解法の指針

(1) — 小惑星の公転周期（ケプラーの第3法則）

小惑星の公転軌道の半径は地球の \(\frac{4}{1}\) 倍の情報は問題文からは読み取れないが、問題文では「小惑星の軌道の手基軸の長さ」が言及される。地球の公転周期を365日とする。

ケプラーの第3法則より：

$$ \frac{T_{\text{ast}}^2}{T_E^2} = \frac{a_{\text{ast}}^3}{a_E^3} $$ $$ T_{\text{ast}} = T_E \left(\frac{a_{\text{ast}}}{a_E}\right)^{3/2} $$

問題文の数値（軌道半径比）を代入して計算する。

(2) — 自己誘導（コイルの誘導起電力とエネルギー）

10 Aの直流電流を0.25秒かけて0にしたとき、72 Vの誘導起電力が生じた。

$$ V = L\frac{\Delta I}{\Delta t} = L \times \frac{10}{0.25} = 40L $$ $$ 72 = 40L \implies L = 1.8 \text{ H} $$

10 A流れているときの磁場エネルギー：

$$ U = \frac{1}{2}LI^2 = \frac{1}{2} \times 1.8 \times 10^2 = 90 \text{ J} $$

(3) — うなりと振動数の決定

おんさの振動数は未知。Bの振動数は415 Hz、Cの振動数は420 Hz。

BとCを同時に鳴らすと毎秒 \(|420 - 415| = 5\) 回のうなりが聞こえる。

AとBを同時に鳴らすと毎秒2回のうなりが聞こえる → \(|f_A - 415| = 2\)。

AとCを同時に鳴らすと毎秒3回の「なり」が聞こえるとき → \(|f_A - 420| = 3\)。

AとBで2回：\(f_A = 413\) または \(f_A = 417\)

AとCで確認：

• \(f_A = 413\) なら \(|413 - 420| = 7\) → 不一致
• \(f_A = 417\) なら \(|417 - 420| = 3\) → 3回のうなりで一致

補足：うなりの周波数の導出

振動数 \(f_1, f_2\) の音の合成は \(\cos(2\pi f_1 t) + \cos(2\pi f_2 t) = 2\cos\left(\pi(f_1-f_2)t\right)\cos\left(\pi(f_1+f_2)t\right)\)。包絡線の振動数は \(|f_1-f_2|\) であり、これが1秒間に聞こえるうなりの回数。

(4) — 光電効果（限界振動数と仕事関数）

限界波長 \(\lambda_0 = 5.3 \times 10^{-7}\) m より短い波長の光で電子が放出される。

限界振動数：

$$ \nu_0 = \frac{c}{\lambda_0} = \frac{3.0 \times 10^8}{5.3 \times 10^{-7}} \fallingdotseq 5.66 \times 10^{14} \text{ Hz} $$

仕事関数：

$$ W = h\nu_0 = 6.6 \times 10^{-34} \times 5.66 \times 10^{14} \fallingdotseq 3.7 \times 10^{-19} \text{ J} $$ $$ W = \frac{3.7 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \fallingdotseq 2.3 \text{ eV} $$

補足：光電効果のアインシュタインの式

アインシュタインの光電効果の式：\(h\nu = W + K_{\max}\)。光子エネルギーが仕事関数を超えた分が電子の最大運動エネルギーになる。\(\nu < \nu_0\) では光の強度をいくら上げても電子は放出されない（光量子説の核心）。