設問(1)で求めた $t = \frac{v-u}{a}$ を使い、$l = ut + \frac{1}{2}at^2$ に代入しても同じ結果が得られます：

$$ l = u \cdot \frac{v-u}{a} + \frac{1}{2}a\left(\frac{v-u}{a}\right)^2 = \frac{u(v-u)}{a} + \frac{(v-u)^2}{2a} = \frac{2u(v-u) + (v-u)^2}{2a} = \frac{(v-u)(2u + v - u)}{2a} = \frac{(v-u)(v+u)}{2a} = \frac{v^2 - u^2}{2a} $$

等加速度運動の平均速度は $\bar{v} = \dfrac{u+v}{2}$ です。列車の通過時間 $t = \dfrac{v-u}{a}$ を使うと：

$$ l = \bar{v} \times t = \frac{u+v}{2} \times \frac{v-u}{a} = \frac{(u+v)(v-u)}{2a} = \frac{v^2 - u^2}{2a} $$

同じ結果を平均速度の考え方で確認できます。等加速度運動では平均速度が $\frac{u+v}{2}$ になることを知っていれば、暗算でも求められる便利な方法です。

等加速度運動において $v = u + at$ より $\dfrac{dv}{dt} = a$ なので、$dt = \dfrac{dv}{a}$ です。また $v = \dfrac{dx}{dt}$ より $dx = v\,dt = \dfrac{v}{a}\,dv$ が成り立ちます。

前端がA地点（速さ $u$）から $\dfrac{l}{2}$ だけ進んで中点がAに達したとき、前端の速さを $v'$ とすると：

$$ \int_0^{l/2} dx = \int_u^{v'} \frac{v}{a}\,dv $$ $$ \frac{l}{2} = \frac{1}{a}\left[\frac{v^2}{2}\right]_u^{v'} = \frac{v'^2 - u^2}{2a} $$

ここで $l = \dfrac{v^2 - u^2}{2a}$ を代入すると：

$$ \frac{v^2 - u^2}{4a} = \frac{v'^2 - u^2}{2a} $$ $$ v'^2 - u^2 = \frac{v^2 - u^2}{2} \quad \Longrightarrow \quad v'^2 = u^2 + \frac{v^2 - u^2}{2} = \frac{u^2 + v^2}{2} $$ $$ v' = \sqrt{\frac{u^2 + v^2}{2}} $$

微積分を使うと、速度と位置の関係を変数変換で直接結びつけることができます。

中点がA地点を通過する速さ $v' = \sqrt{\dfrac{u^2 + v^2}{2}}$ は、$u$ と $v$ の二乗平均平方根（RMS）です。一方、時間の中間点での速さは算術平均 $\bar{v} = \dfrac{u+v}{2}$ です。

二乗平均と算術平均の間には常に次の不等式が成り立ちます（等号は $u = v$ のとき）：

$$ v' = \sqrt{\frac{u^2 + v^2}{2}} \geq \frac{u+v}{2} = \bar{v} $$

物理的意味：加速中の列車は後半ほど速いため、距離の中間点に到達するのは時間の中間点より早く、その時点での速さは算術平均よりも大きくなります。「距離の中間点」と「時間の中間点」を区別することが重要です。

この問題では「A地点を通過する」と「列車の長さ $l$ を通過する」という2つの概念が混在しています。

• 地点の通過：前端がAに来てから後端がAを過ぎるまで → 前端は $l$ だけ移動
• 中点の通過：前端がAに来てから中点がAに来るまで → 前端は $l/2$ だけ移動

いずれも前端の運動に着目して、前端の移動距離と等加速度の公式を組み合わせるのがポイントです。「どの部分がどの地点を通過するか」を正確に把握しましょう。