設問(1)　最高高度

グラフの読み取り：

図2より、$v_y$ は以下のように変化します：

• $0 \leq t \leq 500$ s：$v_y = \dfrac{20}{500}\,t = 0.040\,t$ （直線的に増加）
• $500 \leq t \leq 1000$ s：$v_y = 20 - \dfrac{40}{500}(t - 500) = 20 - 0.080(t - 500)$ （直線的に減少）

最高高度に達する時刻：

$v_y = 0$ となる時刻を求めます。$t > 500$ s の範囲で：

$$v_y = 20 - 0.080(t - 500) = 0$$ $$0.080(t - 500) = 20 \quad \Rightarrow \quad t - 500 = 250 \quad \Rightarrow \quad t = 750 \text{ s}$$

最高高度（$v_y$-$t$ グラフの面積）：

$0$ ～ $750$ s の面積を2つの三角形に分けます。

三角形1（$0$ ～ $500$ s、底辺 $500$ s、高さ $20$ m/s）：

$$S_1 = \frac{1}{2} \times 500 \times 20 = 5000 \text{ m}$$

三角形2（$500$ ～ $750$ s、底辺 $250$ s、高さ $20$ m/s）：

$$S_2 = \frac{1}{2} \times 250 \times 20 = 2500 \text{ m}$$

最高高度：

$$h = S_1 + S_2 = 5000 + 2500 = 7500 = 7.5 \times 10^3 \text{ m}$$

設問(2)　AB間の水平距離

第1段階：$a_x$-$t$ グラフから $v_x$ を求める

図1より、$a_x = 2$ m/s$^2$（$0 \leq t \leq 500$ s）、$a_x = 0$（$500 \leq t \leq 1000$ s）です。初速度 $v_x(0) = 0$ なので：

$0 \leq t \leq 500$ s（等加速度）：

$$v_x(t) = 0 + 2 \times t = 2t$$ $$v_x(500) = 2 \times 500 = 1000 \text{ m/s}$$

$500 \leq t \leq 1000$ s（加速度ゼロなので等速）：

$$v_x(t) = 1000 \text{ m/s（一定）}$$

第2段階：$v_x$-$t$ グラフの面積 ＝ 水平距離

三角形（$0$ ～ $500$ s）＋ 長方形（$500$ ～ $1000$ s）の面積を求めます。

$$S_{\text{三角}} = \frac{1}{2} \times 500 \times 1000 = 2.5 \times 10^5 \text{ m}$$ $$S_{\text{長方}} = 1000 \times (1000 - 500) = 1000 \times 500 = 5.0 \times 10^5 \text{ m}$$ $$x_{AB} = 2.5 \times 10^5 + 5.0 \times 10^5 = 7.5 \times 10^5 \text{ m}$$

設問(1) 別解：積分の明示的計算

最高高度 $h$ は $v_y$-$t$ グラフの面積、すなわち $v_y$ の積分で求められます：

$$h = \int_0^{750} v_y(t)\,dt$$

$v_y(t)$ は折れ線グラフなので、台形公式を適用できます。$0$ ～ $500$ s と $500$ ～ $750$ s に分けて計算します：

区間 $[0,\,500]$：$v_y(0) = 0$, $v_y(500) = 20$ m/s

$$\int_0^{500} v_y\,dt = \frac{(0 + 20)}{2} \times 500 = 5000 \text{ m}$$

区間 $[500,\,750]$：$v_y(500) = 20$, $v_y(750) = 0$ m/s

$$\int_{500}^{750} v_y\,dt = \frac{(20 + 0)}{2} \times 250 = 2500 \text{ m}$$ $$h = 5000 + 2500 = 7500 \text{ m}$$

直感的理解（台形公式の視点）

$v_y$-$t$ グラフが直線で構成されているとき、各区間の面積は台形（または三角形）の面積公式 $\frac{(上底 + 下底)}{2} \times 高さ$ で計算できます。これは定積分の厳密な値と一致します（被積分関数が1次式のとき台形公式は厳密）。

設問(2) 別解：段階的積分による水平距離の計算

$a_x$-$t$ グラフから $v_x(t)$ を積分で求め、さらに $v_x(t)$ を積分して水平距離を求めます。

第1段階：$v_x(t) = v_x(0) + \displaystyle\int_0^t a_x(t')\,dt'$

$0 \leq t \leq 500$ s：

$$v_x(t) = 0 + \int_0^t 2\,dt' = 2t$$

$500 \leq t \leq 1000$ s：

$$v_x(t) = v_x(500) + \int_{500}^t 0\,dt' = 1000 + 0 = 1000 \text{ m/s}$$

第2段階：$x_{AB} = \displaystyle\int_0^{1000} v_x(t)\,dt$

区間ごとに計算します：

$$\int_0^{500} 2t\,dt = \left[t^2\right]_0^{500} = 250000 = 2.5 \times 10^5 \text{ m}$$ $$\int_{500}^{1000} 1000\,dt = 1000 \times 500 = 500000 = 5.0 \times 10^5 \text{ m}$$ $$x_{AB} = 2.5 \times 10^5 + 5.0 \times 10^5 = 7.5 \times 10^5 \text{ m}$$

直感的理解（3段階積分の基本操作）

物理では $a$-$t$ グラフ → $v$-$t$ グラフ → $x$-$t$ グラフ の3段階の積分が基本操作です。これは微分の逆操作として理解できます：

• $v(t) = \displaystyle\int a(t)\,dt$（加速度を積分して速度を得る）
• $x(t) = \displaystyle\int v(t)\,dt$（速度を積分して位置を得る）

逆に、$x$-$t$ グラフの傾き ＝ $v$、$v$-$t$ グラフの傾き ＝ $a$ です。グラフの「傾き」と「面積」の関係は、微分と積分の関係そのものです。