水平板上を等速円運動する小球と，下に吊り下げられたおもりが一本の糸でつながれた系を扱う問題です。 糸の伸び・質量を無視し，円運動の条件とおもり側の運動方程式を組み合わせることで， 系全体の運動を記述します。
水平な板の中央に穴があり，そこに糸が通っている。板の上では質量 \(m\) の小球が， 穴の位置（中心 O）から距離 \(r\) のところを角速度 \(\omega\) で等速円運動している。 糸は板の下に降り，その先に質量 \(M\) のおもりがついている。
糸の長さは一定なので，おもりが鉛直方向に動くと小球の円軌道の半径 \(r\) も変わる。 状態Aではおもりは \(x=L\) で静止し，小球は半径 \(r\)・角速度 \(\omega\) で円運動している。
具体的な計算：例えば m = 2.0 kg、F = 6.0 N のとき、a = F/m = 6.0/2.0 = 3.0 m/s² である。t = 4.0 s 後の速度は v = 3.0 × 4.0 = 12 m/s、運動エネルギーは K = 0.5 × 2.0 × 144 = 144 J となる。
糸の長さ一定の拘束条件「おもりが下がる量 = 半径が縮む量」が，この問題全体を貫くキーとなる。
状態Aでは，小球は半径 \(r\)，角速度 \(\omega\) の等速円運動をしている。 円運動の速さは「半径 × 角速度」なので， \[ \textbf{(あ)}\quad v = r\omega \] である。
運動エネルギーは \(K = \dfrac{1}{2}mv^2\) に \(v = r\omega\) を代入して， \[ K = \frac12 m (r\omega)^2 = \frac12 m r^2\omega^2 \] したがって \[ \textbf{(い)}\quad K = \frac12 m r^2\omega^2 \] である。
小球とともに回転する観測者から見ると，小球には外向きの遠心力がはたらく。 等速円運動では遠心力の大きさは \(m\,\times\,\text{半径}\,\times\,\omega^2\) なので， \[ \textbf{(う)}\quad F_{\text{c}} = m r \omega^2 \] である。この遠心力と糸の張力 \(T\) がつりあっている（\(T = mr\omega^2\)）。
おもりを鉛直下向きに \(\Delta r\) だけゆっくり動かした結果，小球の半径は \(r-\Delta r\)，角速度は \(\omega+\Delta\omega\) になったとする。 このときの運動エネルギーは， \[ K' = \frac12 m (r-\Delta r)^2 (\omega+\Delta\omega)^2 \] なので， \[ \textbf{(え)}\quad K' = \frac12 m (r-\Delta r)^2 (\omega+\Delta\omega)^2 \] である。したがって運動エネルギーの変化は \[ \Delta E = K' - K = K' - \frac12 m r^2\omega^2 \] となる。
\(\Delta r/r\)，\(\Delta\omega/\omega\) は十分小さいとする。問題で与えられた近似式 \((1+z)^a \simeq 1 + az\)（\(|z| \ll 1\)）を使う。
\((r-\Delta r)^2 = r^2\left(1 - \dfrac{\Delta r}{r}\right)^2 \simeq r^2\left(1 - 2\dfrac{\Delta r}{r}\right)\)，
\((\omega+\Delta\omega)^2 = \omega^2\left(1 + \dfrac{\Delta\omega}{\omega}\right)^2 \simeq \omega^2\left(1 + 2\dfrac{\Delta\omega}{\omega}\right)\) より，
\[
(r-\Delta r)^2(\omega+\Delta\omega)^2
\simeq r^2\omega^2\left(1 - 2\frac{\Delta r}{r}\right)\left(1 + 2\frac{\Delta\omega}{\omega}\right)
\]
\(\dfrac{\Delta r}{r}\cdot\dfrac{\Delta\omega}{\omega}\) の項は十分小さいとして無視すると，
\[
\simeq r^2\omega^2\left(1 - 2\frac{\Delta r}{r} + 2\frac{\Delta\omega}{\omega}\right)
\]
よって
\[
K' = \frac12 m (r-\Delta r)^2(\omega+\Delta\omega)^2
\simeq \frac12 m r^2\omega^2\left(1 - 2\frac{\Delta r}{r} + 2\frac{\Delta\omega}{\omega}\right)
\]
\(K = \dfrac12 m r^2\omega^2\) だから，
\[
\Delta E = K' - K
\simeq \frac12 m r^2\omega^2\left(- 2\frac{\Delta r}{r} + 2\frac{\Delta\omega}{\omega}\right)
= m r^2\omega^2\left(\frac{\Delta\omega}{\omega} - \frac{\Delta r}{r}\right)
\]
