応用問題42 斜方投射（壁への衝突）

設問(1)　壁にぶつかるまでの時間 $t$

直感的理解
壁に着くのは水平距離が $L$ になったときです。水平方向は等速直線運動なので、$x = v_0 \cos\theta \cdot t = L$ を解くだけです。

立式：水平方向 $x = v_0 \cos\theta \cdot t$ で $x = L$ のとき

$$v_0 \cos\theta \cdot t = L \quad \Rightarrow \quad t = \frac{L}{v_0 \cos\theta}$$
答え：
$$t = \frac{L}{v_0 \cos\theta}$$
Point

壁までの到達時刻は水平方向だけで決まる。$t = L/(v_0\cos\theta)$。

設問(2)　壁に衝突するための $v_0$ の条件

直感的理解
壁に着いたとき（$x = L$）に、まだ地面より上にいなければなりません。つまり $y(t) \geq 0$ です。$v_0$ が小さいと壁に届く前に地面に落ちてしまいます。

立式：壁に着いたときの高さ $y \geq 0$

$y = v_0\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$ に $t = \dfrac{L}{v_0\cos\theta}$ を代入します。

$$y = v_0\sin\theta \cdot \frac{L}{v_0\cos\theta} - \frac{1}{2}g\left(\frac{L}{v_0\cos\theta}\right)^2$$ $$= L\tan\theta - \frac{gL^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$$

$y \geq 0$ の条件から

$$L\tan\theta \geq \frac{gL^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$$

両辺を $L > 0$ で割り、$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いて整理すると

$$v_0^2 \geq \frac{gL}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{gL}{\sin 2\theta}$$ $$\therefore \quad v_0 \geq \sqrt{\frac{gL}{\sin 2\theta}}$$
答え：
$$v_0 \geq \sqrt{\frac{gL}{\sin 2\theta}}$$
補足：$\theta = 45°$ のときの簡単化

$\theta = 45°$ のとき $\sin 2\theta = 1$ なので $v_0 \geq \sqrt{gL}$ となり、最も小さい $v_0$ で壁に衝突できます。

Point

壁衝突の条件：壁到達時に $y \geq 0$。これを $v_0$ について解くと $v_0 \geq \sqrt{gL/\sin 2\theta}$。

🧮 具体的な数値例

たとえば \(v_0 = 20\) m/s、\(\theta = 30°\) で投射した場合：

$$v_{0x} = 20 \times \cos 30° = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \fallingdotseq 17.3 \text{ m/s}$$ $$v_{0y} = 20 \times \sin 30° = 20 \times 0.5 = 10 \text{ m/s}$$ $$\text{最高点の高さ：} H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{10^2}{2 \times 9.8} \fallingdotseq 5.1 \text{ m}$$