キャリア密度、$q$：電荷）で、半導体の電荷キャリアの符号と密度を測定できる。
加速器で生成された高エネルギー粒子ビームを磁場で偏向して、複数の実験装置に振り分ける。磁場強度 $B$、距離 $L$ の領域を通ると、出射角度は $\theta \approx qBL/(mv) = L/r$（半径 $r$ 円の円弧に対する中心角）。
粒子識別（PID）：同じ運動量 $p = mv$ でも、飛行時間 $t = L/v$ が質量に依存するので、TOF（Time of Flight）測定で異なる種類の粒子を区別できる。磁場中の円運動半径も同じ原理で使える。