基本問題8 相対速度

平面上の相対速度

直感的理解
平面上の相対速度はベクトルの引き算です。Cから見たAの動きは、Aの速度ベクトルからCの速度ベクトルを引いたもの。東向きに走るAと北向きに走るCは直交しているので、相対速度の大きさは三平方の定理で求まります。

設定：列車Aは東向きに $v_{\rm A} = 20$ m/s、自動車Cは北向きに $v_{\rm C} = 25$ m/s。

Cに対するAの相対速度：

$\vec{v}_{\rm CA} = \vec{v}_{\rm A} - \vec{v}_{\rm C}$

東向きを $x$ 軸正、北向きを $y$ 軸正とすると：

大きさ：

$$|\vec{v}_{\rm CA}| = \sqrt{v_{\rm A}^2 + v_{\rm C}^2} = \sqrt{20^2 + 25^2} = \sqrt{400 + 625} = \sqrt{1025} \fallingdotseq 32 \text{ m/s}$$

向き：東から南への角度 $\theta$ を求めます。

$$\tan\theta = \frac{v_{\rm C}}{v_{\rm A}} = \frac{25}{20} = 1.25$$ $$\theta = \arctan(1.25) \fallingdotseq 51°$$

東から南向きに約 $51°$ の方向。

答え：
Cに対するAの相対速度の大きさは $\sqrt{1025} \fallingdotseq 32$ m/s、
向きは東から南へ約 $51°$ の方向。
Point

平面上の相対速度：互いに直交する方向に運動する場合、相対速度の大きさは $\sqrt{v_{\rm A}^2 + v_{\rm C}^2}$ で求まる。向きは $\tan\theta$ で計算。

💡 補足：次元解析による検算

計算結果の単位が正しいか確認する習慣をつけましょう。速度なら [m/s]、加速度なら [m/s²] になるはずです。数式の両辺で単位が一致するか（次元解析）を確認すると、立式ミスを防げます。