加速度は速度の時間微分 $a = \dfrac{dv}{dt}$ です。各区間で $v(t)$ の式を立てて微分すれば加速度が直接求まります。

区間 $0 \leq t \leq 40$ s

$$v(t) = 0.5t \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{dv}{dt} = 0.50 \ \text{m/s}^2$$

区間 $40 \leq t \leq 100$ s

$$v(t) = 20 \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{dv}{dt} = 0 \ \text{m/s}^2$$

区間 $100 \leq t \leq 150$ s

$$v(t) = 20 - 0.4(t - 100) \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{dv}{dt} = -0.40 \ \text{m/s}^2$$

微分を使うと「傾きを読み取る」という幾何的操作を、代数的に実行していることが分かります。結果はもちろん一致します。

$a = 0.50$ m/s$^2$、$v_0 = 0$ m/s、$t = 40$ s を公式に代入しても同じ結果になります。

$$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 0.50 \times 40^2 = 0.25 \times 1600 = 400 \ \text{m}$$

速度 $v(t) = 0.5t$ を時間で積分すれば変位が求まります。

$$x = \int_0^{40} 0.5t \, dt = \left[\, 0.25t^2 \,\right]_0^{40} = 0.25 \times 1600 - 0 = 400 \ \text{m}$$

$v$-$t$ グラフの面積を求める操作は、数学的には速度の定積分そのものです。

$v$-$t$ グラフの形は台形（上底100 s − 40 s = 60 s、下底150 s、高さ20 m/s）です。

$$x = \frac{1}{2}(60 + 150) \times 20 = \frac{1}{2} \times 210 \times 20 = 2100 \ \text{m}$$

分割しても一括でも同じ結果になります。

各区間の $v(t)$ を積分して合計します。

$$x = \underbrace{\int_0^{40} 0.5t \, dt}_{S_1} + \underbrace{\int_{40}^{100} 20 \, dt}_{S_2} + \underbrace{\int_{100}^{150} \bigl[20 - 0.4(t-100)\bigr] \, dt}_{S_3}$$

$S_1$：

$$\int_0^{40} 0.5t \, dt = \left[\, 0.25t^2 \,\right]_0^{40} = 0.25 \times 1600 = 400 \ \text{m}$$

$S_2$：

$$\int_{40}^{100} 20 \, dt = \bigl[\, 20t \,\bigr]_{40}^{100} = 2000 - 800 = 1200 \ \text{m}$$

$S_3$：

$$\int_{100}^{150} \bigl[20 - 0.4(t-100)\bigr] \, dt = \left[\, 20t - 0.2(t-100)^2 \,\right]_{100}^{150}$$ $$= \bigl(3000 - 0.2 \times 2500\bigr) - \bigl(2000 - 0\bigr) = (3000 - 500) - 2000 = 500 \ \text{m}$$

合計：

$$x = 400 + 1200 + 500 = 2100 \ \text{m}$$

面積を図形的に求める方法と、積分で求める方法は完全に等価です。積分は「$v$-$t$ グラフの面積を解析的に求める操作」に他なりません。

$v$-$t$ グラフの面積が移動距離を表すことは、「速度の積分＝変位」という微積分の基本定理の視覚化です。

$$x(t) = \int_0^t v(t') \, dt'$$

つまり、グラフの面積を読み取る操作と定積分は本質的に同じことを行っています。高校物理で「面積＝距離」と覚えるルールの背後には、この基本定理があります。