問題文では \(\Delta E \simeq \textbf{(い)} \times \textbf{(ア)}\) と書くので，
\(\dfrac12 m r^2\omega^2 \times \textbf{(ア)} = m r^2\omega^2\left(\dfrac{\Delta\omega}{\omega} - \dfrac{\Delta r}{r}\right)\) より
\[
\textbf{(ア)}\quad 2\,\frac{\Delta\omega}{\omega} - 2\,\frac{\Delta r}{r}
\]
となる（選択肢からこの形のものを選ぶ）。
この関係式 \(-2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta\omega}{\omega} = 0\) を導くには、主に2つの考え方があります。 問題の流れ（エネルギー変化）に沿った方法と、物理的背景（角運動量保存）に基づく方法です。
導かれた式 \(-2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta\omega}{\omega} = 0\) を変形すると、
\[
\frac{\Delta\omega}{\omega} = 2\frac{\Delta r}{r}
\]
となります。これは、「半径 \(r\) が微小に減った割合（\(\Delta r/r\)）の2倍だけ、角速度 \(\omega\) の割合（\(\Delta\omega/\omega\)）が増える」ことを意味します。
角運動量 \(L \propto r^2\omega\) において、\(r\) が減ると \(r^2\) は大きく減りますが、その分 \(\omega\) が増えて積を一定に保っている状態（保存則）を、微分形式（変化率の式）で表したものがこの数式です。
おもりを \(\Delta r\) だけ下げるとき、小球は半径 \(r\) から \(r-\Delta r\) へと中心向きに移動します。 このとき、小球にはたらく張力 \(T\) は中心向きなので、小球に対して正の仕事をします。 微小変化なので張力は一定 \(T \simeq m r\omega^2\) とみなすと、仕事 \(W\) は \[ W = \text{力} \times \text{移動距離} = (m r\omega^2) \times \Delta r \] この仕事が運動エネルギーの変化 \(\Delta E\) に等しい（\(\Delta E = W\)）ので、 先ほど求めた \(\Delta E \simeq m r^2\omega^2\left(\frac{\Delta\omega}{\omega} - \frac{\Delta r}{r}\right)\) を代入して、 \[ m r^2\omega^2\left(\frac{\Delta\omega}{\omega} - \frac{\Delta r}{r}\right) = m r\omega^2\,\Delta r \] 両辺を \(m r^2\omega^2\) で割ると、 \[ \frac{\Delta\omega}{\omega} - \frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta r}{r} \quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta\omega}{\omega} = 2\,\frac{\Delta r}{r} \] 移項して整理すると、 \[ \textbf{(イ)}\quad -2\,\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta\omega}{\omega} = 0 \] となります。
なぜこの関係式が成り立つのか、力学的な保存則から理解してみましょう。 小球にはたらく力は、糸の張力のみ（水平面内）です。張力は常に円運動の中心 O を向いています（中心力）。 中心 O のまわりの「力のモーメント \(N\)」を考えると、力 \(T\) の作用線が中心を通るため、腕の長さが 0 となり、 \[ N = 0 \] となります。回転の運動方程式 \(\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{N}\) より、力のモーメントが 0 ならば角運動量 \(\boldsymbol{L}\) は時間的に変化せず保存されます。
円運動する質点の角運動量の大きさは \(L = mvr = m(r\omega)r = m r^2\omega\) です。これが変化しないので、 \[ m r^2\omega = \text{一定} \] 操作後の状態（半径 \(r-\Delta r\)，角速度 \(\omega+\Delta\omega\)）でも角運動量は変わらないので、 \[ m(r-\Delta r)^2(\omega+\Delta\omega) = m r^2\omega \] 近似式 \((1+x)^n \simeq 1+nx\) を使って展開します。 \((r-\Delta r)^2 = r^2\left(1 - \frac{\Delta r}{r}\right)^2 \simeq r^2\left(1 - 2\frac{\Delta r}{r}\right)\) なので、 \[ m r^2\left(1 - 2\frac{\Delta r}{r}\right)\omega\left(1 + \frac{\Delta\omega}{\omega}\right) = m r^2\omega \] 両辺を \(m r^2\omega\) で割ると、 \[ \left(1 - 2\frac{\Delta r}{r}\right)\left(1 + \frac{\Delta\omega}{\omega}\right) = 1 \] 展開して2次の微小項（\(\frac{\Delta r}{r}\cdot\frac{\Delta\omega}{\omega}\)）を無視すると、 \[ 1 - 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta\omega}{\omega} = 1 \quad\Rightarrow\quad -2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta\omega}{\omega} = 0 \] となります。
中心力のもとでは角運動量 \(mr^2\omega\) が保存される。微小変化の近似では \((1+z)^a \simeq 1+az\) を繰り返し使い，2次の微小項を落とす。仕事＝運動エネルギー変化からも同じ関係式を導ける。
$$ F = ma $$
$$ v = v_0 + at $$
$$ K = \frac{1}{2}mv^2 $$
円軌道の中心を原点 O，鉛直下向きを \(x\) 軸の正の向きとする。 状態Aではおもりの位置は \(x=L\) で，重力 \(Mg\) と糸の張力 \(T\) がつりあって静止している。
おもりの運動方程式（下向き正）は \(Ma = -T + Mg\)。つり合いでは \(a=0\) なので \[ T = Mg \] 小球の円運動では張力が向心力になるので \(T = mr\omega^2\)。以上より \[ Mg = mr\omega^2 \quad\Rightarrow\quad r = \frac{Mg}{m\omega^2} \] したがって，つり合い状態での円軌道の半径は \[ \textbf{(お)}\quad r = \frac{Mg}{m\omega^2} \] である（\(M,\,m,\,\omega,\,g\) のみで表す）。
つり合い位置からおもりを \(x\) 軸正の向きに \(d\) だけ移動させて静かに手を離す。 糸の長さ一定なので，おもりが \(x = L + \Delta r\) にあるとき，小球の円軌道の半径は \(r - \Delta r\)，角速度は \(\omega + \Delta\omega\) である（\(d\) が十分小さいとき，この \(\Delta r\) が変位として扱える）。
おもりの運動方程式（下向き正）：\(Ma = -T + Mg\)。
小球（回転座標系で見た半径方向）：張力と遠心力で \(ma_r = -T + m(r-\Delta r)(\omega+\Delta\omega)^2\)。糸の長さ一定より \(x + r = \text{一定}\) なので \(a_r = -a\)。この2式から張力 \(T\) を消すと
\[
(M+m)a = Mg - m(r-\Delta r)(\omega+\Delta\omega)^2
\]
となる。したがっておもりにはたらく合力（鉛直下向き正）は
\[
F = Mg - T = Mg - m(r-\Delta r)(\omega+\Delta\omega)^2
\]
であり，
\[
\textbf{(ウ)}\quad F = Mg - m(r-\Delta r)(\omega+\Delta\omega)^2
\]
と表せる。つまり「質量 \(M+m\) の質点が力 \(F = Mg - \textbf{(ウ)}\) を受けて運動する」のと同じ，という問題文の議論である。
\(\Delta r/r\)，\(\Delta\omega/\omega\) は十分小さいとする。関係式 \(\dfrac{\Delta\omega}{\omega} = 2\dfrac{\Delta r}{r}\)（イ = 0）を使う。
\((1+z)^a \simeq 1+az\) より， \[ (r-\Delta r)(\omega+\Delta\omega)^2 = r\left(1 - \frac{\Delta r}{r}\right) \cdot \omega^2\left(1 + \frac{\Delta\omega}{\omega}\right)^2 \simeq r\omega^2\left(1 - \frac{\Delta r}{r}\right)\left(1 + 2\,\frac{\Delta\omega}{\omega}\right) \] \(\dfrac{\Delta\omega}{\omega} = 2\dfrac{\Delta r}{r}\) なので \(1 + 2\dfrac{\Delta\omega}{\omega} = 1 + 4\dfrac{\Delta r}{r}\)。