断熱容器 A、B（真空）を細管（コック付き）で結び、A 内に単原子理想気体が体積 $V$、初期温度 $T_0$、圧力 $p_0$ で封入されている。ヒーターで A を加熱したり、B にピストンを付けて圧縮したりする熱力学総合問題。
定積過程：コック閉、ピストンも固定なので体積 $V_A$ は変化しない。仕事 $W = 0$、第一法則：
$$Q = \Delta U + W = \Delta U = \tfrac{3}{2} n R (T_1 - T_0)$$$T_1$ を求める：
$$T_1 - T_0 = \frac{2 Q}{3 n R}$$ $$T_1 = T_0 + \frac{2 Q}{3 n R}$$本問では状態方程式での関係 $p_0 V_0 = n R T_0$ から $n R = p_0 V_0 / T_0$ を使って書き換えることもある。また、問題設定で A の体積を $V$ とすると：
$$T_1 = T_0 \left(1 + \frac{2 Q}{3 p_0 V}\right)$$定積変化は $W=0$ $\Rightarrow$ $Q = \Delta U$。単原子は $\Delta U = \tfrac{3}{2} n R \Delta T$、二原子は $\tfrac{5}{2} n R \Delta T$。
定積変化の場合：$W = 0$、$Q = \Delta U = \tfrac{3}{2} n R (T_1 - T_0)$（上で求めた）。
定圧変化の場合：$W = p_0 \Delta V$、$Q = \Delta U + W = \tfrac{5}{2} n R \Delta T$（モル比熱 $C_p = \tfrac{5}{2} R$）。
問題文で A のピストンが固定（定積）の場合は、気体の外部に対する仕事はゼロ。ヒーターを止めた時点の吸熱は全て内部エネルギー増加に。
気体のする仕事 $W = p \Delta V$（定圧）or $0$（定積）or $\int p \, dV$ 積分（その他）。熱力学第一法則で全体のつじつまを合わせる。
自由膨張：断熱容器、ピストン動かず $\Rightarrow W = 0$、$Q = 0$、$\Delta U = 0 \Rightarrow T$ 不変。体積は $V_A \to V_A + V_B$ に変化。理想気体の状態方程式：
$$p_0 V_A = p_1 (V_A + V_B)$$ $$p_1 = \frac{V_A}{V_A + V_B} p_0$$体積 B が $V/2$、A が $V$ なら（問題の設定）：
$$p_1 = \frac{V}{V + V/2} p_0 = \frac{2}{3} p_0$$断熱圧縮（$pV^\gamma = \text{const}$、$\gamma = 5/3$）：
$$p_1 (V_A + V_B)^{5/3} = p_2 V_2^{5/3}$$$V_2 = 2 V_B$（圧縮後）$= V$（問題の設定）なら：
$$p_2 = p_1 \left(\frac{V + V/2}{V}\right)^{5/3} = p_1 \cdot 1.5^{5/3}$$自由膨張は「真空への突然の膨張」。仕事ゼロ、熱交換ゼロ、内部エネルギー不変で温度不変（ただし不可逆過程）。
等温膨張は「ピストンをゆっくり動かして体積を増やし、同時に熱を外部から供給して温度を一定に保つ」。$Q = W = nRT \ln(V_2/V_1) > 0$。
両者とも理想気体では温度不変だが、エントロピー変化は異なる（自由膨張は $\Delta S > 0$、等温膨張は同じ $\Delta S$ だが周囲へのエントロピー変化が異なる）。
理想気体の自由膨張では $T$ 不変、圧力は体積比に反比例。断熱圧縮では $pV^\gamma$ 一定。
立式の確認：
一方、最初に加熱した状態の温度 $T_1$ が $T_0$ より高いという設定（問題(1)）と比較すると：
$$T_0 < T_1 < T_2 \text{（加熱+膨張+圧縮の場合）}$$断熱圧縮では外部から気体に仕事をする。第一法則 $Q = \Delta U + W$ で $Q = 0$（断熱）、外部の仕事を気体が受けると $W < 0$（気体が外にする仕事が負）$\Rightarrow \Delta U > 0 \Rightarrow T$ 上昇。
エンジンのピストンが燃料を断熱圧縮すると高温になり自己発火する原理（ディーゼルエンジン）。
断熱過程では $T V^{\gamma-1} = \text{const}$（単原子 $\gamma=5/3$、二原子 $\gamma=7/5$）。圧縮で温度上昇、膨張で温度低下。
単原子理想気体（$C_V = \tfrac{3}{2}R$, $C_p = \tfrac{5}{2}R$, $\gamma = 5/3$）における各過程：
