初速度の分解（斜面座標系）：
$$v_{0x} = v_0 \cos 60° = \frac{1}{2}v_0, \quad v_{0y} = v_0 \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}v_0$$数値例：$v_0 = 10$ m/s のとき
$$v_{0y} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 = \frac{1.732 \times 10}{2} \fallingdotseq 8.66 \;\text{[m/s]}$$斜面座標系では初速度を斜面方向と垂直方向に分解する。$v_{0x} = v_0\cos 60°$、$v_{0y} = v_0\sin 60°$。
重力加速度の分解：重力 $g$ を斜面方向（$x$）と斜面垂直方向（$y$）に分解します。$y$ 軸は斜面から離れる向きが正です。
$$a_x = -g\sin 30° = -\frac{1}{2}g, \quad a_y = -g\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}g$$数値例：$g = 9.8$ m/s² のとき
$$a_y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \times 9.8 = -\frac{1.732 \times 9.8}{2} \fallingdotseq -8.49 \;\text{[m/s}^2\text{]}$$$a_x = -g\sin 30° = -\dfrac{1}{2}g$（斜面の下方向、$x$ の負方向）
設問(5)で使います。
斜面座標系での重力分解：$a_x = -g\sin\alpha$、$a_y = -g\cos\alpha$（$\alpha$ は斜面の傾斜角）。
立式：最高点では $v_y = 0$ なので
$$v_y = v_{0y} + a_y t = \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 - \frac{\sqrt{3}}{2}g \cdot t = 0$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}g \cdot t = \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{v_0}{g}$$$\sin 60° = \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ が約分されてシンプルになります。
数値例：$v_0 = 10$ m/s、$g = 9.8$ m/s² のとき
$$t = \frac{10}{9.8} \fallingdotseq 1.02 \;\text{[s]}$$斜面座標系での最高点は $v_y = 0$。$\sin 60° = \cos 30° = \sqrt{3}/2$ が約分されて $t = v_0/g$ というシンプルな結果になる。
計算：$t = v_0/g$ を $y$ の式に代入します。
$$y = v_{0y} t + \frac{1}{2}a_y t^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 \cdot \frac{v_0}{g} + \frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}g\right)\left(\frac{v_0}{g}\right)^2$$ $$= \frac{\sqrt{3}v_0^2}{2g} - \frac{\sqrt{3}v_0^2}{4g} = \frac{\sqrt{3}v_0^2}{4g}$$数値例：$v_0 = 10$ m/s、$g = 9.8$ m/s² のとき
$$y = \frac{1.732 \times 100}{4 \times 9.8} = \frac{173.2}{39.2} \fallingdotseq 4.42 \;\text{[m]}$$最高点の高さ（斜面からの距離）は $y = v_{0y}^2 / (2|a_y|) = \dfrac{\sqrt{3}v_0^2}{4g}$。
$y = 0$ にもどる時刻：対称性より $t_2 = 2t_1 = \dfrac{2v_0}{g}$
$x$ 座標：$t_2$ を $x$ の式に代入します。
$$x = v_{0x} t_2 + \frac{1}{2}a_x t_2^2 = \frac{v_0}{2} \cdot \frac{2v_0}{g} + \frac{1}{2}\left(-\frac{g}{2}\right)\left(\frac{2v_0}{g}\right)^2$$ $$= \frac{v_0^2}{g} - \frac{g}{4} \cdot \frac{4v_0^2}{g^2} = \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{g} = 0$$数値例：$v_0 = 10$ m/s、$g = 9.8$ m/s² のとき
$$t_2 = \frac{2 \times 10}{9.8} \fallingdotseq 2.04 \;\text{[s]}$$ $$x = \frac{10}{2} \times 2.04 + \frac{1}{2}\times\left(-\frac{9.8}{2}\right)\times 2.04^2 = 10.2 - 10.2 = 0 \;\text{[m]}$$小球は原点 O に戻る。
この問題では $x$ 方向の運動が
$$x(t) = \frac{v_0}{2}t - \frac{g}{4}t^2 = \frac{t}{4}(2v_0 - gt)$$となり、$t = 0$ と $t = 2v_0/g$ でゼロになります。つまり $y = 0$ に戻る時刻と $x = 0$ に戻る時刻が完全に一致しています。
これは $\dfrac{v_{0x}}{|a_x|} = \dfrac{v_0/2}{g/2} = \dfrac{v_0}{g}$ と $\dfrac{v_{0y}}{|a_y|} = \dfrac{\sqrt{3}v_0/2}{\sqrt{3}g/2} = \dfrac{v_0}{g}$ が等しいためです。$x$ 方向と $y$ 方向の「折り返し時間」が同じなので、同時に原点に戻ります。
斜面上の投射では $x$ 方向にも減速がある。この特定の角度設定（30° 斜面、60° 発射）では $x = 0$（原点に帰還）という特別な結果になる。