よって \[ \left(1 - \frac{\Delta r}{r}\right)\left(1 + 4\,\frac{\Delta r}{r}\right) \simeq 1 - \frac{\Delta r}{r} + 4\,\frac{\Delta r}{r} = 1 + 3\,\frac{\Delta r}{r} \] したがって \[ m(r-\Delta r)(\omega+\Delta\omega)^2 \simeq m r\omega^2\left(1 + 3\,\frac{\Delta r}{r}\right) = mr\omega^2 + 3m\omega^2\,\Delta r \] つり合いで \(Mg = mr\omega^2\) なので， \[ F = Mg - m(r-\Delta r)(\omega+\Delta\omega)^2 \simeq Mg - (mr\omega^2 + 3m\omega^2\,\Delta r) = -3m\omega^2\,\Delta r \] 問題文では \(F \simeq -Mg \times \textbf{(エ)}\) の形で書く。 \(Mg = mr\omega^2\) なので \(-3m\omega^2\,\Delta r = -3\,\dfrac{mr\omega^2}{r}\,\Delta r = -Mg \cdot \dfrac{3\Delta r}{r}\) と書ける。したがって \[ \textbf{(エ)}\quad \frac{3\Delta r}{r} \] である（\(F \simeq -Mg \times \dfrac{3\Delta r}{r} = -3m\omega^2\,\Delta r\)）。
おもりと小球は糸でつながれているので，加速度の大きさは等しい（\(a_r = -a\) の関係）。 系全体の運動方程式は \((M+m)a = F\) で，\(F \simeq -3m\omega^2\,\Delta r\) だったから， \[ (M+m)a = -3m\omega^2\,\Delta r \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{3m\omega^2}{M+m}\,\Delta r \] 関係式 イ = 0 を用いると，\(\Delta r\) がおもりのつり合い位置からの変位なので， \[ a = -\textbf{(か)}\,\Delta r \quad\text{ただし}\quad \textbf{(か)} = \frac{3m\omega^2}{M+m} \] これは単振動の加速度 \(a = -\Omega^2 \times \text{（変位）}\) の形である（\(\Omega^2 = \textbf{(か)}\)）。
単振動の角振動数は \(\Omega = \sqrt{\textbf{(か)}} = \sqrt{\dfrac{3m\omega^2}{M+m}} = \omega\sqrt{\dfrac{3m}{M+m}}\) なので， 周期は \[ \textbf{(き)}\quad T = \frac{2\pi}{\Omega} = \frac{2\pi}{\omega}\sqrt{\frac{M+m}{3m}} \] である。
初期条件：おもりを \(x = L + d\) まで下げて静かに離すので，変位の基準を \(x=L\) にとると， 初期変位は \(d\)，初期速度は 0 である。つまり振幅 \(d\) の単振動になる。
単振動では，変位が 0 のとき（つり合い位置を通るとき）に速さが最大になる。 したがって，おもりが位置 \[ \textbf{(オ)}\quad x = L \] を通過するときに速さは最大である。
単振動の最大速さは \(v_{\max} = \Omega \times \text{（振幅）}\) なので， \[ \textbf{(く)}\quad v_{\max} = \Omega\,d = \omega\,d\,\sqrt{\frac{3m}{M+m}} \] である（\(M,\,m,\,\omega,\,d\) のみで表す）。
(お) \(r = \dfrac{Mg}{m\omega^2}\)， (か) \(\dfrac{3m\omega^2}{M+m}\)， (き) \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\sqrt{\dfrac{M+m}{3m}}\)， (オ) \(x = L\)， (く) \(v_{\max} = \omega d\sqrt{\dfrac{3m}{M+m}}\)
数値例：質量 \(m = 2.0\) kg の物体に力 \(F = 6.0\) N を加えると、加速度は
\(a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{6.0}{2.0} = 3.0\) m/s²
\(t = 4.0\) s 後の速度は \(v = at = 3.0 \times 4.0 = 12\) m/s、運動エネルギーは \(K = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2} \times 2.0 \times 12^2 = 144\) J
微小変位に対する復元力 \(F = -3m\omega^2 \Delta r\) が変位に比例するので単振動になる。角振動数 \(\Omega = \omega\sqrt{3m/(M+m)}\) から周期と最大速さが求まる。
| (あ) rω | (い) ½mr²ω² | (う) mrω² | (え) ½m(r−Δr)²(ω+Δω)² |
| (お) Mg/(mω²) | (か) 3mω²/(M+m) | (オ) L | |
| (き) (2π/ω)√((M+m)/(3m)) | (く) ωd√(3m/(M+m)) | ||
円運動の向心力条件 \(T=mr\omega^2\) とおもり側のつり合い \(Mg=T\) を結びつけ，微小変化の近似で復元力を導き，単振動の公式に帰着させるのがこの問題の全体的な流れ。