[ア][イ]　加速度を求める

物体Aの加速度 [ア]：

グラフより、物体Aの速度は時間によらず一定（$v_A = 2$ m/s の水平線）です。速度が変化しないので、

$$a_A = 0$$

物体Bの加速度 [イ]：

立式：$v$-$t$ グラフの傾きが加速度です。

$$a_B = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

数値代入：グラフより $t=0$ で $v_B = 6$ m/s、$t=4$ s で $v_B = 2$ m/s（Aとの交点）を代入すると

$$a_B = \frac{2 - 6}{4 - 0} = \frac{-4}{4} = -1.0 \text{ m/s}^2$$

[ウ]　$t=2$ s における距離

$v$-$t$ グラフの面積で変位を求める：

$t=0$ ～ $2$ s の物体Aの変位（長方形の面積）：

$$x_A = v_A \times t = 2 \times 2 = 4 \text{ m}$$

$t=0$ ～ $2$ s の物体Bの変位（台形の面積）：

数値代入：$t=0$ で $v_B = 6$ m/s、$t=2$ s で $v_B = 6 + (-1.0) \times 2 = 4$ m/s なので

$$x_B = \frac{(v_{B,\text{初}} + v_{B,\text{終}})}{2} \times t = \frac{(6 + 4)}{2} \times 2 = 5 \times 2 = 10 \text{ m}$$

$t=0$ で同じ位置にいたので、$t=2$ s での距離は：

$$x_B - x_A = 10 - 4 = 6 \text{ m}$$

[エ][オ]　再び同じ位置になる時刻と相対速度

[エ] 再び同じ位置になる時刻：

立式：物体Aの変位と物体Bの変位を等しいとおきます。

$$x_A(t) = 2t, \qquad x_B(t) = 6t - \frac{1}{2}(1.0)\,t^2 = 6t - 0.50\,t^2$$

$x_A(T) = x_B(T)$ とすると：

$$2T = 6T - 0.50\,T^2$$ $$0.50\,T^2 - 4T = 0$$ $$T(0.50\,T - 4) = 0$$

$T = 0$（初期状態）以外の解は：

$$0.50\,T = 4 \quad \Rightarrow \quad T = 8 \text{ s}$$

[オ] $t=8$ s におけるBに対するAの相対速度：

数値代入：$t=8$ s での各物体の速度を求めます。

$$v_A(8) = 2 \text{ m/s}$$ $$v_B(8) = 6 + (-1.0) \times 8 = 6 - 8 = -2 \text{ m/s}$$

Bに対するAの相対速度は：

$$v_{A/B} = v_A - v_B = 2 - (-2) = 4 \text{ m/s}$$

[ウ] 別解：積分による距離の計算

$t=0$ ～ $2$ s における2物体の距離は、速度差の積分で直接求められます：

$$x_B(2) - x_A(2) = \int_0^2 \bigl(v_B(t) - v_A(t)\bigr)\,dt = \int_0^2 \bigl((6-t) - 2\bigr)\,dt = \int_0^2 (4-t)\,dt$$ $$= \left[4t - \frac{t^2}{2}\right]_0^2 = \left(8 - 2\right) - 0 = 6 \text{ m}$$

直感的理解（積分の視点）

2物体の距離の変化は、速度差 $v_B - v_A$ の積分で求められます。$v$-$t$ グラフ上では、BのグラフとAのグラフに挟まれた面積が距離の変化量に対応します。$t=0$ ～ $2$ s では常に $v_B > v_A$ なので、Bの方が多く進み、距離は正です。

[エ] 別解：積分で再会条件を導出

2物体が再び同じ位置に来る条件は、変位の差が $0$ になること、すなわち速度差の積分が $0$ になることです：

$$\int_0^T \bigl(v_B(t) - v_A(t)\bigr)\,dt = 0$$ $$\int_0^T (4 - t)\,dt = 0$$ $$\left[4t - \frac{t^2}{2}\right]_0^T = 4T - \frac{T^2}{2} = 0$$ $$\frac{T(8 - T)}{2} = 0$$

$T = 0$（初期状態）以外の解は $T = 8$ s です。

直感的理解（積分の視点）

$v$-$t$ グラフで「Bの方が速い区間の面積」と「Aの方が速い区間の面積」が等しくなるとき、合計の変位が一致します。$t=0$ ～ $4$ s ではBの方が速く離れ、$t=4$ ～ $8$ s ではAの方が速く追いつきます。ちょうど同じだけの面積になる $T=8$ s が再会の時刻です。

[オ] 補足：相対速度の物理的意味

$t=8$ s における相対速度 $v_{A/B} = 4$ m/s の符号と大きさに注目します。

• $v_{A/B} > 0$：AはBに対して正の方向に運動 → Aの方が先に進んでいく
• $|v_{A/B}| = 4$ m/s：再会の瞬間にAがBを $4$ m/s の速さで追い抜いている

これは、相対速度の時間変化 $v_{A/B}(t) = v_A - v_B = 2 - (6-t) = t - 4$ を見ても確認できます。$t=4$ s で $v_{A/B} = 0$（最接近）、$t=8$ s で $v_{A/B} = 4$ m/s（追い抜き中）です。