本問は、2つの質点がばねでつながれた系が自然長になるまで圧縮された状態から解放された後の運動を解析する問題です。換算質量と重心座標を用いて2体問題を1体問題へ分離するのが定石です。
ばねを自然長から $x_0$ だけ縮めるとき、ばねを戻そうとする弾性力 $F = kx$ に逆らって外力 $kx$ で $x_0$ まで変位させる仕事が、そのまま弾性ポテンシャルエネルギー $U_{\text{弾}}$ として蓄えられます。
仕事の定義より、力 $F(x) = kx$ を $x = 0$ から $x = x_0$ まで積分すると：
$$U_{\text{弾}} = \int_0^{x_0} kx \, dx = \left[\frac{1}{2}kx^2\right]_0^{x_0} = \frac{1}{2}kx_0^2$$これは「フックの力 vs. 変位」グラフの三角形の面積に対応し、高校物理で暗記必須の公式です。
小球A・Bの位置を $x_A, x_B$ とし、ばねの自然長を $L_0$ とします。ばねの伸びは $\ell = x_B - x_A - L_0$。
ばねが伸びているとき（$\ell > 0$）、Aには右向きに $k\ell$、Bには左向きに $k\ell$ の力が働きます。運動方程式は：
$$m_A \ddot{x}_A = +k(x_B - x_A - L_0) = +k\ell$$ $$m_B \ddot{x}_B = -k(x_B - x_A - L_0) = -k\ell$$この2式が求める運動方程式です。作用・反作用の法則により、2式の右辺は大きさが等しく向きが逆になっています。
問2の運動方程式 $m_A \ddot{x}_A + m_B \ddot{x}_B = 0$ を時間で積分すると：
$$m_A \dot{x}_A + m_B \dot{x}_B = \text{const.}$$これは運動量保存則です。初期条件として系全体が静止しているなら const. $= 0$ となり、重心速度 $v_G = \dfrac{m_A \dot{x}_A + m_B \dot{x}_B}{m_A + m_B} = 0$。
したがって重心の運動エネルギーは：
$$K_G = \frac{1}{2}(m_A + m_B)v_G^2 = 0$$König の定理により、総運動エネルギーは：
$$K = \frac{1}{2}(m_A + m_B)v_G^2 + \frac{1}{2}\mu v_{\text{rel}}^2$$ここで $\mu = \dfrac{m_A m_B}{m_A + m_B}$ は換算質量、$v_{\text{rel}} = \dot{x}_B - \dot{x}_A$ は相対速度。
重心が静止する今回は第1項が 0 なので：
$$K_{\text{rel}} = \frac{1}{2}\mu (\dot{x}_B - \dot{x}_A)^2$$相対座標 $\ell = x_B - x_A - L_0$ について運動方程式を作ると：
$$\ddot{\ell} = \ddot{x}_B - \ddot{x}_A = -\frac{k\ell}{m_B} - \frac{k\ell}{m_A} = -k\left(\frac{1}{m_A}+\frac{1}{m_B}\right)\ell$$ $$\ddot{\ell} = -\frac{k}{\mu}\ell$$これは角振動数 $\omega = \sqrt{k/\mu}$ の単振動方程式。周期は：
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m_A m_B}{k(m_A + m_B)}}$$図2より、小球Bの重心からの変位振幅が $A_B = \ell/2$（問題の図から読み取り）であることが分かります。重心の位置が $x = L_0$ に固定されているという情報と合わせると：
重心の保存から：$m_A (x_A - x_G) + m_B (x_B - x_G) = 0$
$$\text{振幅について：}\quad m_A A_A = m_B A_B \quad\Rightarrow\quad \frac{A_A}{A_B} = \frac{m_B}{m_A}$$図2から $A_A = \ell/2$, $A_B = \ell/2$ が読み取れる場合、$m_A = m_B$ となります。
相対座標の時間変化は：
$$\ell(t) = A_{\text{rel}} \cos\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$$ここで $A_{\text{rel}} = $ 初期の相対変位。これを使ってA・Bそれぞれの位置：
$$x_A(t) = x_G - \frac{m_B}{m_A + m_B} \ell(t), \quad x_B(t) = x_G + \frac{m_A}{m_A + m_B} \ell(t)$$周期 $T$ の関数として、これを $\sqrt{2}$ 倍で記述できる表現があるかどうかは、問題の具体的要求（$\sqrt{2}$ が現れる条件）から：
$$t = \frac{T}{4}\text{ のとき}\quad \ell(t) = 0\quad\text{で}\quad \dot{\ell} = -A\omega$$即ち、$\sqrt{2}$ が現れるのは $t = T/8$（位相 $\pi/4$）のとき：$\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$。
壁が左端にあり、小球Aが壁に速度 $-v$ で衝突する場合：弾性衝突なら速度は $+v$ に反転。小球Bは変化なし（壁から遠いため）。
衝突前：$v_A = -v, v_B = +v$（相対速度 $2v$）
衝突後：$v_A = +v, v_B = +v$（重心速度 $v$、相対速度 0）
重心が動き出すが、ばねによる単振動は同じ周期で続行。運動量保存と力学的エネルギー保存を組み合わせると、衝突後の系は壁から遠ざかる運動になります。
衝突直後：$v_A = v_B = v$、ばねは自然長。ここから「重心は等速 $v$ で運動」、「相対運動は静止状態から始まる」……と思いきや、実は問題設定により衝突はばねが自然長から伸びた状態で起きることもあります。
問題は「壁に離れる方向で衝突するまでの時間・距離」を問うています。詳細は問題文による。衝突後の運動パターンは：
位置変数 $(x_A, x_B)$ から重心座標 $X$ と相対座標 $r$ へ変換：
$$X = \frac{m_A x_A + m_B x_B}{m_A + m_B}, \quad r = x_B - x_A$$逆変換：$x_A = X - \dfrac{m_B}{m_A+m_B}r$, $x_B = X + \dfrac{m_A}{m_A+m_B}r$
運動方程式は完全に分離：
$$M \ddot{X} = 0 \quad\text{（重心は等速）}$$ $$\mu \ddot{r} = -k(r - L_0) \quad\text{（相対座標は単振動）}$$ここで $M = m_A + m_B$（全質量）、$\mu = \dfrac{m_A m_B}{m_A+m_B}$（換算質量）。
全運動エネルギー：
$$K = \frac{1}{2}m_A\dot{x}_A^2 + \frac{1}{2}m_B\dot{x}_B^2 = \frac{1}{2}M\dot{X}^2 + \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2$$第1項が重心運動、第2項が相対運動。König の定理の本質。
HCl 分子（水素原子 H と塩素原子 Cl）の振動モード：
$$\mu_{HCl} = \frac{m_H m_{Cl}}{m_H + m_{Cl}} \approx m_H = 1 \text{ amu}$$（塩素が水素よりずっと重いので、換算質量は水素原子の質量に近い）
結合定数 $k \sim 500$ N/m なら、振動数：
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}} \approx 5 \times 10^{14}\text{ rad/s}$$波長 $\lambda = 2\pi c/\omega \approx 4$ μm の赤外線を吸収する（実測値とほぼ一致）。