理工 大問〔Ⅰ〕：力学（衝突と運動量保存）

解法の全体像

直感的理解
ビリヤードで球をぶつけたとき、ぶつかった球が止まって相手だけ飛んでいくのは弾性衝突に近い状態です。反発係数が1未満なら両方とも動き続けます。

この問題は、水平面上での2物体の衝突を扱います。 運動量保存則とエネルギーの関係を正しく使い分けることが鍵です。

力学的エネルギー保存則と運動量保存則を組み合わせて衝突後の速度を求める。
反発係数の条件から完全非弾性衝突かどうかを判定する。

運動量保存則の適用

直感的理解
外力がなければ「全体の勢い（運動量）」は変わらない。衝突の前後で運動量の合計は一定です。

条件：質量 2.0 kg と 1.0 kg の衝突、初速 3.0 m/s、反発係数 0.80。

質量 \(m_1 = 2.0\,\text{kg}\) の物体が速度 \(v_0 = 3.0\,\text{m/s}\) で静止している質量 \(m_2 = 1.0\,\text{kg}\) の物体に衝突する場合（反発係数 \(e = 0.80\)）：

運動量保存則：

$$m_1 v_0 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \quad \Rightarrow \quad 2.0 \times 3.0 = 2.0v_1 + 1.0v_2$$

反発係数の定義：

$$e = \frac{v_2 - v_1}{v_0} \quad \Rightarrow \quad 0.80 = \frac{v_2 - v_1}{3.0}$$

この2式を連立して解くと：

$$v_2 - v_1 = 2.4 \quad \text{かつ} \quad 2v_1 + v_2 = 6.0$$ $$v_1 = \frac{6.0 - 2.4}{3} = 1.2\,\text{m/s}, \quad v_2 = 1.2 + 2.4 = 3.6\,\text{m/s}$$
Point

反発係数 \(e=1\) なら弾性衝突（運動エネルギー保存）、\(e=0\) なら完全非弾性衝突（一体化）。この問題では \(0 < e < 1\) の一般的な場合を扱う。

エネルギー損失の計算

衝突前後の運動エネルギーの差（損失）は：

$$ \Delta K = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}(1 - e^2) v_0^2 $$

具体的な計算：

$$\Delta K = \frac{1}{2} \times \frac{2.0 \times 1.0}{2.0 + 1.0} \times (1 - 0.80^2) \times 3.0^2 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times 0.36 \times 9.0 = 1.08\,\text{J}$$

衝突前の運動エネルギー $K_0 = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 9.0 = 9.0\,\text{J}$ に対し、損失は約 $12\%$ です。

📐 衝突後の運動エネルギーの確認

$K_1 = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 1.2^2 = 1.44\,\text{J}$、$K_2 = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 3.6^2 = 6.48\,\text{J}$

$K_1 + K_2 = 7.92\,\text{J}$、$K_0 - (K_1+K_2) = 9.0 - 7.92 = 1.08\,\text{J}$ で公式の結果と一致。

まとめ