直感的理解

落下時間は高さだけで決まります。初速度がいくらでも、同じ高さなら同じ時間で地面に到達します。これは水平方向と鉛直方向が独立であることの直接的な結果です。

立式：鉛直方向は自由落下なので $h = \frac{1}{2}gt^2$ より

$t$ について解いて $h = 0.80\;\mathrm{m}$ を代入：

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.80}{9.8}} = \sqrt{0.1633} \fallingdotseq 0.404\;\mathrm{s}$$

答え：
$$t \fallingdotseq 0.40\;\mathrm{s}$$

Point

水平投射の落下時間は $t = \sqrt{2h/g}$ で、初速度によらない。

直感的理解

水平到達距離 $x = v_0 t$ は $v_0$ に比例します。$x = 0.80\;\mathrm{m}$ のとき $v_0 = x / t$ で初速度が求まります。

立式：水平方向の等速運動 $x = v_0 t$ を $v_0$ について解きます：

$$v_0 = \frac{x}{t} = \frac{0.80}{0.40} = 2.0\;\mathrm{m/s}$$

答え：
$$v_0 = 2.0\;\mathrm{m/s}$$

Point

$v_0 = x / t$ で水平方向の初速度を逆算できる。

直感的理解

落下時間は高さだけで決まるので、初速度を変えても $t$ は同じです。水平距離を2倍にするには初速度を2倍にすればよい、という比例関係がポイントです。

点Bは $x_B = 2 \times 0.80 = 1.60\;\mathrm{m}$。落下時間 $t$ は高さだけで決まるので同じ $0.40\;\mathrm{s}$：

$$v_0' = \frac{x_B}{t} = \frac{1.60}{0.40} = 4.0\;\mathrm{m/s}$$

答え：
$$v_0' = 4.0\;\mathrm{m/s}$$

Point

水平投射では $x \propto v_0$（$t$ が一定のとき）。到達距離を2倍にするには初速度を2倍に。

直感的理解

点Bに到達するために水平に投げる場合は $v_0 = 4.0\;\mathrm{m/s}$ が必要でした。しかし、机の端と点Bを直線で結んだ方向に投げ出せば、より小さい速さで到達できます。机の端から点Bへの直線方向が最も効率的です。

机の端から点Bまでの水平距離は $1.60\;\mathrm{m}$、高さは $0.80\;\mathrm{m}$ なので、直線で結ぶ方向の角度は：

$$\tan\theta = \frac{0.80}{1.60} = 0.50 \quad \Longrightarrow \quad \theta = \arctan(0.50) \fallingdotseq 27°$$

この方向（水平から下向きに約 $27°$）に投げると、放物線がちょうど点Bを通るための最小速さとなります。

答え：
水平から下向きに約 $27°$ の方向に投げると、最小の速さで点Bに到達できる。

Point

投射角度を変えると、同じ到達点に対して必要な初速度が変わる。水平投射以外の方向も検討することが大切。

💡 補足：水平・鉛直の独立性

斜方投射では水平方向と鉛直方向の運動は互いに独立です。水平方向は等速直線運動、鉛直方向は自由落下（等加速度運動）として別々に解き、時刻 $t$ で結びつけます。

基本問題33 水平投射