$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{過程} & W & Q & \Delta U \\ \hline \text{定積 (V一定)} & 0 & \tfrac{3}{2}nR\Delta T & \tfrac{3}{2}nR\Delta T \\ \hline \text{定圧 (p一定)} & p\Delta V & \tfrac{5}{2}nR\Delta T & \tfrac{3}{2}nR\Delta T \\ \hline \text{等温 (T一定)} & nRT\ln(V_2/V_1) & W & 0 \\ \hline \text{断熱 (Q=0)} & -\Delta U & 0 & \tfrac{3}{2}nR\Delta T \\ \hline \end{array}$$熱力学第一法則 $Q = \Delta U + W$ がすべての過程で成り立つ。過程の種類で「何がゼロになる」を知れば迷わない：定積 $W=0$、等温 $\Delta U = 0$、断熱 $Q = 0$。
どちらも理想気体では温度不変だが、物理的プロセスと可逆性が異なる：
両者の違いはエントロピー変化で現れる。自由膨張では気体のエントロピーが増え、周囲は変わらない（全体でエントロピー増大 $\Rightarrow$ 不可逆）。等温膨張では気体のエントロピー増加と周囲（熱浴）のエントロピー減少が相殺する $\Rightarrow$ 可逆（理想化）。
定積モル比熱 $C_V$ と定圧モル比熱 $C_p$ の関係（マイヤーの関係）：
$$C_p - C_V = R$$比熱比 $\gamma = C_p / C_V$。単原子（He, Ar）は $\gamma = 5/3 \approx 1.67$、二原子（$N_2, O_2$）は $\gamma = 7/5 = 1.4$。これが断熱過程の指数となる。
高温熱源 $T_H$ と低温熱源 $T_L$ の間を等温膨張 → 断熱膨張 → 等温圧縮 → 断熱圧縮で巡回するサイクル。理論効率は：
$$\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$$この効率はすべてのエンジンの上限（熱力学第二法則）。実在のエンジン（オットーサイクル、ディーゼルサイクル）はこれより低い効率。
理想気体の自由膨張・絞り膨張では温度変化ゼロ。しかし実在気体では分子間相互作用のため温度変化する：
ジュール・トムソン係数 $\mu_{JT} = (\partial T/\partial p)_H$ の符号で判定。実用的には液体空気の製造（リンデの装置）に利用される。
熱機関の効率は、吸収熱 $Q_H$ のうち外部仕事 $W$ として取り出せる割合：
$$\eta = \frac{W}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$$Carnot の定理により $\eta \leq 1 - T_L/T_H$。$T_L = 0$（絶対零度）は実現不可能（熱力学第三法則）なので、効率 $100\%$ も不可能。
熱力学第二法則には複数の等価な表現：
可逆過程ではエントロピーは不変、不可逆過程では必ず増大。自由膨張はエントロピー増大、Carnot サイクルは閉サイクルでエントロピー保存（理想）。
理想気体のモル比熱は自由度で決まる：
古典的には「1 自由度あたり $(1/2)kT$ の平均エネルギー」。絶対温度が高いほど各自由度に等しく分配される（エネルギー等分配則）。
理想気体の状態方程式 $pV = nRT$ は分子間相互作用と分子自身の体積を無視した近似。実在気体はファンデルワールス方程式：
$$(p + a/V^2)(V - b) = nRT$$ここで $a$ は分子間引力の補正、$b$ は分子自身の体積。低温・高密度では理想気体近似は外れる（液化・凝固）。高温・低密度では理想気体に近い。
内部エネルギー $U$、エンタルピー $H = U + pV$、ヘルムホルツ自由エネルギー $F = U - TS$、ギブズ自由エネルギー $G = H - TS$。各々が異なる境界条件下での熱平衡を記述する。化学反応や相転移の解析に使われる。
理想気体の圧力は分子の運動量変化の総和。分子が壁と弾性衝突する際、運動量変化 $\Delta p = 2 m v_x$ を壁に与える。単位時間・単位面積あたりの運動量変化：
$$p = \frac{1}{3} n m \overline{v^2}$$ここで $n$ は単位体積あたりの分子数、$\overline{v^2}$ は速度の二乗平均。状態方程式 $pV = nkT$ と結合して：
$$\tfrac{1}{2} m \overline{v^2} = \tfrac{3}{2} k T$$平均運動エネルギーは温度に比例（等分配則）。