設問(1)　水面に達するまでの時間 $t$

設定：投出点を原点、水平右向きを $x$、鉛直下向きを正。$v_0 = \sqrt{gh}$ を成分に分解します。

• $v_{0x} = v_0 \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{gh}$
• $v_{0y} = v_0 \sin 30° = \dfrac{1}{2}\sqrt{gh}$（下向き正）

立式：鉛直方向の変位が $h$ になる条件から

$$h = v_{0y}t + \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}\sqrt{gh}\cdot t + \frac{1}{2}gt^2$$

$\frac{1}{2}g$ で整理すると

$$\frac{1}{2}gt^2 + \frac{1}{2}\sqrt{gh}\cdot t - h = 0$$

2次方程式の解の公式（$t > 0$ の解を選択）：

$$t = \frac{-\frac{1}{2}\sqrt{gh} + \sqrt{\frac{1}{4}gh + 2gh}}{g} = \frac{-\frac{1}{2}\sqrt{gh} + \sqrt{\frac{9}{4}gh}}{g}$$ $$= \frac{-\frac{1}{2}\sqrt{gh} + \frac{3}{2}\sqrt{gh}}{g} = \frac{\sqrt{gh}}{g} = \sqrt{\frac{h}{g}}$$

数値例：$h = 20$ m、$g = 9.8$ m/s² のとき

$$v_0 = \sqrt{9.8 \times 20} = \sqrt{196} = 14.0 \;\text{[m/s]}$$ $$t = \sqrt{\frac{20}{9.8}} = \sqrt{2.04} \fallingdotseq 1.43 \;\text{[s]}$$

設問(2)　水平距離 $l$

計算：

$$l = v_{0x} \times t = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{gh} \times \sqrt{\frac{h}{g}}$$ $$= \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{gh} \times \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{g}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{g}\sqrt{h}\sqrt{h}}{\sqrt{g}} = \frac{\sqrt{3}}{2}h$$

数値例：$h = 20$ m のとき

$$l = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 20 = \frac{1.732 \times 20}{2} \fallingdotseq 17.3 \;\text{[m]}$$

設問(3)　着水の瞬間の速さ $v$

各成分：

• $v_x = v_{0x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{gh}$（一定）
• $v_y = v_{0y} + gt = \dfrac{1}{2}\sqrt{gh} + g\sqrt{\dfrac{h}{g}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{gh} + \sqrt{gh} = \dfrac{3}{2}\sqrt{gh}$

合成：

$$v^2 = v_x^2 + v_y^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{gh}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\sqrt{gh}\right)^2$$ $$= \frac{3}{4}gh + \frac{9}{4}gh = \frac{12}{4}gh = 3gh$$ $$\therefore \quad v = \sqrt{3gh}$$

数値例：$g = 9.8$ m/s²、$h = 20$ m のとき

$$v = \sqrt{3 \times 9.8 \times 20} = \sqrt{588} \fallingdotseq 24.2 \;\text{[m/s]}$$

別解：エネルギー保存則

運動エネルギーと位置エネルギーの保存より

$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh$$ $$v^2 = v_0^2 + 2gh = gh + 2gh = 3gh$$ $$v = \sqrt{3gh}$$

成分分解と同じ結果が得られました。エネルギー保存則は方向を考えなくてよいので計算が簡単です。