基本問題2 等速直線運動のグラフ

設問(1) 各0.10秒間の変位と平均の速度

直感的理解
各0.10秒間の変位は「次の位置 − 今の位置」。平均の速度はそれを時間で割ったもの。時間が経つにつれ変位が大きくなる＝加速している運動です。

変位と平均の速度の計算：

区間変位 $\Delta x$ [m]平均の速度 [m/s]
0〜0.10 s$0.03 - 0 = 0.03$$0.03 / 0.10 = 0.30$
0.10〜0.20 s$0.12 - 0.03 = 0.09$$0.09 / 0.10 = 0.90$
0.20〜0.30 s$0.27 - 0.12 = 0.15$$0.15 / 0.10 = 1.50$
0.30〜0.40 s$0.48 - 0.27 = 0.21$$0.21 / 0.10 = 2.10$
0.40〜0.50 s$0.75 - 0.48 = 0.27$$0.27 / 0.10 = 2.70$
0.50〜0.60 s$1.08 - 0.75 = 0.33$$0.33 / 0.10 = 3.30$
0.60〜0.70 s$1.47 - 1.08 = 0.39$$0.39 / 0.10 = 3.90$
答え：
上表の通り。変位は0.03, 0.09, 0.15, 0.21, 0.27, 0.33, 0.39 m。
平均の速度は0.30, 0.90, 1.50, 2.10, 2.70, 3.30, 3.90 m/s。
補足：なぜ平均の速度を区間の中央時刻にプロットするのか

等加速度運動では瞬間の速度が $v = at$ と時刻に比例します。各区間 $[t_i, t_{i+1}]$ の平均の速度は：

$$\bar{v} = \frac{v(t_i) + v(t_{i+1})}{2} = v\left(\frac{t_i + t_{i+1}}{2}\right)$$

つまり、等加速度運動の場合に限り、区間の平均の速度は区間の中央時刻における瞬間の速度と一致します。だから中央時刻（0.05, 0.15, ... s）にプロットすると、瞬間の速度のグラフが得られるのです。

Point

平均の速度が等間隔で増加（差が0.60 m/sで一定）→ 等加速度直線運動。

設問(2) v-tグラフ

直感的理解
各区間の中央の時刻に平均の速度をプロットすると、点が一直線上に並びます。これは等加速度運動の証拠です。直線の傾きが加速度になります。
答え：
$v$-$t$ グラフは原点を通る直線。各区間の中央時刻（0.05, 0.15, ...）にプロットした点が直線上に並ぶ。
Point

$v$-$t$ グラフが直線 → 等加速度運動。直線の傾きが加速度。

設問(3) 加速度

直感的理解
$v$-$t$ グラフの傾きがそのまま加速度です。直線なので、どの2点を取っても同じ値になります。

$v$-$t$ グラフの傾きから加速度を求めます。

$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{3.90 - 0.30}{0.65 - 0.05} = \frac{3.60}{0.60} = 6.0 \text{ m/s}^2$$
答え：
$$a = 6.0 \text{ m/s}^2$$
Point

$v$-$t$ グラフの傾き = 加速度。$a = \Delta v / \Delta t$ で計算。

設問(4) 時刻0.50秒の瞬間の速度

直感的理解
等加速度運動では $v = at$ の関係があるので、加速度と時刻がわかれば瞬間の速度が求まります。
$$v = at = 6.0 \times 0.50 = 3.0 \text{ m/s}$$
答え：
$$v = 3.0 \text{ m/s}$$
Point

等加速度運動で初速度0のとき：$v = at$。$v$-$t$ グラフの直線上の値と一致する。