設定：東向きを正とする。初速度 $v_0 = 8.0$ m/s、加速度 $a = 2.0$ m/s²、時間 $t = 3.0$ s。
立式：等加速度直線運動の速度の式
$$v = v_0 + at$$計算：
$$v = 8.0 + 2.0 \times 3.0 = 8.0 + 6.0 = 14 \text{ m/s}$$正の値なので東向きです。
$v = v_0 + at$ は「初速に加速の増分を足す」だけのシンプルな式。加速度と速度が同じ向きなら加速、逆向きなら減速する。
立式：等加速度直線運動の変位の式
$$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$計算：$v_0 = 8.0$ m/s、$a = 2.0$ m/s²、$t = 3.0$ s を代入します。
$$x = 8.0 \times 3.0 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0^2 = 24 + 9.0 = 33 \text{ m}$$$v$-$t$ グラフの下の面積が変位なので、台形の面積公式でも求められます：
$$x = \frac{(v_0 + v)}{2} \times t = \frac{(8.0 + 14)}{2} \times 3.0 = \frac{22}{2} \times 3.0 = 33 \text{ m}$$速度 $v(t) = 8.0 + 2.0t$ を $t = 0$ から $t = 3.0$ まで積分します：
$$x = \int_0^{3.0} (8.0 + 2.0t)\,dt = \left[8.0t + t^2\right]_0^{3.0}$$ $$= (8.0 \times 3.0 + 3.0^2) - 0 = 24.0 + 9.0 = 33 \text{ m}$$$v = v_0 + at$ を定積分すると、公式 $x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ が自然に導かれます。
$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ は「初速による移動 + 加速による追加移動」の和。$v$-$t$ グラフの面積としても理解できる。
設定：東向きを正。初速度 $v_0 = 14$ m/s、終速度 $v = 6.0$ m/s、変位 $x = 20$ m。
立式：時間を含まない等加速度の式
$$v^2 = v_0^2 + 2ax \quad \Rightarrow \quad a = \frac{v^2 - v_0^2}{2x}$$計算：
$$a = \frac{6.0^2 - 14^2}{2 \times 20} = \frac{36 - 196}{40} = \frac{-160}{40} = -4.0 \text{ m/s}^2$$負の値なので、加速度の向きは西向き（速度と逆向き=減速）です。
加速度が一定のとき、$v\,\frac{dv}{dx} = a$ より $v\,dv = a\,dx$ が成り立ちます。両辺を積分します：
$$\int_{14}^{6} v\,dv = a \int_0^{20} dx$$ $$\left[\frac{v^2}{2}\right]_{14}^{6} = a \cdot 20$$ $$\frac{6^2 - 14^2}{2} = 20a$$ $$\frac{36 - 196}{2} = 20a$$ $$-80 = 20a$$ $$a = -4.0 \text{ m/s}^2$$これは公式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ の導出そのものです。微積の操作に慣れると、公式を暗記せずとも同じ結果が得られます。
| 公式 | 含む量 | 含まない量 |
|---|---|---|
| $v = v_0 + at$ | $v, v_0, a, t$ | $x$ |
| $x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ | $x, v_0, a, t$ | $v$ |
| $v^2 - v_0^2 = 2ax$ | $v, v_0, a, x$ | $t$ |
求めたい量と与えられた量を見て、不要な量を含まない公式を選ぶのがコツです。
第1式： 加速度の定義 $a = \frac{dv}{dt}$ を積分します：
$$\int_0^t a\,dt = \int_{v_0}^{v} dv \quad \Rightarrow \quad v = v_0 + at$$第2式： $v = \frac{dx}{dt} = v_0 + at$ を積分します：
$$x = \int_0^t (v_0 + at)\,dt = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$第3式： 第1式から $t = \frac{v - v_0}{a}$ を第2式に代入して $t$ を消去するか、$v\,dv = a\,dx$ を積分すると：
$$v^2 - v_0^2 = 2ax$$3つの公式はすべて $a = \text{const.}$ の仮定のもとで微積分から導かれます。
等加速度直線運動の3公式を、与えられた情報に応じて使い分ける。時間が不要なときは $v^2 - v_0^2 = 2ax$ が最も効率的。加速度の符号が負なら速度と逆向き（減速）を意味する。