応用問題38 自由落下と鉛直投げ上げ

設問(1)　衝突する時刻 $t$

直感的理解
A と B の位置を等しいとおくと、$-\frac{1}{2}gt^2$ の項が打ち消し合い、重力加速度 $g$ が消えます。つまり衝突時刻は $g$ によらず、$t = H/V$ というシンプルな結果になります。

設定：鉛直上向きを正、地面を原点 O。

立式：衝突条件 $y_A = y_B$ より

$$Vt - \frac{1}{2}gt^2 = H - \frac{1}{2}gt^2$$

両辺の $-\frac{1}{2}gt^2$ が打ち消し合い

$$Vt = H$$ $$\therefore \quad t = \frac{H}{V}$$
答え：
$$t = \frac{H}{V}$$
Point

2物体の位置を等しいとおくと $\frac{1}{2}gt^2$ の項が消える。衝突時刻は重力に無関係で $t = H/V$。

設問(2)　衝突位置の $y$ 座標

直感的理解
衝突位置は $V$ が大きいほど高くなります。$V$ を大きくすると衝突時刻 $t = H/V$ が早くなり、B があまり落ちていない高い位置で出会うからです。

立式：$t = H/V$ を $y_B = H - \frac{1}{2}gt^2$ に代入します。

$$y = H - \frac{1}{2}g\left(\frac{H}{V}\right)^2 = H - \frac{gH^2}{2V^2}$$
答え：
$$y = H - \frac{gH^2}{2V^2}$$
Point

衝突位置は $t = H/V$ を代入して求める。$V$ が大きいほど高い位置で衝突する。

設問(3)　衝突が起こるための $V$ の条件

直感的理解
衝突が「地上で」起こるためには、衝突位置 $y > 0$ が必要です。つまり A が最高点に達するまでの間に B と出会わなければならず、$V$ が十分大きい必要があります。

立式：$y > 0$ の条件より

$$H - \frac{gH^2}{2V^2} > 0$$

両辺を $H > 0$ で割り、整理すると

$$1 - \frac{gH}{2V^2} > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{gH}{2V^2} < 1 \quad \Rightarrow \quad V^2 > \frac{gH}{2}$$ $$\therefore \quad V > \sqrt{\frac{gH}{2}}$$
答え：
$$V > \sqrt{\frac{gH}{2}}$$
補足：この条件の物理的意味

A の最高点の高さは $h_A = V^2/(2g)$ です。条件 $V^2 > gH/2$ は $h_A > H/4$ を意味します。

一方、B は A が上昇中に出会うので、B もあまり落ちていない状態で出会います。$y_A > 0$ かつ $y_B > 0$ が同時に成り立つ必要があるのです。

Point

衝突条件 $y > 0$ から初速度の下限が導かれる。$V > \sqrt{gH/2}$。